吴险峰, 赵秀芳, 杜君花, 傅俊伟

(齐齐哈尔大学 理学院数学系, 黑龙江 齐齐哈尔 161006)

李三系是关于三元括积封闭的李代数的子空间[1]. 李三系与几何、 物理密切相联, 也是李代数和Jordan代数之间的桥梁[2-5]. 作为李三系的推广, 李超三系已成为研究物理系统的重要工具[4,6-7]. 目前, 关于李超三系的研究已有许多成果[8-14]. 特别地, 文献[4]将Yang-Baxter方程转化为一个三元乘法关系, 从而利用李超三系得出了Yang-Baxter方程的一些新解和一个简单解. Leger等[15]研究了李代数的广义导子代数, 得到了广义导子代数及其子代数的相关性质, 给出了广义导子代数的结构并描述了李代数满足的特殊条件, 指出李代数的拟导子和上同调之间存在某种联系. 文献[9,14,16-18]研究了对于更一般的非结合代数的广义导子代数.

目前, 关于Hom-型代数的研究也得到广泛关注[17-21]. Hom-李三系是李三系的推广, 三元Jacobi恒等式由经典的三元Jacobi恒等式经两个线性映射扭曲而成, 李三系是Hom-李三系的特殊情形(其中两个扭曲映射均取为恒等映射). Hom-李超三系是Hom-李三系和李超三系的推广, 文献[17]研究了保积Hom-李超三系的广义导子. 文献[5]给出了δ-李超三系的概念, 当δ=1时,δ-李超三系即为李超三系. 由于李超代数均可视为一个特殊的李超三系, 因此δ-李超三系比李超代数和李超三系更广泛, 它与Jordan李三系、 李三系、 Freudenthal-Kantor三系、 Jordan李超三系、 Freudenthal-Kantor李超三系、 Jordan李超三系和李超三系等代数也密切相关. 文献[21]引入了Hom-δ-李三系的概念, 并给出了其上同调和形变理论.

作为Hom-δ-李三系和Hom-李超三系的推广, 本文研究Hom-δ-李超三系的结构. 首先给出Hom-δ-李超三系T的概念, 通过引入广义导子、 拟导子、 导子Der(T)、 中心导子之集ZDer(T)、 拟型心QC(T)和型心C(T)的概念, 证明其均可构成线性李超代数的子代数, 并证明中心导子代数和型心代数都是导子代数的理想, 且ZDer(T)=C(T)∩Der(T). 若T的中心为零, 则[C(T),QC(T)]={0}.

1 基本概念

定义1设T是域F上的向量空间, 其上具有三线性映射[·,·,·]:T×T×T→T和线性映射(又称扭曲映射)α:T→T. 若对任意的x,y,z,u,v∈hg(T), 满足：

1) ∀i,j,k∈Z2, [Ti,Tj,Tk]⊆Ti+j+k;

2)α([x,y,z])=[α(x),α(y),α(z)];

3) [x,y,z]=-(-1)xy[y,x,z];

4) (-1)xz[x,y,z]+(-1)xy[y,z,x]+(-1)zy[z,x,y]=0;

5) [α(x),α(y),[z,u,v]]=[[x,y,z],α(u),α(v)]+(-1)(x+y)z[α(z),[x,y,u],α(v)]+δ(-1)(x+y)(z+u)[α(z),α(u),[x,y,v]].

则称(T,[·,·,·],α)是保积Hom-δ-李超三系.

由定义1可知, 保积Hom-δ-李超三系是Hom-δ-李三系[21]和Hom-李超三系[17]的推广.

定义2设(T,[·,·,·],α)是保积Hom-δ-李超三系, 存在线性映射D:T→T, 使得对任意的x,y,z∈hg(T), 满足[D,α]=0和

则D称为T的η次αk-m-导子, 记Derαk,m(T)为所有αk-m-导子构成的集合.

定义3设(T,[·,·,·],α)是保积Hom-δ-李超三系, 存在线性映射D′,D″,D‴∈End(T), 使得对任意的x,y,z∈hg(T), 满足:

[D,α]=[D′,α]=[D″,α]=[D‴,α]=0,

δm{[D(x),αk(y),αk(z)]+(-1)ηx[αk(x),D′(y),αk(z)]+(-1)η(x+y)[αk(x),αk(y),D″(z)]}=D‴([x,y,z]),

则称D∈End(T)为T的η次αk-m-广义导子.

定义4设(T,[·,·,·],α)是保积Hom-(δ)-李超三系, 存在线性映射D′∈End(T), 使得对任意的x,y,z∈hg(T), 满足:

[D,α]=[D′,α]=0,

则称D∈End(T)为T的η次αk-m-拟导子.

令GDerαk,m(T)和QDerαk,m(T)分别是T的η次广义αk-m-导子和T的η次αk-m-拟导子的集合, 则

易证GDer(T)和QDer(T)都是U的Hom-δ-子代数.

则C(T)称为T的αk-m-型心.

[D(x),αk(y),αk(z)]=(-1)ηx[αk(x),D(y),αk(z)]=(-1)η(x+y)[αk(x),αk(y),D(z)],

则QC(T)称为T的η次αk-拟型心.

[D(x),αk(y),αk(z)]=D([x,y,z])=0,

则ZDer(D)称为T的η次αk-m-中心导子.

