广东省广州市广州中学

导数压轴题是高考的热点.导数压轴题在考查基础知识的基础上,注重数学能力的考查,融合多个知识点,综合性强,技巧性强,方法多,题型复杂多样.这些特点导致学生得分率极低.由于该类题能够考查学生的知识、能力和数学素养.因此教学中要让各个层次的学生都学有所获,夯实基础,提高解题能力,培养数学素养.

笔者从高考成绩统计数据和市区统考成绩分析中发现,导数压轴题的平均分往往都在2分左右.在对试题考点研究、学生答卷分析的基础上,笔者又对部分学生进行访谈,发现得分低的主要原因为:1.没有规划好答题时间,在导数压轴题上用时短.2.基础知识不扎实,求导出错.3.答题思路不清晰,没有踩中得分点.4.表达不规范,该得的分没得.

本文在研究近十年全国一卷高考真题的基础上,结合笔者的教学实践,为导数压轴题复习提出一些想法,希望能为高考的教学备考起到一些抛砖引玉的作用.

1 真题分析

笔者着重统计研究了近十年全国理科数学一卷试题所考查的知识点,数据如下表:

201920182017 2016 2015 2014 2013 2012 2011 2010(1)求极大值讨论单调性讨论单调性求参数范围函数的切线切线求参数切线求参数解析式单调性切线求参数求单调性(2)函数零点证明不等式求参数范围证明不等式函数零点不等式求参数求极大值不等式求最值不等式恒成立不等式恒成立

从表格中笔者注意到,在导数压轴题中主要考查的知识点有切线、极值、函数的单调性、函数的零点和不等式恒成立.此题综合性很强,但是其中融合的知识点和方法却比较基础,是在平常的复习中必须要掌握的,因此这一题也没那么可怕,教师要鼓励学生坚定自信地做好导数压轴题的复习.

笔者在知识点统计的基础上对近几年全国高考真题的解答思路以及涉及的常考知识点进行了一些研究.

1.1 求导正负知单调,堪根显威定个数

例1.(2019年新课标1 理科20)已知函数f(x)=sinx-ln(1+x),f′(x)为f(x)的导数.证明:(1)f′(x)在区间存在唯一极大值点;(2)f(x)有且仅有2个零点.简解:(1)构造函数g(x)=f′(x)=cosx求导得

评析:这一题主要考查求导、极大值、零点、零点存在性定理的知识点.在(1)解答过程中我们需要熟悉求导法则,过程中求导不出错,用导数分析极大值的存在,第二次求导判断单调性,证明零点的唯一性,使用零点存在性定理确认零点存在.在(2)解答中分段运用求导求单调性,使用零点存在性定理判断零点个数.在整个解答过程中求导判断单调性和零点存在性定理是关键的两步,缺一不可,相得益彰.在2017年、2016年、2015年也考查了零点的知识,解答的方法思路与此题也有相似之处.

1.2 切线斜率求导得,切点联系曲与直

例2.(2015年新课标1 理科21)已知函数f(x)=当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;(2)略.

简解:(1)f′(x)=3x2+a,设曲线y=f(x)与x轴相切于点P(x0,0),则f(x0)=0,f′(x0)=0.∴解得因此当时,x轴为曲线y=f(x)的切线.

评析:本题主要考查切线知识点,解答本题有两点关键点:1.函数某点的导数值等于切线的斜率.2.切点在切线上又在函数上.导数来源于切线,蕴含“以直代曲”的重要数学思想.部分学生没得到分数的原因是没有信心或者是时间不足.利用导数几何意义求解切线问题是导数的一种基本应用.2015年、2014年、2013年、2011年也考查了切线的知识点.其解答方法也与此题相似.

1.3 导数工具定单调,参数讨论是关键

例3.(2018年新课标1 理科21)已知函数f(x)=讨论f(x)的单调性;(2)略.

简解:f(x)的定义域为(0,+∞),.(i)若a≤2,则f′(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时f′(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)单调递减.(ii)若a＞2,令f′(x)=0 得,或当x ∈(0,x1)∪(x2,+∞)时,f′(x)＜0;当x ∈(x1,x2)时,f′(x)＞0.综上可得单调区间.

