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一类广义弗比纽斯群

2020-06-28何立国胡显宇

关键词:子群共轭素数

何立国,胡显宇

(沈阳工业大学 数学系,辽宁 沈阳,110870)

1 引言及引理

弗比纽斯群在群论中有着广泛的应用,特别是在置换群论和特征标论中,以至于其定义有很多推广形式,例如群作用形式、模形式、特征标形式等等.Kuisch和van der Waall[2,3]将弗比纽斯群的定义从群元素推广到群的p正则元素上,给出了弗比纽斯群的p-模形式,并研究了相应的群结构,证明了:在p≠2时广义弗比纽斯核是可解的,p=2时广义弗比纽斯核的非交换合成因子都同构于PSL(2,32i),i是某一正整数,等结果.曾吉文等[4,5]给出了与弗比纽斯群的p-模形式等价的弗比纽斯群的p-Brauer特征标形式并给出了一系列结果.例如,证明了:在p-模弗比纽斯群的极小弗比纽斯核的p-正则共轭类数是3或4时,此p-模弗比纽斯群分别同构于S3或A4;在极小弗比纽斯核的p-正则共轭类数是5时,此p-模弗比纽斯群同构于D10,M10或Z5:Z4.还有其它作者[6-8]对此类群感兴趣,给出相关结果.

在本文中,用素数集π替换素数p,将上述关于素数p的弗比纽斯群推广成如下关于素数集π的弗比纽斯群,并研究相应群结构.符号|G|π表示有限群G的阶|G|的π-部分.π(G)表示|G|的素因子集.

定义1.1取定一个素数集π和一个自然数n>1.假设G传递作用在集合Ω={α1,α2,…,αn}上,|CG(αi)|π>1对于任意i,且|CG(αi)∩CG(αj)|π=1对于任意i≠j.那么称G是一个关于素数集π的广义弗比纽斯群(简称广义弗比纽斯群),称此群作用为关于素数集π的广义弗比纽斯群作用(简称广义弗比纽斯群作用).

当π(G)⊆π时,满足上述定义的广义弗比纽斯群就是弗比纽斯群.为了研究上述定义下的广义弗比纽斯群的结构,我们需要下列预备结果.

下面关于弗比纽斯群的经典结果主要是由J.G.Thompson和W.Burnside给出的.此处G=N∶H表示G是子群N与H的半直积,其中的N是正规子群.

引理1.2假定G是一个弗比纽斯群具有弗比纽斯核N和弗比纽斯补H.那么G=N:H并且(|N|,|H|)=1,N是幂零的,H的Sylow子群要么是循环群要么是广义四元素群.在H是奇阶时,H亚交换群.

证明.见文献[9]中Satz V.8.3,Satz V.8.5,Hauptsatz V.8.7和Satz V.8.18.

下面是著名的Schur-Zaussenhaus定理.符号π′表示π在全体素数集中的补子集.

引理1.3如果G有一个正规Hallπ′-子群,则G有Hallπ-子群,并且任意两个Hallπ-子群是共轭的.

证明.见文献[10,p112]定理4.3.

如果有限群G有一个正规群列,它的每个因子群要么是π-群要么是π′-群,则称G是一个π-可分群.由定义可见一个π-可分群也是一个π′可分群.π-可分群有如下性质.

引理1.4设G是一个π-可分群,则下列陈述成立.

(1)G的子群及商群是π-可分群.

(2)G有Hallπ-子群,并且任意两个Hallπ-子群是共轭的.G的任意π-子群包含在某一Hallπ-子群中.

证明.见文献[10,p166]定理2.1.

2 主要结果

定理2.1设G是一个广义弗比纽斯群关于素数集π并且G是π-可分群.那么G的任一Hallπ-子群H均是弗比纽斯群.

证明.设G对Ω有一个广义弗比纽斯作用,Ω1⊆Ω是一个H-轨道.由于G对Ω的作用是忠实的,故H对Ω的作用也是忠实的,因而可取|Ω1|>1.对于任意α,β∈Ω1,我们可以得到CH(α)∩CH(β)≤CG(α)∩CG(β),所以阶|CH(α)∩CH(β)|整除阶|CG(α)∩CG(β)|.又因为|CG(α)∩CG(β)|π=1及|CH(α)∩CH(β)|是一个π数,可得CH(α)∩CH(β)=1.由引理1.4,G的非平凡子群CG(α)是π-可分群.因为|CG(α)|π>1,可得CG(α)有Hallπ-子群K>1.再由引理1.4,我们可以取Hallπ-子群H满足H≥K>1.因此CH(α)≥K>1.由于Ω1中点的稳定子群彼此共轭,所以这些子群的阶相等并且π-部分大于1,故H对Ω1的作用是弗比纽斯作用,因此H是一个弗比纽斯群.又因为G是一个π-可分群,利用引理1.4得,它的所有Hallπ-子群是共轭的,故G的每一个Hallπ-子群均是弗比纽斯群.证毕.

