宋大春

【摘 要】二次函数的定点问题往往是学生解题困惑比较大的一类问题，本文通过一道中考题，归纳出解这类题目的方法，如何理解这些方法才能让学生更容易接受。从认知来看，自然接发遵循“最近发展区”以及建构主义的教学理念。

【关键词】自然解法;通性通法;定点

由于是广州中考24题的中考题，是压轴部分的题目，学生的得分不高，特别是这个问题的第二个问，但这道题的第二个问难度其实不大。而从解答的情况来看，学生对定点问题还是比较陌生，不知道定点是如何形成，以及如何去求定点，对于这道小题，很多同学是无从下手的。本文就本道题谈谈定点问题的解决方法，同时从这道题的方法看自然解法的特征。

一、题目分析

【原题】已知抛物线y=mx2+（1-2m）x+1-3m与x轴相交于不同的两点A、B.

证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标;

对于一道含参数的二次函数，学生往往没做就恐惧和无从下手，以致对这种题有回避情绪，没有上阵就败下来了，究其原因，是学生难于确定题目的思维起点。本道题大概有三种解法。

（一）解法的比较

1.验证特殊点

含参二次函数的定点就是当参数变化时，而有些点却恒定不变，这就是定点。所以给定参数两个值，得到两个无参数函数，这些得到的特殊无参数函数也是经过一些公共点即交点，采取的措施就可以联立解方程，解得的点就是公共点，也即可判定这些公共点就是定点。

证明：当m=1时，y=x2-x-2

当m=-1时，y=-x2+3x+4

联立两方程 x2-2x-3=0

解得：x=3或x=-1，

当x=3时，y=4，定点坐标为（3，4）;

当x=-1时，y=0，定点坐标为（-1，0），

∵P不在坐标轴上，

∴P（3，4）;

如果抛物线族过某个定点，其中的两条抛物线也必过这个定点，确定两个参数的特殊值，然后求这两条抛物线的交点。但是弊端也比较明显，就是这种方法是不完全，求出来的点就可能是定点了。求出的定点是这两个构造新的特殊的函数的定点，但不一定是含参函数的定点。同时，交点也可能有多个，需要继续排除。由于特殊值法不具有普遍性，这种方法更适合于填空题和选择题。

2.主参换位法

在解题中，当遇到二次函数里含有未知参数时，这种情况往往会迷惑学生，让学生找不到切入口。如果注意到换位思考，如果让这些参数不起作用时，对函数没有影响时，反客为主，在参数不起作用的情况下求出的点，这个点就是我们要找的定点。比如把原式变形为y=m（x2-2x-3）+x+1，故只要x2-2x-3=0，那么y的值便与m无关，解得x=3或x=-1（舍去，此时y=0，在坐标轴上），故定点为（3，4）;

证明：∵抛物线y=mx2+（1-2m）x+1-3m，

∴y=m（x2-2x-3）+x+1，

抛物线过定点说明在这一点y与m无关，

显然当x2-2x-3=0时，y与m无关，

解得：x=3或x=-1，

当x=3时，y=4，定点坐标为（3，4）;

当x=-1时，y=0，定点坐标为（-1，0），

∵P不在坐标轴上，

∴P（3，4）;

方法归纳：就是集中含有参数的项，通过变形使其成为只含系数和常数的因式与一个只含x的因式之积的形式。令含变量的因式等于零，这时含参的因式乘以零得零，以使其对整个式子不起作用，即是与参数无关。没有参数影响的情况下，求出的点就是定点，是参数为任何值时，都存在的點。

3.定参求交点

函数恒过一定点，可联立两个函数的解析式，求出公共点，即是所求定点。但要求这个参数有一定的代表性。

证明：若m1，m2分别是m的两个值，

y=m1x2+（1-2m1）x+1-3m1，

y=m2x2+（1-2m2）x+1-3m2，

∴m1x2+（1-2m1）x+1-3m1=m2x2+（1-2m2）x+1-3m2

（m1-m2）x2-2（m1-m2）x-3（m1-m2）=0

x2-2x-3=0

x1=-1，x2=3

当x=3时，y=4，定点坐标为（3，4）;

当x=-1时，y=0，定点坐标为（-1，0），

∵P不在坐标轴上，

∴P（3，4）;

