广东省佛山市南海区艺术高级中学

1 找最大质数仍是世界难题

质数也叫素数,指在一个大于1的自然数中,只能被自己和1整除的数.大于1的自然数,除了质数就是合数.按照规定,1不算素数(也不是合数),最小的素数是2,其后依次是3、5、7、11 等等.素数是无穷多的.它们的分布距离是不均等的.目前我们掌握的素数很有限,因为数字越大,要发现新的素数就越困难.

因此,要找到一个大的素数,往往需要巨量的计算,要分解和验证它也是这样.

“梅森素数”是一种有特殊形式的素数,写成2n-1的形式,寻找梅森素数是目前发现已知最大素数的最有效途径.这个项目的全称是“互联网梅森素数大搜索”(The Great Internet Mersenne Prime Search,简称GIMPS),它始于1996年,由世界各地的志愿者自愿花时间计算梅森素数.他们从GIMPS网站上下载免费软件,当计算机闲置时,这个软件就开始在数轴上进行梳理式计算.在已知的梅森素数中,有不少就是通过这个渠道找到的.

2017年12月26日,互联网梅森素数大搜索(GIMPS)项目宣布发现第50个梅森素数和已知最大的素数:277232917-1,共有23,249,425位.发现者是GIMPS志愿者Jonathan Pace,是一位电机工程师.

2018年12月7日,住在美国佛罗里达州奥卡拉市的Patrick Laroche也是通过GIMPS项目发现了第51个梅森素数:(被称为M82589933),共有24,862,048位[1].

为了研究素数,数学家呕心沥血,从未止步.

对于寻找更大的素数问题,我经历了长期的探索,发现新方法(分段追寻法):先赋予(或说发掘)数字的空间和维度,把数字按空间分类(或说分段),然后从已知的质数出发,找出合数,排除合数,得出更大的质数.

2 数字的空间性

用数轴的点表示数,实际是把数的几何意义单一化,把所有实数同等化.在研究素数的问题上,应该挖掘数的更多几何意义,就正自然数而言,不同区间的数,几何意义是不相同的,对应的点是不同空间的点,具有多样化的[2].

我们把某些正自然数图形化(如表1),从而理解数字的几何意义.

表1

从数的几何意义,我赋予(或说发现)数字的空间性:

3 数字的维度性

我们知道,每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的分解质因数.每个合数能够且仅能够被分解为唯一一组质因数的乘积.根据这原理,我们可以赋予(或说发现)数字的维度:2=21,3=31,5=51,...,所有质数的维度是1;4=22,6=2×3,9=32,...,4,6,9的维度是2;8=23,12=22×3,...,8和12的维度是3.总之,一个合数的所有质因数的次数之和就是该合数的维度,合数的维度最小为2,质数的维数是1,1既不是质数也不是合数,维度为0.

4 质数的分段追寻

根据数字的空间性,我把自然数进行分类和分段:

表3

依上表呈现的类别,逐段进行质数的追寻.下面,以3维空间数和4维空间数这两段为例,说明追寻的方法.

例1已知:1和2维空间数的质数是2,3

求:3维空间数的质数个数.

解第一步,确定三维空间数段区间端点22,23;

第二步,确定三维空间数5,6,7,8

第三步,确定三维空间数中的二维数(合数),质因子依次从小到大列举,2×3,共1个,是6.

确定三维空间数中的三维数(合数),23,即右端点,共1个,是8.

第四步,确定三维空间数中质数的个数:4-(1+1)=2.其中,4是三维空间数的个数,1+1是第三步确定的合数个数.完毕.

例2已知:1 至3维空间数的质数是2,3,5,7

求:4维空间数的质数

解第一步,确定四维空间数段区间端点23,24;

第二步,确定四维空间数9,10,11,12,13,14,15,16

第三步,确定四维空间数中的二维数(合数),质因子依次从小到大列举,2×5,2×7,3×3,3×5,共4个,分别是10,14,9,15.

确定四维空间数中的三维数(合数),质因子依次从小到大列举,22×3,共1个,是12.

确定四维空间数中的四维数(合数),24,即右端点,共1个,是16.

第四步,确定四维空间数中质数的个数:8-(4+1+1)=2.其中,8是四维空间数的个数,4+1+1是第三步确定的合数个数.

第五步,通过比较四维空间数9,10,11,12,13,14,15,16和第三步找出的合数9,10,12,15,16.确定三维空间数中的质数是11和13.完毕.

同理,我们可以用例1和例2的方法解决下面的问题.

已知:在区间(0,24]的质数有2,3,5,7,11,13

求:在区间(24,25]的质数

5 世界难题的突破

上述的方法实际是把不同空间的1 维数(质数)找出来.先通过质数相乘的办法把合数确定,排除了合数,就是质数.改变了传统的把数进行质因数分解.把做除法的工作改为做乘法的工作.

把数字空间化,实现了自然数的合理分类(分段).数字维度化,确保了列举合数时不重复.按质因子依次从小到大顺序列举,确保了合数不遗漏.只要计算机给予足够的运算支持,下面的世界难题就得以突破.

已知:在区间(0,282589933]的质数有2,3,5,……,M82589933.

求:在区间(282589933,282589934]的质数

解决了这一问题后,同理,可以求下一段(282589934,282589935]的质数.这样,我们就可以求出更多更大的质数,没有最大,只有更大.