数学深度教学理论下的解题教学
2020-06-22纪定春唐蓓蕾
纪定春 唐蓓蕾
摘 要：数学深度教学是数学思维的教学，是数学教育的重要任务.本文以一道高考函数最值题为例，通过问题并联，引发深度思考;问题探究，激活数学深度思维;深入问题本质，感悟数学思想;推广问题，促进知识迁移，培养创新意识，进而培养学生的一般性思维策略，优化数学思维品质.
关键词：数学深度教学;解题教学;高考数学;函数最值
数学深度教学是数学思维的教学，是数学教育的重要任务.深度学习的概念，是在研究计算机科学、人工神经网络、人工智能等方面时产生的.数学深度教学，将深度学习的概念进行了移植，把计算机领域的概念引入了数学教育.数学深度教学，从构成对象上讲，应该包括“教师的深度教+学生的深度学+其它因子”.教师的“深度教”，就是要以学生的已有知识经验、认知结构、认知特点等为基础，科学合理地设计课程、创设情境、联系已有经验等，来建立学生新旧知识之间的联系，促进新知的同化或顺应.学生的深度学习，是指在教师的有效指导下，以高阶思维的发展和关键能力的获得为旨归，强调认知、技能、情感等全方位参与和发展的一种整体性学习过程[1].数学深度学习，归结起来就是要促进数学高阶思维能力的发展，也就是要会思维（即：想问题）.然而，现行中学数学教学，多以浅层的“教”和浅层的“学”为主要“教”“学”方式.浅层的“教”表现为知识点的灌输式教学，学生对知识的原理不理解，仅停留在机械记忆、表层理解和运用阶段.浅层的学习，表现为“机械学习”，这种学习方式满足于数学知识和数学经验（或教训）的简单积累，缺乏系统的数学知识构建、数学问题之间的联系、数学问题的表征、数学思想的顿悟等，这种数学知识的简单累积方式，与数学的逻辑系统本质特征是相违背的.
数学问题是数学的心脏，数学思维能力的发展和思维品质的提升，离不开数学问题的解决，即解题.从布鲁姆的知识分类理论来看，数学深度学习，表现为会分析、会评价、会创造性地理解和运用所学习的数学知识来解决数学问题.然而，很多学生对数学知识还停留在记忆、理解和应用阶段，数学教育的目的不是塑造学生的思维模式，而是让学生在数学的学习过程中学会自主思考.正如郑毓信先生所讲，要由“帮助学生学会数学地思维”转向“通过数学学会思维”，后者所提倡的是“数学深度教学”的一个重要内涵，即应当由突出强调具体的数学方法和策略，转变为注重一般性思维策略与思维品质的提升[2].学生数学一般性思维策略和思维品质的提升，虽说可以通过数学解题教学来实现，但这并非只是通过简单、机械的解题教学能够实现的，而是在长期的数学教学过程中，在讲解问题之间联系、剖析问题本质、掌握数学方法、渗透数学思想、推广问题和方法等过程中实现的.郑毓信先生认为，联系、问题引领、交流与互动、学会学习是深度学习的重要环节.可见郑先生强调知识之间的联系性、问题引领、交流性以及会学习等[3].郭元祥先生认为，深度教学的根本基础是知识观和学习观的深刻转变，强调知识处理的充分广度、充分深度和充分关联度，突显学习的丰富性、沉浸性和层进性[4].由此可见，郭先生强调知识之间的深度、广度、关联度、丰富性、渗透性和递进性等.可见，他们都强调关联性，因为这是深度教和深度学的基础，这对数学解题教学具有深刻的启发性.
数学解题教学要注重通过相似问题的“并联”（联系），形成问题串，引发学生深度思考;通过多视角对问题进行探究，激活学生的数学深度思维;通过探究问题的本质，感悟数学思想，优化学生的思维品质;通过问题推广，促进知识迁移，培养学生的一般性思维策略、孕育创新意识.接下来，以一道一诊试题为引例，然后将引例和一道高考三角函数最值试题并联，通过对三角函数最值问题的探究，引发学生数学深度思考、激活数学深度思维、感悟数学思想、体验一般性思维策略，进而优化其数学思维品质.