注3ZDer(T)⊆Der(T)⊆QDer(T)⊆GDer(T)⊆End(T).

2 广义导子代数和Hom-δ-子代数

命题1设(T,[·,·,·],α)是保积Hom-δ-李超三系, 则下列结论成立:

1) GDer(T),QDer(T)和C(T)均为U的Hom-δ-子代数;

2) ZDer(T)是Der(T)的Hom-δ-理想.

且

于是, 对任意的x,y,z∈hg(T), 有

假设D1∈Cαk,m(T),D2∈Cαs,n(T), 且D1,D2的次数分别为η,θ. 对任意的x,y,z∈hg(T), 有

注意到

类似地, 有

[D1,D2]([x,y,z])=(-1)(θ+η)xδm+n[αk+s(x),[D1,D2](y),αk+s(z)].

从而[D1,D2]∈Cαk+s,m+n(T), 于是C(T)是U的Hom-δ-子代数.

2) 假设D1∈ZDerαk(T),D2∈Derαs,n(T), 且D1,D2的次数分别为η,θ. 对任意的x,y,z∈hg(T), 有

注意到

且

则[D1,D2]∈ZDerαk+s,m+n(T), 故ZDer(T)是Der(T)的Hom-δ-理想.

命题2设(T,[·,·,·],α)是特征不等于3的域F上的保积Hom-δ-李超三系, 则:

1) [Der(T),C(T)]⊆C(T);

2) [QDer(T),QC(T)] ⊆QC(T);

3) [QC(T),QC(T)]⊆QDer(T);

4) C(T)⊆QDer(T);

5) ∀D∈C(T),D(Der(T))⊆Der(T).

证明: 1) 假设D1∈GDerαk,m(T),D2∈Cαs,n(T), 且D1,D2的次数分别为η,θ, 则对任意的x,y,z∈hg(T), 有

类似地, 有

[D1,D2]([x,y,z])=(-1)(η+θ)xδm+n[αk+s(x),[D1,D2](y),αk+s(z)],

且

[D1,D2]([x,y,z])=(-1)(η+θ)(x+y)δm+n[αk+s(x),αk+s(y),[D1,D2](z)].

则[D1,D2]∈Cαk+s,m+n(T), 从而[Der(T),C(T)]∈C(T).

2) 假设D1∈QDerαk,m(T),D2∈QC(T), 且D1,D2的次数分别为η,θ, 则

因此

[[D1,D2](x),αk+s(y),αk+s(z)]=(-1)(θ+η)x[αk+s(x),[D1,D2](y),αk+s(z)].

类似地, 有

[[D1,D2](x),αk+s(y),αk+s(z)]=(-1)(θ+η)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),[D1,D2](z)].

从而[D1,D2]∈QC(T), [QDer(T),QC(T)]∈QC(T).

3) 假设D1∈QCαk(T),D2∈QCαs(T), 且D1,D2的次数分别为η,θ, 则对任意的x,y,z∈hg(T), 有

易验证:

4) 假设D∈Cαk,m(T), 且D的次数分别为η, 则对任意的x,y,z∈hg(T), 有

δmD([x,y,z])=[D(x),αk(y),αk(z)]=(-1)ηx[αk(x),D(y),αk(z)]=(-1)η(x+y)[αk(x),αk(y),D(z)],

因此

δm3D[x,y,z]=[D(x),αk(y),αk(z)]+(-1)ηx[αk(x),D(y),αk(z)]+(-1)η(x+y)[αk(x),αk(y),D(z)],

且D′=3δmD∈End(T), 即D∈QDerαk,m(T).

5) 假设D1∈Cαk,m(T),D2∈Derαs,n(T), 且D1,D2的次数分别为η,θ, 则对任意的x,y,z∈hg(T), 有

因此D1D2∈Derαk+s,m+n(T).

定理1设(T,[·,·,·],α)是保积Hom-δ-李超三系, 且Z(T)是T的中心. 若α是满射, 则[C(T),QC(T)]⊆End(T,Z(T)). 特别地, 若Z(T)={0}, 则[C(T),QC(T)]={0}.

证明: 假设D1∈Cαk,m(T),D2∈QCαs,m(T), 且D1,D2的次数分别为η,θ. 对任意x,y,z∈hg(T),α是满射, ∃y′,z′∈T, 使得y=αk+s(y′),z=αk+s(z′), 则

因此[D1,D2](x)∈Z(T)且[D1,D2]∈End(T,Z(T)). 特别地, 若Z(T)=0, 则[C(T),QC(T)]={0}.

定理2设(T,[·,·,·],α)是特征不等于2的域F上的保积Hom-δ-李超三系, 则ZDer(T)=C(T)∩Der(T).

证明: 假设D∈Cαk,m(T)∩Derαk,m(T), 且D的次数为η, 则对任意x,y,z∈hg(T), 有

且

于是2D([x,y,z])=0, 因为域F的特征不等于2, 所以D([x,y,z])=0. 故D∈ZDerαk(T)且C(T)∩Der(T)⊆ZDer(T). 另一方面, 假设D∈ZDerαk(T), 则D([x,y,z])=[D(x),αk(y),αk(z)]=0. 直接验证可知,D∈Cαk(T)∩Derαk,m(T), ZDer(T)⊆C(T)∩Der(T). 证毕.