麦结华

(广西财经学院 信息与统计学院， 广西 南宁 530003 )

连通性是拓扑学中最重要、最基本的概念之一。先回顾一些有关的定义：

定义1[1-2]设X是一个拓扑空间。

① 若X不能分拆成它的两个非空的不相交的开集的并集，则称X是一个连通的空间。

② 任一个连续映射f:[0,1]→X都称为X中的一条路。设x,y是X中的两个点。若f(0)=x,f(1)=y,则称f是一条从x到y的路(或者，称为连接x与y的路)。若对任x,y∈X均存在一条从x到y的路，则称X是一个路连通空间。

③ 任一个与区间[0,1]同胚的空间都称为一个弧。设A是一个弧，取一个同胚h:[0,1]→A，称h(0)和h(1)为A的两个端点。若对X中任两个不同的点x,y均存在一个以x,y为两端点的弧，则称X是一个弧连通空间。

显然，弧连通空间的定义的条件强于路连通空间。因此，本文有如下的定理：

定理1每一个弧连通空间都是一个路连通空间。

反过来，并非每一个路连通空间都是弧连通空间。例如，如果X是一个平凡空间(即X的拓扑仅由X本身和空集组成)，并且X的基数小于连续统的基数，则X是一个路连通空间但不是一个弧连通空间。

但是，对于大多数的人们经常讨论的空间来说，路连通空间也一定是弧连通空间。因此，对于此类空间来说，路连通空间的定义与弧连通空间的定义等价。具体地说，本文有如下的定理：

定理2每一个路连通的Hausdorff空间都是一个弧连通空间。

下面将给出定理2的一个证明。为叙述方便，笔者先建立一些定义。

定义2设X是一个Hausdorff空间，f:[0,1]→X是一个连续映射，即，f是X中的一条路。又设 0≤r

① 设z∈f([0,1])。若f-1(z)含有不只一个点，则称z是f的一个返回点。……