1 问题并联，引发深度思考
问题并联（联系）作为深度学习的首要环节，對激发学生的深度思考和促进问题解决具有引导性作用.好的数学试题（问题）往往具有基础性、综合性、思路宽广、切入点多、结构简单、形式对称等特征.其中，综合性就是要求学生在问题的解决过程中要注重不同知识点之间的联系.在数学解题教学中，单纯的解题教学带给学生的往往只是孤立的、单个试题的解法和数学解题活动经验的简单积累，缺乏系统性和关联性，难以形成知识网络，而策略型思维是建立在多种数学知识、方法、策略、思想等融汇贯通的基础之上，因此，单纯的数学解题教学难以实现数学知识的结构化和网络化，这对培养学生的策略型思维是不利的.通过相似问题之间的并联，可以将相互独立的问题并联起来，形成问题串和问题网，再通过对问题串试题进行对比、分析、识别、表征、评价引导学生发现试题的呈现方式、问题设置、问题结构等之间的异同点，以及问题解决方法的侧重点，引发学生的深度思考，优化思维策略，进而提升一般性思维策略.
问题1 （泸州市2017级第一次诊断试题第15题）当x=x0时，函数f（x）=cos2x+2sin（π 2+x）有最小值，则sinx0的值为.
问题2 （2018年高考全国Ⅰ卷理科第16题）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是.
分析 对问题1，通过诱导公式，可得f（x）=2cosx+cos2x.可见，该题和2018年高考全国Ⅰ卷理科第16题是相同类型的试题，只是在问题设置、函数名称、函数奇偶性等几个方面上存在差异.问题1的解决方案较多，如导数法（通性通法）、换元法、二次函数法等.同时，该试题也设置了陷阱，函数f（x）在取得最小值时，有两个最小值点，然而很多学生只考虑到其中一种情况，遗漏了另外一个最值点，这一点在设计上实属巧妙，因此，该题的得分率比较低.问题2的呈现方式较为直接，可以考虑通过统一三角函数名，然后利用导数解决;或是换元后转化成幂函数，再用导数研究幂函数的最值;或先平方，后配凑，再利用四元均值不等式解决，所以该试题的切入点多、思路极为开阔.根据当年高考考生的反映，该试题的运算量较大，且不好确定函数的最值，因此得分率也比较低.
评注 通过对上面问题1，2的分析和对比，可以大胆猜测，泸州市2017级诊断性试题第15题，极可能是由2018年高考全国Ⅰ卷理科第16题改编而成，只是在问题的设置等方面有所差异.这两道试题都是非常优秀的试题，可以并联起来研究和学习，通过对问题1的分析和解答，自然过渡到2018年高考全国Ⅰ卷理科第16题的分析和解答.问题2中的函数是奇函数，解题的思路和切入点比问题1更多，是一道优秀的高考试题，且该试题具有高等数学中函数凹凸性的背景，具有探究价值和推广价值，这对培养学生的一般性思维策略和提升数学思维品质具有重要的意义.
2 问题探究，激活数学深度思维
问题是数学的心脏.数学深度思维的参与，离不开问题的引领和问题的探究.通过对问题的探究，让学生的思维参与其中，从教师的思维主导转向学生自发、主动的思维（想问题），这就是要从“帮助学生学会数学地思维”转向“通过数学学会思维”，不是让学生在数学课堂上跟着教师的思路和方法走，而是要让学生主动地寻求方法，去猜测、去尝试、去估算、去计算、去推理等，甚至让学生去预测问题解决所要经历的大致过程等，让学生在主动探究问题的过程中，逐渐地激活数学深度思维，促进一般思维策略发展，提升思维品质.
2.1 导数法探究函数最值
导数法是研究函数最值（最大、最小值）、极值的通性通法，颇受学生的喜爱.但是在应用导数法解决问题的同时，也常会碰到一些问题，如运算量较大、计算易失误、函数单调性难以判断、多次求导（高阶导数）、逻辑混乱等，特别是在多次求导之后，反过来判断原函数的单调性时，时常出现错误.因此，在使用导数法研究函数性质时，需要讲究一些策略，适度增加思维量，尽量减少运算量.
