摘要：随着我国航空事业的不断发展，航空器发动机的精确化水平越来越高，为提升航空器发动机的设计水平，首先需要通过精确化的数学模式对发动机中重要的部件进行描述。阿基米德双导程蜗杆是航空器发动机中重要的传动装置，做好该装置的模型构建工作能够使发动机内部结构更加紧凑、降低噪声，对于提高航空器性能有着不可替代的重要意义。

关键词：数学模型;阿基米德双导程蜗杆;构建方案

中图分类号：V23

文献标识码：A

文章编号：1001-5922（2020）06-0162-05

阿基米德双导程蜗杆是一种普遍用于航空器的新型蜗杆，该蜗杆的主要特点在于同侧齿面导程相等而对侧齿面发程不等[1]。由于现阶段航空领域对于阿基米德双导程蜗杆的应用尚处于初始阶段，不同机构所采用的加工方法、结构设计各不相同，并且标准不一，需要通过数学模型对阿基米德双导程蜗杆进行更加精确的描述，通过精细化的设计使该部件的结构更加合理、空间更加紧凑[2]。

1 坐标系的建议与坐标变换

在针对双导程蜗杆建立模型之前，首先应当依照双导程蜗杆的几何特性以及蜗轮齿面与蜗杆之间的共轭关系建立坐标系[3]。能够合理地建立坐标系统一方面会影响到运算的难易程度，还一方面也决定着整个建模过程是否顺利[4]。

在建立模型时，首先需要于标准截面上固定σ=o· xyz的位置，选定蜗杆的螺旋长度的1/2处并将其设定为坐标原点[8]。将固定坐标系所在位置设置为σ1=o1-x1y1z1的起始位置，将蜗杆转动的角度设为

2 阿基米德双导程蜗杆齿面的数学模型

设有一个固定坐标系xoz，将双导程蜗杆的标准齿厚的齿置于该空间中，具体形式如图2所示，将轴向齿形解记为α，将蜗杆分度圆半径记为r0，蜗杆的任意半径为r，轴线与Q点之间的距离为u[9]。

根据图2所体现出来的几何关系可知：

在双导程蜗杆绕逆时针绕z轴旋转的过程中，设旋转角度为θ，那么m1与m2也将会在z轴向左移动，同时随σ1=o1一x1y1z1旋转，由坐标变换原理可知，σ→σ1，的变化矩阵可以作如下表示：

上式中的螺旋参数即为p。

当σ1，绕z1轴以螺旋参数为p、切身角速度为v做螺旋运动时，齿面上的点的运动轨迹会描述出双导程杆的螺旋面[10]。在作逆时针运动的过程中，蜗杆左右两侧齿面上的点同样会呈蜗旋运动，即在z轴上向左运动，移动的距离可以表示为pyθ和Pzθ，在此基础上，设左齿面变化矩阵为M1，右齿面变化矩阵为

3 双导程蜗轮齿面的数学模型

根据图1～图2所示，将与蜗杆固联的动坐标系设定为σ1=o1-x1y1z1，将与蜗轮固联的动坐标系设定为σ2=o2-x2y2z2。无论蜗杆与蜗轮采用线啮合还是点啮合，均可以通过以下啮合方程式进行表示：

上式将蜗杆蜗轮齿面接触点的法线矢量记为n;将蜗杆与蜗轮之间的相对运动速度记为V12。本次研究通过中法线矢量的计算方法来求解双导程蜗杆齿面上任意一点的法线矢量，具体采用如下计算方法：

根据曲面的方程的表达式可知，参数r与O决定着法线矢量;根据曲面上任意点法线矢量的表达式可知，采用坐标变换的方式能够推导出不同坐标轴上同一个自由矢量的分量变换关系[15]。基于σ1=o1-x1y1z1中蜗杆螺旋齿面的表达方法，则可以在σ=o - xyz表示齿面上任意一点的分量，表达方式具体如下：

4 结语

本次研究针对航空用阿基米德双导程蜗杆进行了精确化的数学模型构建，所取得的研究成果对于航空改动机内部的设计有一定的参考价值。在未来的研究工作中，还需要进一步分析延长渐开线双导程蜗杆数学模型，使针对航空用阿基米德双导程蜗杆的研究更加深入，丰富航空改动机设计的参考条件。

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作者簡介：霍一飞（1987-），男，河北石家庄人，硕士研究生，讲师，研究方向：飞行器制造。