W（0，1）的中心扩张上的 Poisson结构

2020-07-04黄忠铣

四川师范大学学报（自然科学版） 2020年4期

黄忠铣

（武夷学院数学与计算机学院，福建武夷山354300）

Poisson代数是指同时具有代数结构和李代数结构的一类代数，其代数结构和李代数结构满足Leibniz法则.Poisson代数自然产生于哈密顿力学，是量子群研究的中心.Poisson流形是具有Poisson代数结构的流形.

Kubo[1]研究了特征零情形下有限维Poisson代数，在文献[2]中确定了仿射Kac-Moody代数上的所有结合的Poisson代数结构.文献[3-5]先后研究李代数son（～CQ）、广义 Kac-Moody李代数和李代数 sln（～C）上的 Poisson 代数结构.姚裕丰[6]研究Witt代数和Virasoro代数上的Piosson代数结构.文献[7]研究了一类扩张仿射李代数上的非交换Poisson代数.文献[8]研究了仿射Kac-Moody代数上一般的非结合Poisson代数结构问题，得到一些新的结果.文献[9]确定了李代数 W（2，2）上的一般Poisson结构，并改进了文献[6]中的部分结果.文献[10]讨论了扭Heisenberg-Virasoro代数上的Poisson结构.文献[11]讨论了一类伽利略共形李代数上的非交换非结合的Poisson代数结构.

Vir（a，b）是Virasoro代数与其中间序列模半直积得到的代数[12].对任意固定的复数 a、b，代数W（a，b）的基元素｛Ln，Wn｜n∈Z｝满足：

实际上，W（a，b）代数是 W 和 Aa，b的半直积，其中 W是 Witt代数，Aa，b是 Witt代数上的中间系列模[13].Vir（a，b）是 W（a，b）的中心扩张.特别当（a，b）≠（0，1）时，Vir（a，b）是 W（a，b）的泛中心扩张[14]，其中 Vir（0，0）是所谓的扭 Heisenberg-Virasoro 代数，Vir（0，-1）是无限维李代数 W（2，2）[15].

本文研究 Vir（0，1）代数（即 W（0，1）的中心扩张）上的Poisson结构，得到其结构是非平凡的，这有别于文献[9-10]得到的结果.

1 预备知识

设Z表示整数集，C表示复数域，所有的模（向量空间）都定义在C上.

定义1李代数W（0，1）作为C上的向量空间有一组基｛Ln，Wn｜n∈Z｝以及李运算：

记 G=W（0，1），Gi是由｛Li，Wi｝所扩张成的二维向量空间.G关于Cartan子代数H=CL0有分解

定义2[13]李代数 Vir（0，1）作为 C 上的向量空间有一组基

且满足：

定义3[6]Poisson代数（A，*，[-，-]）是域C上的向量空间A，同时具有结合代数乘法*和李代数乘法[-，-]，且满足如下Leibniz法则

Poisson代数有结合的（若乘法*满足结合律）和交换的（若乘法*满足交换律）.文献[2-6]主要研究了一些李代数上结合的Poisson代数结构.本文从Vir（0，1）李代数上的一般Poisson代数结构（非结合和非交换）入手，进而得到此代数上的非结合和非交换的Poisson代数结构.

2 李代数W（0，1）上的Poisson结构

引理2.1若在李代数G上存在一个代数乘积*，使得（G，*，[-，-]）成为一个 Poisson代数，则有

证明∀x∈Gi，y∈Gj，有

因此，对任意的 i，j∈Z，都有 Gi*Gj⊆Gi+j.

定理2.2李代数G=W（0，1）上的Poisson代数结构具有：

证明由引理2.1，易知 Gm*Gn∈CGm+n，由此可假设

1）求 am，n和 bm，n.由等式

得

在（1）式中取 n=k得

从而

因此

在（2）式中取 n=k，m=0，得 2nb0，n=-nbn，n，所以当 n≠0 时，2b0，n=-bn，n.在（2）式中取 m=k，n=0，得 2mbm，0=-mbm，m，所以当 m≠0 时，2bm，0=-bm，m.在（2）式中取 m=n=k，得 3mbm，m=0.在（2）式中取 n=0，m=0，得