分析1 为了方便研究，由于函数f（x）=2sinx+sin2x是奇函数，显然周期T=2π，不妨将函数限定在一个完整的区间上，如-π≤x≤π（注意：不妨假设，在后面的讨论和计算中，不作特殊说明时，都限定在-π≤x≤π上讨论），这样可以通过研究函数的局部性质来了解周期函数的整体性质.
对函数f（x）求导数，可得f ′（x）=2cosx+2cos2x.统一函数名，然后因式分解，可得f ′（x）=2（cosx+1）·（2cosx-1）.
令f ′（x）=0，可得cosx=-1或cosx=1 2.
經验证，当cosx=-1时，（x，f（x））不为函数f（x）的极值点，故cosx=1 2.
当cosx=1 2时，又因为-π≤x≤π，所以解得x1=-π 3，x2=π 3.
因为当-π≤x 当x1≤x≤x2时，有1 2≤cosx≤1; 当x2 所以函数f（x）在x1=-π 3处取得极小值，在x2=π 3处取得极大值.则f（-π 3）=-3 3 2. 根据函数f（x）是奇函数，所以有f（π 3）=3 3 2. 由闭区间上的连续函数必然存在最大值和最小值，还需要计算函数的端点值，然后比较大小，可得函数的最小值，显然有f（-π）=f（π）=0，故函数的最小值为-3 3 2. 评注 该方法将函数的定义域固定在一个完整的周期上，可以通过对一个完整区间上（周期）函数性质的研究，来达到对函数整体性质研究的目的，这是研究周期性函数的常见方法.但是该方法的运算量偏大，特别是在统一函数名、因式分解、解三角函数方程等过程中，容易出现失误，在对极值点的判定过程中，当cosx=-1时，不容易判别函数在该点是否取到极值. 2.2 统一函数名，巧用换元法 三角函数，特别是正弦函数和余弦函数，具有良好的性质，如奇偶性、周期性、有界性等，其中有界性是三角函数重要的特性，这对研究函数的最值（最大、最小值）具有重要的价值和意义.换元法是数学中常见的解题方法，常见的换元法有整体换元法、部分换元法等，通过换元可以有效地简化运算、降低思维难度、促进问题的解答. 分析2 在分析1中，最繁琐的就是解三角方程，这对学生的数学思维来说，无疑是一种挑战，在现行高中，并不太重视解三角方程，而是注重于解决代数方程，那么是否可以不用解三角方程呢？可以.利用三角函数的恒等变形，先将三角函数名统一起来，然后利用换元法，将三角函数最值问题转化为纯粹的求代数最值问题. 先利用二倍角公式，将原函数化为f（x）=2sinx+2cosxsinx=2sinx（1+cosx），然后再利用三角恒等式“sin2x+cos2x=1”，这里显然不能通过“sinx=±1-cos2x”来直接统一函数名，因为“sinx”的取值情况是不确定的，如何解决这个问题呢？可以考虑将函数f（x）的两边同时平方，再将计算出来的结果还原，这并不影响函数的最值.于是，将等式两边同时平方，可得f2（x）=4sin2x（1+cosx）2=4（1-cos2x）（1+cosx）2. 令cosx=t，显然-1≤t≤1，原式化为求当-1≤t≤1时，求f2（t）=4（1-t2）（1+t）2的最小值.显然，这是一个高次函数最值问题，可以用导数来研究其最值，这样就可以避免解三角方程，此处不再给出具体的解答过程. 评注 该方法充分地考查学生的三角函数恒等变形、导数运算、求导方法等基础知识点.先利用三角函数的恒等变形统一函数名，然后又用换元法，将解三角方程问题变成求闭区间上连续函数的最值问题，这就避免了解三角方程.值得注意的是，该方法对学生的数学思维和运算量的要求都比较高. 2.3 巧取平方，构造不等式法 不等式是高中数学重要的知识模块，在高中数学和高考数学中占有重要的地位.纵观近年高考试题的风格和题目的类型，不难发现，高考数学对不等式的考查，有逐年加强的趋势.例如，选做题中就常常出现不等式的证明和求最值（条件最值）的试题，这类不等式试题看似形式简单，实则灵活多变，考试的得分情况也不尽人意.因此，在高中数学的教学过程中，应该注重对不等式的讲解和练习.
