王雅丽， 高承华

(西北师范大学数学与统计学院, 兰州 730070)

1 引 言

近年来, 在许多物理问题中出现了边界条件依赖特征参数的S-L问题, 引起了诸多学者的广泛关注并获得了许多深刻结果[1-4]. 如文献[2]利用Prüfer变换研究了边界条件依赖特征参数的特征值问题的S-L理论, 得到了特征值的存在性, 交错性以及特征值对应特征函数的振荡性. 文献[4]得到了连续情形下问题的渐近公式及特征值的交错性, 对应特征函数的振荡性等性质.

对边界条件依赖于特征参数的离散右定S-L问题的谱的研究也已经取得了丰富的结果[5-9]. 如2016年, 文献[7]研究了如下边界条件依赖线性特征参数的离散右定S-L问题：

的谱， 其中m(t)>0,t∈[1,T]Z, 即m(t)在[1,T]Z上不变号.对于边界条件依赖特征参数的离散左定S-L问题的谱研究相对少见. 2017年, 文献[10]研究了边界条件依赖线性特征参数的离散左定S-L问题

的谱. 其中,r(t)在[1,T]Z上变号.受以上文献的启发, 本文研究如下二阶离散左定S-L问题

的谱, 这里Δ是前差分算子, 满足Δu(t)=u(t+1)-u(t),是后差分算子, 满足u(t)=u(t)-u(t-1),λ是谱参数,p:[0,T]Z→(0,+),q:[1,T]Z→(0,+),r(t)≠0且在[1,T]Z上变号. 进一步推广了文献[10]的结果.

2 预备知识

本文总假定:

(A1) 对所有的t∈[0,T]Z有p(t)>0, 对所有的t∈[1,T]Z有q(t)≥0;

(A2)r(t)在t∈[1,T]Z上变号, 即在[1,T]Z上有m个点使得r(t)>0, 另外T-m个点使得r(t)<0；

(A3)δM正定， 其中δ=ad-bc,

由(A3)可知,δab>0,δcd>0且detM=δbc>0, 于是ac>0,bd>0.

设y(t,λ)是方程(1)满足初始条件

y(0,λ)=p(0)(cλ+d),Δy(0,λ)=aλ+b

(3)

的解, 则y(t,λ)为如下广义Sturm序列:

y(0,λ)=p(0)(cλ+d);

y(1,λ)=(a+p(0)c)λ+(b+p(0)d);

(a+p(0)c)λi+Pi-1(λ),i=2,…,T

(4)

这里Pi-1(λ)是关于λ的i-1次多项式. 特别地,

(a+p(0)c)λT+1+PT(λ).

定义H:=Y⊕C. 则H在内积

之下构成Hilbert空间.

定义A:D(A)→H，

A(y,α)=(-(p(t)Δy(t))+q(t)y(t),

-ε(by(0)-dp(0)Δy(0))),

其中D(A)={(y,α)y∈Y, -ay(0)+cp(0)Δy(0)=α},ε=sgnδ. 于是问题(1)-(2)等价于AY=λSY， 这里S=(y,α)=(ry,α).

引理2.1算子A在D(A)上是正定的.

证明 由Hilbert空间中内积的定义可得

这里f=(y(0),p(0)Δy(0))T, 于是由(A1)及(A3)可知算子A正定.

3 主要……

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