评析:本题主要考查单调性的知识点.解答本题关键点在于对方程x2-ax+1=0 有没有根对参数进行讨论.这类问题主要考查了导数判断单调性的作用,融合了函数的含参问题,需要找准参数讨论点进行讨论,综合性较强,难度较大.2017、2016 也考查了参数分类讨论的知识点,求导是工具,找准讨论点才是解决此类问题的关键,这类题做对难,但是可以通过讨论简单显然的参数范围得到分数,比如此题这种情况是比较容易分析得到分数的.

1.4 逐段讨论恒成立,参变分离求最值

例4.(2013年新课标1 理科21)已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(I)求a,b,c,d的值.(Ⅱ)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.

简解:(1)略.(2)易得a=4,b=c=d=2.令F(x)=kg(x)-f(x),得F′(x)=(kex-1)(2x+4),由F(0)≥0,得k≥1,令F′(x)=0,得x1=-lnk,x2=-2.1.若1≤k＜e2,则-2≤x1＜0,从而x ∈(-2,x1)时,F′(x)＜0,x ∈(x1,+∞)时,F′(x)＞0,即F(x)在x ∈(-2,+∞)上最小值为

F(x1)=2x1+2-x21-4x1-2=-x1(x1+2)≥0此时f(x)≤kg(x)恒成立..若k=e2,F′(x)=(ex+2-1)(2x+4)≥0,故F(x)在(-2,+∞)上单调递增,因为F(-2)=0,所以f(x)≤kg(x)恒成立..若k＞e2,F(-2)=-2ke-2+2＜0,故f(x)≤kg(x)恒成立.综上k的取值范围为[1,e2].

评析:本题主要考查不等式恒成立知识点,解答的思路在于构造函数,函数的最小值大于等于零.关键步骤在于逐段讨论参数,求出函数最小值.解决这类问题的难点在于讨论参数,先找到F(0)≥0 限定k的取值范围再逐段讨论分析,技巧性强,难度较大.但是解答这类问题的思路很清晰,解题模式较容易想到.得满分很难,踩点得分易.不等式恒成立求参数范围还有另一种方法,参变分离.此题可以转化为比较和k的大小关系.2014、2012、2011、2010年也考查了不等式恒成立问题.

1.5 双变量含参问题,消参减元定思路

例5.(2016年新课标1 理科21)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.(I)求a的取值范围;(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2＜2.

简解:(1)略.(2)由已知得f(x1)=f(x2)=0,不难发现x11,x21,故可整理得:则g(x1)=g(x2)求导得到当x＜1时,g′(x)＜0,g(x)单调递减;当x＞1时,g′(x)＞0,g(x)单调递增.设m＞0,构造代数式

而2-x1＞1,x2＞1,g(x)在(1,+∞)上单调递增,因此g(2-x1)＞g(x2)⇔2-x1＞x2.整理得x1+x2＜2.

评析:本题主要考查函数极值点偏移问题,解答的思路在于消掉参数,构造对称函数减元,求导定单调性解决问题.这类问题融合了多个知识点,基本工具是求导判断单调性,消参减元的技巧难度较大.极值点偏移问题有通性通法,总结归纳过此类问题,思路清晰,求导不出错一般都可以解决问题.2018年也考过双变量问题,解决的关键步骤也在于消参减元.

2 备考妙招

2.1 构建框架夯实基础,练习通法分类总结

从近十年的真题来看,导数综合题难度虽然很大,其中解决问题的知识点却是比较基本的.我们在复习中可以从导数的起源、导数的几何意义、求导法则和导数的作用构建框架,对知识点进行分类练习达到夯实基础的作用.从真题的角度来看,我们应该熟悉求导法则,能够准确熟练的求出较复杂函数的导数.我们还必需熟悉切线问题的方法,理解熟练应用导数的工具判断函数的单调性,使用导数工具求函数最值.

导数综合题虽然技巧性较强,但其中考查了基本方法和基本解题模式.我们在平常的复习中要注意总结归纳,帮助学生熟悉基本思路.常见的题型有1.构造函数证明不等式.2.构造函数逐段讨论解不等式恒成立问题.3.参变分离解不等式恒成立问题.4.导数解决含有ex与lnx的综合题,熟悉函数的图像.5.证明双变量不等式.6.极值点偏移问题.7.隐零点问题.8.导数中的函数不等式放缩.比较经典的问题有它们常常成为解题的基础.