分析3 通过分析2，可以得出f2（x）=4（1-cos2x）（1+cosx）2，将等式的右边因式分解，可得f2（x）=4（1-cosx）（1+cosx）3，将因子“（1-cosx）”前面凑一个系数“3”，再恒等变形，可知f2（x）=4 3（3-3cosx）（1+cosx）3.显然，等式右边因子“3-3cosx”和“3（1+cosx）”相加为定值“6”，考虑使用四元均值不等式，即
f2（x）=4 3（3-3cosx）（1+cosx）3
=4 3（3-3cosx）（1+cosx）（1+cosx）（1+cosx）
≤4 3·（3-3cosx+1+cosx+1+cosx+1+cosx 4）4
=4 3·（3 2）4
=27 4.
所以-3 3 2≤f（x）≤3 3 2.
故函数的最小值为-3 3 2.
当且仅当“3-3cosx=1+cosx”时，即当cosx=1 2时，等号成立.
评注 该方法主要考查三角恒等变形、均值不等式（四元）、“配凑”法等基础知识和思想方法.四元均值不等式，实际上已经超出了高中数学所学知识的范围，但是这对培养学生的思维能力和创新意识具有重要的价值.其实，学生可以通过已有的二元均值不等式的知识经验，探索并证明四元均值不等式，如高中已经讲过二元均值不等式xy≤（x+y 2）2，四元均值不等式是可以在此经验的基础上延伸出来的，不妨再来一组，如zw≤（z+w 2）2，利用不等式的运算性质，将两个不等式相乘，可得xyzw≤（x+y 2）2（z+w 2）2，显然不等式右边用二元均值不等式，有（x+y 2·z+w 2）2≤（（1 2（x+y 2+z+w 2））2）2=（x+y+z+w 4）4，可得xyzw≤（x+y+z+w 4）4，如此下去，用归纳法就可以得到n元均值不等式，即a1a2…an≤（a1+a2+…+an n）n.这就需要学生具有良好的类比推理、逻辑运算以及大胆猜测、敢于探索等数学综合能力素养.由此可见，该方法对学生的思维量要求相对较高，运算量要求较低.
3 深入问题本质，感悟数学思想、优化思维品质
深入问题本质，不是就题论题，而是要挖掘试题的背景、内涵、命题意图、条件呈现方式、问题设置方式、考查的知识点等，这样才能更好地讲出试题背后的思想、方法及精髓.将问题的本质弄清楚，可以更好地引导学生去观察、分析、辨别、解决、反思、总结问题，进而感悟其中蕴含的数學思想和方法.数学思想是靠“悟”出来的，而不是靠教出来的.数学思想具有模糊性、潜在性和隐藏性等特点，很难直接教，但可以通过教师在教学的过程中有意识地渗透数学思想，或是引导学生在问题的解决过程中感悟数学思想.
在数学中，数形结合是一种重要的数学思想，是沟通直观与抽象的桥梁.正如华罗庚先生曾讲“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分解万事休”.华先生强调数形结合的重要性，“形”可以为问题的解决提供直观的想象或思路，“数”可以精确地刻画“形”的本质特征，如一些不直观的数量关系和空间结构等，可借助数来描述其中的关系.
分析4 注意到，此处的函数f（x）=2sinx+sin2x为两个奇函数，相加之后的结果仍然是奇函数，不妨先来看看最简单的三角函数g（x）=sinx的图象有什么样的直观几何特性？不难发现，有如下的关系：
对任意的-π≤x1，x2≤0，有不等式g（x1）+g（x2）≥2g（x1+x2 2）成立，
当且仅当x1=x2时，等号成立;
对任意的0≤x1，x2≤π，有不等式g（x1）+g（x2）≤2g（x1+x2 2）成立，当且仅当x1=x2时，等号成立.