本道题其实有点类似第一种方法，也是两个“特殊值”，只不过这里的特殊值是字母，更具有普遍性。也有点类似第二种方法，最终还是通过乘法性质，使参数在函数中消失，使其参数与函数无关然后求定点。

（二）思路分析

初步阅读题干，发现本题是以二次函数为背景命制的一道定点问题。

以上三种的解法，各有不同的侧重点，方法一是最容易做到，“特殊值”法多用在选择题和填空题。第二种和第三种更适合解决解答题，其回答更合理，两种方法也有异曲同工之处。

第二种方法，获得与参数无关的方程解决，第三种方法由于求交点，学生接触更多，也更容易理解。

一题多解是数学学习的常用方法，能让学生多方面理解问题，多方面比较方法，认识方法，能唤起学生对数学的兴趣，提高学生的思维品质。

（三）思考

数学解题是数学教育的实践的目标之一，数学教育家波利亚说“数学教育的首要任务就是加强解题训练”。数学解题在数学的活动中，面对具体问题不同的人有不同的解题过程，但是解题过程也需要有一个“有法可依”的实施步骤。

解题的目的不仅是获得答案，更重要的是在解题中，对知识本质的认识，和思想方法的提炼。对该题的多个解答中，学生获得函数定点的特点，在解答过程中，获得函数之间的知识联系，内化为认知经验，提高分析问题的能力。

解法自然的角度来看，对于试题的分析，对待定点的看法，第三种方法对于初中学生更容易理解，第二种方法更适合习得课外知识的学生，但无优劣之分，只是解题者所处的环境不同，能力不同，知识储备不同，学习的经历不同，因此在解题思路上也有所不同，形成自己的自然解法。正如数学家波利亚《怎样解题》说：“没有任何一个题目是彻底完成的”。我们还有很多东西可以回顾，

二、自然解法的特征

自然解法是经过分析，能自然找到解题的切入口，条件和结论自然结合，获得一个容易理解，顺畅的思路的解法。

（一）自然解法是通性通法

章建跃教授说过，数学的通性就是概念所反映数学的基本性质，通法就是概念所蕴含的思想方法。通性通法就是一种普适性的方法，它所对应的就是一些没有普适性，需要一些技巧的方法。片面追求技巧，往往让学生不能理解，同时由于技巧的特殊性，增加学生的负担。所谓“技巧微不足道也”。

在解题教学中关注通性通法的教学，才能做到举一反三，触类旁通。解题中，最基本的思想方法，就是最自然的方法。它们都是让学生达到理解数学的本质为目的。上面的解题思路其实的关键就是与系数无关和求交点的思路。所以具备通性通法的解法，也是自然解法的特征之一。

（二）自然解法，就是抓住问题的本质，概念的核心

数学解题通常就是把复杂问题简单化。这种自然解法，就是避免把问题复杂化。抓住数学问题的本质，就是对数学概念，数学思想的理解。解题过程的自然首先要纵向寻找题目中的条件可直接衍生的简单结论和次生条件，再从横向寻找条件之间，条件、简单结论和次生条件之间可能的逻辑关联，同时也寻找这些与结论之间有可能的关联和潜在的逻辑关系。这里经常用的就是综合法和分析法通过分析条件和结论来寻找解题思路。就好像章建躍所指那样：要逐步养成从基本概念、基本原理及其联系出发和解决问题的习惯，这是发展思维能力的正道。在解题中抓住核心概念，方璞归真，才是顺其自然，对问题的认知是从基本概念及其性质、原理，最后触及该问题的本源。

其中符合学生心理，学生能最先找到的就是自然解法。所以说数学教学中多鼓励学生展示自己的解法，同时在众多解法中寻找出最优解法。解题的自然，就是抓住数学问题进行合理转化。这种合理转化，本身就是解题是否抓住问题的本质，就决定了解题是否自然。

三、结语

单墫教师说过：数学鉴赏能力也是教师具有对解题有力能够做出判断的能力，而判断的标准就是是否满足“解法简单，思路自然”的原则。可以让学生更容易理解，更容易掌握，更容易运用的自然解法，增加学生的自信心，提高学习数学的兴趣。

参考文献：

[1]郑学涛.从一道题目的解答过程看解法自然[J].中学数学教学参考，2016（6）.

[2]于彬，李瑞江.易想的解法谓之自然[J].中学数学教学参考，2015（12）.