许文杰，林海婵，欧宜贵

(海南大学 理学院，海南 海口 570228)

考虑如下一类非线性单调方程组问题

(1)

其中，X⊆Rn是一个非空闭凸集，F：Rn→Rn是连续的单调映射，即

(2)

(3)

其中，搜索方向dk由下式确定

(4)

(5)

1 预备知识

定义1[4]设Ω⊆Rn是非空闭凸集.从Rn到Ω的投影算子PΩ[x]定义为

(6)

关于投影算子PΩ[x]的特性，参考文献[4].

定义2[4]称映射F：Rn→Rn是强单调的，若存在常数μ>0，使得

(7)

显然，从式(7)和Cauchy-Schwarz不等式，可推知强单调映射F满足

(8)

引理1[1]设搜索方向dk由算法DFPA产生，则满足

(9)

及

(10)

(11)

2 收敛率分析

为了进一步分析算法DFPA的收敛率，假设：

A1映射F在X内是Lipschitz连续的，即存在常数L>0，使得

(12)

A2映射F：Rn→Rn是强单调的.

引理3[2]若假设A1成立，则算法DFPA在第k步迭代过程中，由线搜索准则(5)所确定的步长因子αk满足下列不等式

(13)

利用上述有关的结论，得到本文主要结果.

证明关于定理1的前一部分证明，参考文献[1]中的Theorem 2.1的证明.以下证明定理1的第二部分结论.

事实上，利用结论(10)和(13)，即可推得：存在正常数c1>0，使得

(14)

(15)

另一方面，由假设A1、式(10)及αk≤β，∀k，可推得

(16)

以及

(17)

其中，c2=max{L(β(1+2t)L+1)，(c1μ)2}.从而，结合式(15)～(17)，并利用式(11)，可推出：存在正常数c3>0，使得

(18)

证毕.

3 一般算法模型框架及具体的数值试验

对已有求解问题(1)的无导数投影方法和本文以上的分析，可以构造如下更一般的求解问题(1)算法模型框架.

一般算法模型框架(GDFPA)：

Step3用某种方法来构造搜索方向dk，使其满足

(19)

和

(20)

其中，c4>0和c5>0是2个常数；

Step4计算试验点zk=xk+αkdk，其中步长因子αk由线搜索方案(5)确定；

Step5更新迭代点.令

(21)

Step6令k：=k+1，转Step1.

注2 对于Step2中的的dk具体构造方法，参考文献[2]的有关讨论.受文献[5]的启发,给出一种构造dk的方法，即

(22)

(23)

引理4 若dk的由式(……