类似地，可以得出，对任意的-π≤x1，x2，x3≤0，有不等式g（x1）+g（x2）+g（x3）≥3g（x1+x2+x3 3）成立，当且仅当x1=x2=x3时，等号成立;
对任意的0≤x1，x2，x3≤π，有不等式g（x1）+g（x2）+g（x3）≤3g（x1+x2+x3 3）成立，当且仅当x1=x2=x3时，等号成立.
这样的性质，可以借助正弦函数图象的“形”看出来，然后利用代数符号（数）来刻画，这种性质，在高等数学中常常用来刻画函数的凹凸性.从几何的直观性质出发，到最后用代数符号表征出正弦函数的局部性质，集中体现了数形结合的思想.
为了方便研究函数f（x）=2sinx+sin2x的最值，可以将函数的自变量范围限制在一个更小的区间上，不妨假设0
又注意到，在正弦函数中，sinx=sin（π-x）.
所以f（x）=2sinx+sin2x
=sin（π-x）+sin（π-x）+sin2x
≤3sinπ-x+π-x+2x 3
=3sin2π 3
=3 3 2.
当且仅当“π-x=2x”时，即x=π 3时，等号成立.
因为函数f（x）是奇函数，所以函数f（x）的最小值为-3 3 2.
评注 结合学生已有的知识经验，借助正弦函数的几何直观，观察正弦函数的几何特征，将几何性质代数化处理，便得出上面的不等式，这需要学生有深刻的数学思维和敏锐的洞察力，这个不等式是不容易被直接发现的，但可以通过教师的逐步引导来实现.让学生在不等式的发现过程中感悟数形结合的思想，在问题的解决过程中感受数学本质和高等数学的魅力.可见，该试题蕴含高等数学中函数的凹凸性质，詹森（Jensen）不等式的特例，也称琴生不等式.
4 问题推广，促进知识迁移、培养创新意识
张景中院士指出：“推广是数学研究极重要的手段之一，数学自身的发展在很大程度上依赖于推广.数学家总是在已有知识的基础上，向未知的领域扩展，从实际的概念及问题中推广出各种各样的新概念、新问题[5].”推广，可以将一个具体的问题一般化，通过对一个问题的解决，来实现对一类问题或者是一串问题的解决，这对促进学生的知识迁移和思维的发展具有重要的意义.除此之外，推广可以得出各种各样的新概念、新问题，因此，推广还孕育着数学创新，这对培养学生的数学创新意识、学习一般化的思维策略、提升数学思维品质等都具有重要的教育价值.接下来，将从不同维度，对该三角函数最值试题进行推广、分析以及评注.
推广1 已知函数f（x）=3sinx+sin3x，求函数f（x）的最小值.
分析 可以类比前面一种解法，不妨假设0≤x≤π 3，显然f（x）=3sinx+sin3x满足上述不等式的性质.
则有f（x）=3sinx+sin3x
=sinx+sinx+sinx+sin3x
=sin（π-x）+sin（π-x）+sin（π-x）+sin3x
≤4sin3（π-x）+3x 4
=4sin3π 4
=22.
当且仅当“π-x=3x”时，即当x=π 4时，等号成立.
由奇函数的性質，可知函数f（x）的最小值为-22.
评注 此推广是将原问题的系数增加1，其余的不变，可以用上述探究1，2，3的方法来解决，也可以利用上述解法中函数的凹凸性质来解决.
推广2 已知函数f（x）=nsinx+sinnx，求函数的最小值.
评注 推广2，将原问题的系数一般化处理，解决方法类比推广1，此处不再给出具体的解答过程，有兴趣的可以尝试去求解.
推广 3 已知函数f（x）=2psinnx+psin2nx，其中p∈R+，求函数的最小值.
分析 利用二倍角公式，将函数名称统一起来，得f（x）=2psinnx（1+cosnx）.然后将两边同时平方，可得f2（x）=4p2·sin2nx·（1+cosnx）2=4p2·（1-cos2nx）（1+cosnx）2.
于是，有f2（x）=4 3p2·（3-3cosnx）（1+cosnx）3
≤4 3p2·（3-3cosnx+3（1+cosnx） 4）4
=4 3p2·（6 4）4.
