刚体空间定位问题的最优控制研究

2020-07-16王丽蔡锁宁

机械制造与自动化 2020年3期

王丽，蔡锁宁

(1. 陕西工业职业技术学院,陕西咸阳 712000； 2. 陕汽集团商用车有限公司，陕西宝鸡 722405)

0 引言

四元数代数理论是表示有限转动的最简明方法，因而四元数在刚体定点转动和球面机构的运动学、动力学及其控制问题的研究中得到了广泛的应用。KIUMARSI B[1]针对存在输入约束的确定性非线性离散时间跟踪控制问题，提出了一种部分无模型自适应最优控制方法。XIAO G[2]构造了由误差系统动力学和期望轨迹动力学组成的增广系统,研究了一类完全未知动态仿射非线性连续时间系统的最优跟踪控制问题。KONG Xianwen[3]以四元数代数和几何分析方法给出了欧拉参数表示的并联机构运动学方程及可操作模式。赵金刚[4]针对运动规划的非完整性问题，引入效用函数,实现了非完整运动规划的最优控制。彭海军[5]利用多体动力学建立系统的动力学方程，通过引入对目标轨迹跟踪及瞬时最优性能指标，获得最优控制量。屈秋霞[6]针对非线性连续系统难以跟踪时变轨迹的问题,通过系统变换将其转化为非线性时不变系统的最优控制问题。贾意弦[7]采用四元数描述刚体姿态运动，避免了欧拉角存在的奇异性。史革盟[8]用四元数表示构件的有限转动，得到四元数形式的运动方程。李保坤[9]以单位四元数描述刚体的姿态,导出Stewart机构处于给定位置时的姿态奇异表达式。程世利[10]采用四元数表示旋转变换，得到并联机构四元数形式的基本方程和奇异方程。本文将四元数代数理论用于刚体的姿态定位控制，通过不动点稳定性分析得到解轨线在状态空间的变化趋势及收敛域，建立大范围渐近稳定控制的条件，从微分几何的角度，分析刚体定位过程解轨线的几何约束，构造最短路径控制的目标泛函，实现了刚体的快速定位。

1 刚体有限转动运动学方程

根据刚体无限小旋转变换[11]，得式(1):

(1)

式中：ξ为四元数Λ矢量方向的单位矢量；Δθ、ω分别为刚体的无限小转角和角速度。

由上式可得刚体有限转动运动方程：

(2)

按四元数乘积展开上式，得到四元数分量形式的一阶线性微分方程组：

(3)

2 空间定位问题的运动学稳定控制

2.1 运动学渐近稳定控制的条件

空间定位问题就是改变刚体的角速度ωE，使得与其固连的坐标系E与参考坐标系I方向一致。

(4)

为了满足式(4)给出的快速定位条件，就要求式(3)中的后3个关于λi(i=1,2,3)的微分方程具有李雅普诺夫意义下全局渐近稳定的动态特性。取李雅普诺夫函数

对时间t求导，并代入式(3)中的关系

(5)

ωi=-kiλ0λii=1,2,3

(6)

式中ki为角速度修正系数。当ki>0时，

(7)

符合全局渐近稳定条件，式(3)后3个状态方程能从任意初始状态收敛到原点。

2.2 状态空间不动点稳定性分析

将式(6)代入式(3)可得状态方程：

(8)

根据非线性微分方程理论，状态方程解分量λi(t),(i=0,1,2,3)都是时间的单调增函数或单调减函数，由于四元数Λ范数恒等于1，其分量函数λi(t)为有界函数，|λi(t)|≤1，因而从任意初始状态出发的解轨线都将趋近并终止于某个不动点。

1)ki>0,∀i=1,2,3

(9)

状态方程的解轨线都将趋近并稳定到第2类不动点[1,0,0,0]T或[-1,0,0,0]T。

2)ki<0,∀i=1,2,3

(10)

状态方程的解轨线都将趋近并稳定到第1类不动点[0,λ1,λ2,λ3]T。

3 刚体定位问题最短路径控制

在如上渐进控制中，收敛速度取决于修正系数ki的取值大小，这会导致定位过程仅是一种可达路径并非最短路径。将状态方程的解轨线看作状态空间的参数曲线

r(t)=[λ0(t),λ3(t),λ3(t),λ3(t)]T

(11)

(12)

定位轨线最短路径即是沿超球面上过这两点所在的大圆的劣弧到达目标点M。超球面上各点向径具有固定长度:

解轨线切向量始终与向径正交。将式(3)的定位过程解轨线弧长取为性能指标泛函

(13)

式中t0、tf分别为初始和末态时刻。末态时刻tf不确定，末态固定λ(tf)=[1,0,0,0]T；L为拉格朗日函数。

引入状态约束的拉格朗日乘子η(t)，将被控系统状态方程式(3)和性能指标泛函结合成辅助泛函

式中H为哈密顿标量函数。

H[λ(t),ω(t),ηT(t),t]=L[λ(t),ω(t),t]+ηT(t)f[λ,ω，t]

将J对所有变量tf、λ、ω、η进行变分：

δJ={H[λ(t),ω(t),ηT(t),t]}t=ffδtf+

根据泛函极值的必要条件δJ=0可得:

1) 规范方程及边界条件

(14)

(15)

(16)

2) 极值条件

(17)

从中求得控制量

ω(t)=-|ω(t)|FTη(t)

(18)

代入规范方程式(14)和式(15)得最短路径控制的状态方程:

(19)

(20)

定位过程的弧长只与解轨线的路径有关，因而角速度|ω(t)|可以取任意正实数。

4 应用实例

假设初始时刻与刚体固连的动坐标系对参考坐标系的偏差四元数

Λ(t0)=[0.36,-0.30,0.48,-0.73]T

取角速度修正系数k1=4.0,k2=6.0,k3=8.0，求解刚体运动微分方程式(8)，得到偏差四元数的解轨线变化趋势，如图1所示。

图1 偏差四元数的解轨迹

偏差四元数的分量以近似于指数函数的速度趋近目标值，在控制作用2s后，偏差缩小到10-6的范围之内。为了验证不动点的稳定性，取状态空间某个半径0<|r(t)|<1超球面上的点作为初始偏差，求解刚体状态空间方程式(8)的解轨线，给出了解轨线在λ0-λ1平面上的投影。当ki>0,∀i=1,2,3，对于所有初始偏差λ0<0解轨线都趋近并稳定到第2类不动点[-1,0,0,0]T，对于所有λ0>0解轨线都趋近并稳定到第2类不动点[1,0,0,0]T，它们是稳定的不动点，如图2所示。当ki<0, ∀i=1,2,3，所有解轨线都趋近并稳定到第1类不动点[0,λ1,λ2,λ3]T，如图3所示。