推论2.2设G是一个广义弗比纽斯群关于素数集π,K是G的次正规Hallπ-子群.那么K是弗比纽斯群.

证明.因为K是G的次正规π-子群,故有次正规子群列,不妨简记为1◁K◁◁M◁G.设g是G的任一π-元素,则L=M是G的一个子群,那么|L|=|M|||/|M∩|.由于M包含G的一个Hallπ-子群,得||=|M∩|,故≤M.因此G的所有π-元素包含在M中.对M利用归纳假设,可知M的所有π-元素都在K中,故G的所有π-元素包含在K中,所以对任意g∈G有Kg=K,因此K是G的正规Hallπ-子群.可见G是一个π-可分群,由定理2.1,K是弗比纽斯群.

定理2.3假设G是一个广义弗比纽斯群关于素数集π.如果G的π′-元素平凡地作用在集合上,那么G=M:H,其中M和H分别是G的Hallπ′和π-子群,并且H是弗比纽斯群.

证明.设G作用在集合Ω上是一个广义弗比纽斯作用并且作用的核为K,则K是G的一个正规子群.由于G的π′-元素平凡地作用集合Ω上,所以K包含G的所有π′-元素,进而G的所有π-元素对Ω的作用是传递的.因为K≤CG(α)∩CG(β)和|CG(α)∩CG(β)|π=1对于任意不同的α,β∈Ω,所以K不含任何π-元素,得K是一个π′-群并且(|G/K|,|K|)=1,故K=M是G的正规Hallπ′-子群.利用引理1.3,G有Hallπ-子群且所有Hallπ-子群彼此共轭.对于α∈Ω,由于|CG(α)|π>1,利用Sylow定理得CG(α)有p-子群P1>1,对于某一素数p∈π,并且P1包含在G的某一Sylowp-子群P中.由于G的Hallπ-子群包含G的Sylowp-子群并且与P共轭,可取G的某一Hallπ-子群H≥P.取元素个数大于1的子集Ω1⊆Ω是一个H-轨道满足α∈Ω1⊆Ω,可得CH(α)∩CH(β)≤CG(α)∩CG(β),所以阶|CH(α)∩CH(β)|整除阶|CG(α)∩CG(β)|.又因为|CG(α)∩CG(β)|π=1及|CH(α)∩CH(β)|是一个π数,可得CH(α)∩CH(β)=1.由于H传递作用在Ω1上,故所有CH(α),α∈Ω1,是共轭的,得所有CH(α)>1,α∈Ω1,所以H对Ω1的作用是弗比纽斯作用,H是弗比纽斯群.证毕.

定理2.4.假定G是一个广义弗比纽斯群关于素数集π.如果G的π′-元素无不动点地作用在集合上,那么G是一个弗比纽斯群,并且G=(K1×K2):H,其中K1×K2是弗比纽斯核,H是弗比纽斯补,K1是一个Hallπ′-子群,K2:H是一个Hallπ-子群.

证明.设Ω={α1,α2,…,αn},n>1是G作用的集合.由于是广义弗比纽斯作用,可知|CG(αi)|π>1对于任意i.又由于G的π′-元素无不动点地作用在集合Ω上,可得CG(αi)>1是一个π-群.因为|CG(αi)∩CG(αj)|π=1对于任意i≠j,可得CG(αi)∩CG(αj)=1,故G是弗比纽斯群.由引理1.2,G=K:H,其中K是弗比纽斯核,H是弗比纽斯补.G的π′-元素无不动点地作用在集合上,故π′-元素全包含在K中,因K是幂零的,它可写成Hallπ′与π-子群的直积形式,即K=K1×K2,故G=(K1×K2):H.可得K2:H是G的Hallπ-子群.

定理2.5.假定关于素数集π的广义弗比纽斯群G作用在集合Ω上,H=CG(α),α∈Ω.对于G的任意π-子群K,如果K与H的某一共轭Hg的交K∩Hg>1,g∈G,那么K是弗比纽斯群.

证明.设αg∈Ω1⊆Ω是一个K-轨道 .因为G对Ω的作用是忠实的,所以K对Ω的作用是忠实的,故可取Ω1满足|Ω1|>1.由于Hg=(CG(α))g=CG(αg),故CK(αg)=K∩CG(αg)>1是一个π-群,因此|CK(αg)|π=|CK(αg)|>1.因为K传递作用在Ω1上,所以任意两个不同的αi,αj,两个稳定子群CK(αi),CK(αj)是共轭的,因此每个稳定子群的阶|CK(αi)|>1.而|CK(αi)∩CK(αj)|=|CK(αi)∩CK(αj)|π≤ |CG(αi)∩CG(αj)|π=1.因此K是一个弗比纽斯群.

注意到引理1.2表明弗比纽斯群不可能是p-群.这一点可以由定义直接证明.若p-群p是一个弗比纽斯群且作用在Ω上.由于P是幂零群,故其所有子群都是次正规的,不妨设1

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