由奇函数性质，可知函数f（x）的最小值为-3 3p 2.
当且仅当“3-3cosnx=1+cosnx”时，即当cosnx=1 2时，等号成立.
评注 此推广引入参数p，将原问题中的常数一般化处理，解决方法和探究3相同.
推广4 已知函数f（x）=psinnx（1+cosx），其中p∈R+，求函数的最小值.
分析 先将等式的两端平方，统一函数名，可得f2（x）=p2·（1-cosx）n（1+cosx）n+2.
可以考虑换元法，将其转化成高次函数的最值问题，从而用导数解决，亦可以先配凑，再用不等式的方法来解决.
评注 此推广将三角函数的指数进行了推广，变成高次三角函数最值问题.这种试题，对于初学者来说具有一定的难度，可以在教学过程中作为课后思考习题使用.
推广5 已知∑n i=1xi=c，0 分析 利用函数g（x）=sinx在区间0 f（x）=∑n i=1sinxi≤nsinx1+x2+…+xn n=nsinc n. 当且仅当“x1=x2=…=xn=c n”时，等号成立. 所以函数f（x）=∑n i=1sinxi在区间0 评注 此推广是詹森不等式的一般形式，可以利用函数的凹凸性证明，如果要用常规方法来解决该问题，比较困难，可以寻找时机，适当补充詹森不等式的相关知识点，拓宽学生的数学知识面. 推广6 已知函数f（x）=sinx，其中0 分析 该不等式，可以用数学归纳法证明，过程比较繁琐，如有兴趣，可以参考文[6]. 评注 此推广为詹森不等式，是描述函数凹凸性最一般的代数形式，该不等式在竞赛数学和高等数学中具有重要的价值和广泛的应用，应该值得关注. 5 教学启示 数学深度教学是指向数学思维的教学，更是指向由教师教会学生思维转向学生学会自主思维的教学. （1）重视问题和知识点之间的并联.通过问题串（并联）的引领，引发学生对数学的深度思考. （2）注重引导.在教师的引导下，让学生在主动探究问题、解决问题、反思问题的过程中，激活数学深度思维. （3）深入问题本质.在把握问题的本质过程中，感悟试题蕴含的数学思想. （4）注重问题的推广.在问题的推广过程中，促进知识迁移、孕育创造性思维. （5）多视角探究问题.分析1从通性通法开始，这符合学生的常规想法;分析2是对避免解三角方程引起的思考，可以通过换元法去避免解三角函数方程;分析3是在分析2的基础之上引发的再思考，通过对等式的右边“配凑”，让“配凑”后各个因式的和为定值，则乘积有最值，这可以通过已有的二元均值不等式取等条件的经验想到，想法比较自然，运算量较小，但是对思维的要求比较高. （6）注意思维的梯度.通过观察正弦函数的半个周期的图象，经历从“形”直观的感性认识到“数”的理性认识，感受数学的本质，感悟数形结合的思想魅力，最终利用代数表征几何图形的性质，突显出函数凹凸性质的强大力量，极大地简化了运算过程. 总之，数学深度教学，是促进学生数学核心素养生成的重要而基础的环节，这不仅仅需要在解题教学的过程中体现，还需要贯穿于整个数学教育活动的全部过程，这样才能够真正地让学生思维得到锻炼，进而促进学生一般性思维策略的发展，优化数学思维品质. 参考文献： [1]张晓娟，吕立杰.SPOC平台下指向深度学习的深度教学模式建构[J].中国电化教育，2018（04）：96-101+130. [2]郑毓信.“数学深度教学”十讲之二：“数学深度教学”的具体涵义[J].小学数学教师，2019（09）：10-12. [3]郑毓信.“数学深度教学”的理论与实践[J].数学教育学报，2019，28（05）：24-32. [4]郭元祥.论深度教学：源起、基础与理念[J].教育研究与实验，2017（03）：1-11. [5]朱华伟，张景中.论推广[J].数学通报，2005，44（04）：55-57+28. [6]华东师范大学数学系.数学分析上册（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010. （收稿日期：2020-01-03）
