张 琬，施三支，吕显瑞

(1.长春理工大学理学院，吉林 长春 130022；2.吉林大学数学学院，吉林 长春 130012)

变分迭代法是一种公认的、针对特殊限制性假设条件的各种非线性问题的有效解决方案.该方法通过众多学者的广泛研究，其越来越多的优点被发现，并在克服缺点的解决方案中提出了一些修改建议，已成为一个比较成熟的理论.[1-3]由于它的灵活性、方便性和精确性，该方法的应用范围被逐渐扩大.随着科学技术的进步以及社会的发展，有价证券组合理论已被越来越多地应用在金融领域之中，并且某些金融模型还可以直接导出优化方程.本文引用了一种新的优化变分迭代算法[4]，并对其进行推广，首次将之用来解决这类金融模型导出的优化方程的5维情形，并给出了具体的实例[5].

1 优化变分迭代法求解有价证券组合理论数学模型的一般步骤

考虑下面有价证券组合理论所建立的数学模型：

max(min)z=f(x1，x2，…，xn)，

(1)

满足

其中：

x=(x1，x2，…，xn)T∈Rn；

f(x1，x2，…，xn)：Rn→R1，

ɡi(x1，x2，…，xn)：Rn→R1，

hi(x1，x2，…，xn)：Rn→R1

均为连续函数，一般情况下要求其连续可微.

上述优化问题相应的Lagrange函数为

L(x，y，z)=f(x)+yTɡ(x)+zTh(x)，

(2)

其中：ɡ(x)=(ɡ1(x)，ɡ2(x)，…，ɡm(x))T，h(x)=(h1(x)，h2(x)，…，hl(x))T，y∈Rm.

下面对其构造迭代公式(δx表示对x做变分)：

(3)

先以两只股票为例构造迭代公式[4]：

(4)

其中：

令

若上述方程存在非零解，只需对应系数矩阵行列式为零即可，从而得到关于Lagrange乘子y1，y2的关系式.

下面将上述公式进行推广，并给出5种股票的形式：

(5)

其中：

为了求出Lagrange乘子y1，y2，只需让(5)式等于零即可.从而可以得到一个关于乘子y1，y2的稳定性条件，即一个微分方程组.对该方程组求解，即可求出乘子，再代回(3)式进行迭代运算.下面通过算例来说明如何求出Lagrange乘子和优化问题的最优解.