2.2 渗透数学思想方法,积累提升数学素养

从前面的解题分析中我们很容易发现转化化归思想、数型结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想是解导数综合题时常用的数学思想方法.例如2016年新课标1 理科21,我们通过消参才看到这个题目是想考查函数的极值点偏移问题,可见转化化归思想为解题找到了切入点.在解决极值点偏移问题时,我们常常画出图象,以便观察图象是如何偏移的,有助于理解题意.在考查切线知识点时,需要学生懂得函数与方程思想.构造函数逐段讨论解不等式恒成立问题包含了分类讨论思想.一个导数综合题往往融合了多种数学思想方法,我们应该在平常的教学中渗透数学思想方法,潜移默化.

数学核心素养起源于思维品质、立足于基础知识、依附于关键能力.要解决导数综合题往往需要转化问题、构造函数、求导、判断导数正负、解方程、结合图形进行辅助判断、求出最值,这是多种能力和素养的体现.因此我们在导数教学中要落实好数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六大核心素养.

2.3 借得高等解初等,直使无路为有路

很多导数压轴题具有高等数学背景,了解背景,使用高等数学的工具解决导数综合题将化难为易,化繁为简.例如2010年理科一卷21题:设函数f(x)=ex-1-x-ax2(1)略.(2)若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.本题可以使用逐段讨论分析法,也可以使用参变分离求解.在逐段讨论分析法中,如果我们了解此题来源于泰勒展开便可猜测到题目可化难为易.使用参变分离法求解问题将转化为恒成立,构造求g(x)的最小值.通过求导得到gmin(x)=g(0),在高中的知识中g(0)没有意义.此时如果我们懂得洛必达法则便可以求出g(0),直使无路为有路.2011年的压轴题也可以使用洛必达法则求解.

了解一些高等数学知识有助于解题,有助于优化解题过程,找到题目的关键点.高等数学知识超出了考试大纲,在高考解答中有些定理也不能直接使用.对于优秀的学生来说,我们在平常的练习中可以适当的教给他们一些常用的高等数学知识,帮助解题.

2.4 分步得分因人而异,塞翁失马焉知非福

高考考试时间是一样的,在相同时间里比的是谁得分高,因此考试策略非常重要.如果为了做出导数题花了大量的时间导致前面基础题出错将会得不偿失,如果完全放弃导数综合题也是不可取的,因为导数得高分难,得分却不难.我们在教学中要教会学生根据自己的情况总结出得分的套路,踩点得分,避开失分点,在相同时间内尽量得分.下面我以2017年理科一卷21题为例说明.

题目:已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.

简解:(1)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,当a≤0时,aex-1＜0,2ex+1＞0.从而f′(x)＜0恒成立.f(x)在R上单调递减;当a＞0时,令f′(x)=0,从而aex- 1=0,得x=-lna.从而x ∈(-∞,-lna)时,f′(x)＜0,f(x)单调递减.从而x ∈(-lna,+∞)时,f′(x)＞0,f(x)单调递增.综上可得答案.(2)令f(x)=0得再令而f(x)有两个零点,则有两解,问题等价于直线y=a与曲线有两个交点;令求导分析得到a的取值范围为(0,1).

学生得分分析:在(1)中求导因式分解,对参数进行逐段讨论分析,难度中等.考查的知识点、方法都是比较基本的,中等以上的学生都能作答.成绩稍弱的同学也能求导得分,如果学生做不到因式分解,也能比较容易的分析出a≤0,f′(x)＜0,得到一定的分数.在(2)中参变分离是通法,求导正负定单调是基本方法,这部分中等的同学就可以做到了.最后对函数g(t)的求导分析难度较大,对成绩优秀的同学来说除了具备较强能力外,还要有充足的时间才能解决问题.

每一道导数压轴题在解答中都会为基础较弱的学生发一点福利,我们只需要在复习中夯实基础熟悉通法就可以拿到基础分了;中等的学生需要细心保证求导不出错,利用导数工具分析得当就能得6分左右了;优秀的同学状态稳定的情况下,熟练解答方法,细致求解,可以得到10分左右.学生不同,要求不同,期望不同.在复习中我们要根据学生的情况制定不同的复习策略让基础较弱的同学也能得分,中等的同学踩到得分点,优秀的同学少失分.

导数压轴繁又难,道是无路也有路.研究真题寻妙招,也有风雨也有晴.