陈和柏 阳豪 张瑞

(中南大学 数学与统计学院，长沙,410083)

1 背景介绍和主要结果

在1900年,著名数学家Hilbert在世界数学家大会上提出了著名的Hilbert 23个问题[16].直到现在，这些问题还在引领世界数学发展,其中还有多个无法解决.关于Hilbert第16问题的第二部分,讲述的是

(1.1)

的最大极限环数,以及它们的相对位置,其中P,Q是次数不高于n次的多项式.当n=1时, 系统(1.1)无极限环.然而,即使是n=2的情形,我们也仅知道其最大极限环数大于等于4.著名数学家Smale在[25]中写到“I spent much time on the following special case of problem 7, corresponding to Liénard’s equation”,即花费许多时间来解决该猜想,但也毫无头绪, 并在[25, 26]中建议先解决限制在Liénard系统上的Hilbert第16问题.Lins,Melo和Pugh在[20]中研究了如下的Liénard系统

(1.2)

和

其中F(x)是关于x的五次多项式，ε是充分小的正数，对Lins-Melo-Pugh猜想给出了肯定回答.进一步可以问，对n≥6的情形,系统(1.2)的最大极限环是关于n的一个什么函数关系.关于该猜想的更详细的结果和发展，可参见[19].

上面讲述的均是g(x)=x的结果，还有更多关于多项式Liénard系统的结果，可参见[4, 5, 23].现在介绍g(x)为二次及更高次多项式的结果.当g(x)为二次多项式且f(x)为一次多项式时，1988年Coppel[8]给出了其极限环的唯一性；1992年Perko[24]给出了其完整的分岔图和全局相图；2013年Gasull等[14]发展了[15]中的方法给出了Perko对其同宿分岔曲线性质的猜想.当g(x)为三次多项式且f(x)为一次多项式时，1990年Dumortier和Rousseau[13]给出了完整的分岔图和全局相图(除了焦点情形中围绕三个奇点的极限环的唯一性是猜测外)；1996年Dumortier和李承治[11]发展了Coppel方法证明围绕三个奇点的极限环的唯一性问题，即解决了Dumortier本人和Rousseau的猜想.当g(x)为……