王菲

摘 要 本文首先利用最小二乘法，得到冠军成绩的线性回归方程，进一步计算出理论上成绩每下降一秒所需的时间;然后利用通货膨胀率来刻画保险公司的时间成本、人力成本和运营成本等，在平均成本的基础上计算得到每年所需的保费;从组委会的角度出发，考虑资本的时间价值，利用复利计算出在打破记录的届数的期望值时，组委会所交保费的总额，此數额与记录奖金进行比较，从而为组委会作出决策提供依据;最后，对于不同的运动项目，由于线性回归方程不同，可引起打破记录的期望值的变化，从而影响每年所需交的保费，组委会依据保费总额和记录奖金，进而对每项比赛是否投保做出决策。

关键词 线性回归方程 最小二乘法 期望值 资金时间价值

1背景分析

（1）组委会的决策。组委会采取的措施，大大提高了运动员勇于刷新纪律的积极性，而对于打破记录就要支付25000欧元来说，这笔费用让组委会承担了一部分风险。既要提高成绩又要避免过多的损失最好的办法就要投保。可以让保险公司来承担这部分亏损的费用。但同时也要考虑组委会需要给保险公司多少钱，自己才不会亏损。如果保险公司要价过高超出了组委会的预算，这样的话组委会不如选择自保。保险公司给出的价格直接影响到组委会的决策。

（2）保险公司的预算。对于组委会要求的投保。保险公司需要考虑资金时间价值的影响，例如十年前的1000元与十年后的1000元是等价但不等值的。如果每年都是固定的1000元，那保险公司必然是亏损的。保险公司需要考虑如何在资金时间价值、人力等因素的影响下，使自己获得一定的利润，当然这个利润越高越好。但还要考虑组委会方面。在组委会与保险公司相互权衡的情况下，需要取一个临界值，使他们的收益和支出刚好达到权衡。只有在双方都认为利益得当时，才能签订合同。保险公司的预算须考虑双方的利益。

2问题重述

（1）以上描述的奖金为25000欧元的15千米赛跑，奖金的平均成本是多少？

（2）保险公司应该用什么标准来合理的确定每年收取的保费？

（3）组委会根据保险公司要求收取的保费和什么其他标准来决定是否投保？

（4）组委会根据历年的比赛记录来确定每一个项目是否投保？

（5）如何为组委会做一个表格来决定每场赛事是买保险还是自身保险？

3模型假设

对于问题1，我们首先定义平均成本。定义2.1：奖金的平均成本为奖金总数与预计打破目前的记录所需的比赛次数的比值，即，其中C为平均成本，N为奖金总数，t为预计打破目前的记录所需的比赛次数。在平均成本C的定义式，N为固定值，所以只需要确定t即可得到平均成本。而t的确定与运动员比赛成绩的规律性有关。

运动员的比赛成绩应受到进化论、训练的科学性、计时设备的进步等因素的影响。所以，随着时间的推移，科技不断发展以及人类的不断进化，运动员的比赛成绩应该逐年加快。假设2.1运动员的夺冠成绩与时间呈线性关系，即运动员的夺冠成绩随时间的推移而逐年降低。

问题2由于资本具有时间价值，对于保险公司来说，需要在打破记录的期望年份之前，累积收取等值于破纪录奖金的保费。假设2.2：每届比赛打破记录的概率相等。

4模型的建立和求解

（1）问题一基于定义。基于2.1和假设2.1，我们利用最小二乘法得到每届比赛的冠军成绩的拟合直线，那么从理论上成绩相较于目前的记录要下降一秒所需的时间即为定义2.1中的t。将举办比赛的年份设为X轴，冠军成绩设为Y轴，每届比赛的夺冠成绩在坐标系中的点的坐标为，假设的线性回归直线方程为，其中为任意实数。要确定系数，我们应用最小二乘法，使实测值与计算值的离差的平方和最小。令，则回归直线就是所有直线中取最小值的那一条。

（2）问题二。基于假设2.2和第一问的求解，可以得到在理论上每过年，会打破一次记录，那么每届比赛打破记录的概率即为。那么记录被打破最有可能发生在

第几届，即破纪录的年份的期望为

即记录最有可能在第届被打破。

保险公司希望在平均成本的基础上加收一部分比例，用以负担保险期间的时间成本、人力成本和运营成本等。影响保险公司决定的因素既要包括资本随时间的贬值情况，也要包括人工费用的增长。综合几方面因素，本文考虑用通货膨胀率来衡量以上因素。因为通货膨胀率，是货币超发部分与实际需要的货币量之比，用以反映通货膨胀、货币贬值的程度。由于货币随着时间在不断贬值，同样的价格几年之后是买不到同样的商品的，保险作为一种商品也具有这个特点。在实际中，一般不直接、也不可能计算通货膨胀，而是通过价格指数的增长率来间接表示。因此，消费者价格指数是最能充分、全面反映通货膨胀率的价格指数。世界各国基本上均用消费者价格指数CPI来反映通货膨胀的程度。CPI提高，相应的员工工资水平就要提高，所以通货膨胀率也从一定程度上包含了一部分人力成本。

记平均通货膨胀率为，保险公司每年收取的保费为，在最有可能打破记录之前，保险公司所收取的保费应大于等于，即以为基数，考虑通货膨胀率的影响，那么保险公司每年应收保费为。

（3）问题三。设平均年利率为，按此利率如果继续交年的实际价值记为，则。

当时，对于组委会来说是不利的，不应该应该投保。因为在最有可能打破记录的届数时，组委会所交保费已经超过了打破纪录的奖金。当时，对于组委会来说是有利的，应该投保。因为在最有可能打破记录的届数时，组委会所交保费并没有超过打破纪录的奖金。

（4）问题四。假如男女共有40个项目，记为，根据第三题的结果，组委会只需计算出每个项目的打破记录的期望届数，结合平均通货膨胀率和平均利率的情况，计算得到问题三中的交年保费的实际价值，将与打破记录的奖金进行比较，从而做出决策。记第个项目所交保费的实际价值为，打破记录的奖金为，若，组委会不应投保;若，组委会应投保。

（5）问题五。结合以上问题，为组委会做出决策制定表格如下：

5模型检验

6模型评价

组委会在2001年需自付25000欧元，从2003年至2010年期间为记录投保。由此，可发现此模型在经济情况稳定的形势下，可以平均分担风险。但是打破记录具有很大的随机性，而且此模型依赖于平均通货膨胀率和平均年利率，数据的准确性对结果也会造成一定的影响。改进的方向主要是对保险公司的时间成本、人力成本和运营成本的进一步刻画。

参考文献

[1] 高斯.least square method[M].1829.

[2] 贝叶斯.概率论[M].20世纪初.

[3] William D.Berry.线性回归分析基础[M].上海：上海人民出版社，2011.

[4] Sheldon M.Ross.随机过程[M].机械工业出版社，2013.

[5] 罗建中.排列组合、二项式定理与概率统计[J].数学教学通讯，2006.

[6] 吐尔洪江.关于古典概型问题的几点思考[J].塔里木大学学报，2006.

[7] 潘佩.概率中易混淆概念的对比与思考[J].高中数学教与学，2007.

[8] 赵晓兵.随机变量函数分布的教学实践与探索[J].雁北师范学院学报，2006.