中学物理中“质量为零”类问题赏析
2020-06-22李俊永王长江
李俊永 王长江
摘 要：在中学物理力学教学中经常会遇到一些理想化条件下的试题，文章就“质量为零”类问题进行了分析与梳理，从解题认识论的角度进行探讨赏析.
关键词：“质量为零”类问題;中学物理;力学教学
中学物理力学习题课中经常会出现一类习题，该种类型的习题往往会刻意提示某种力学杆件为轻质杆件，或者提示力学系统中某装置或某部分装置的质量忽略不计，笔者发现学生处理这类问题困难较大，既然发现了这样的现象，笔者觉得很有必要对这类问题进行整理归类、分析，学海探玉以飨同行.
1 了解“质量为零”及“质量为零”类问题
将客观的物理世界或研究对象进行理想化处理是物理学研究经常采用的方法，可以说没有研究对象的理想化就没有物理学，所谓质量为零，并非指研究对象的质量真的为零，而是相较于研究系统中的其它对象，该研究对象的质量很小达到了可以被忽略不计的程度.因此“质量为零”是比较法下的理想化处理，它是一种为简化问题而特别引入的物理学术语.比如，中学物理教材或教辅资料中提及的“轻绳”“轻杆”“轻环”“轻弹簧”等就属于这种情形，围绕这些理想化模型而设计的各种物理学问题就属于“质量为零”类问题.
“质量为零”类问题作为一类经典，广泛存在于各种试题当中，关于它们的讨论常见于中学物理教学研究期刊.之所以出现诸多讨论，说明中学物理界对该类问题的认识具有模糊性以及该类问题在解决途径上具有复杂性，笔者的教学实践也证明了这一点.当学生在解决该类问题时常常思维混乱，表现在各种认识看似都对但却不能拿出有效的证据进行证明.为此笔者梳理了四类典型“质量为零”问题进行研究赏析.
2 “质量为零”类问题分类研究与赏析
2.1 “质量为零”——轻弹簧问题
众所周知，轻弹簧意指弹簧的质量可以忽略不计，该类模型的典型性不言而喻，它常与牛顿第二定律的瞬时性问题相伴相随，由此也演变出了千变万化的经典试题，下面先从一道高考试题说起.
例1 （1987，广东卷）如图1所示，一重物m悬挂在弹簧下，再用一细绳固定在天花板上，整个装置平衡静止后，用火焰烧断细绳.在绳断开的瞬间，m的加速度为a（忽略弹簧质量和空气阻力），则（ ）.
A.a B.a=g，方向向下 C.a>g，方向向下 D.a 关于本题的解析有两种说法. 第一种，整体分析法，因为轻弹簧无质量，无惯性，当把轻绳烧断后将轻弹簧和重物看作整体，该整体仅受到重力，则重物部分的加速度等于整体加速度，即a=g，方向向下，B选项正确. 第二种，假设轻弹簧上下两端所受之力分别为F1、F2，当轻绳被剪断之后，对弹簧而言可列出牛顿第二定律的表达式F1-F2=m0a，假设m0为弹簧的质量，因为弹簧质量m0=0，可以得到F1=F2，因剪断细绳之后弹簧上端的力F1变为0，则F2也变为0，由此得到弹簧和重物之间的力瞬间消失，重物仅受重力，则重物的加速度为g，方向向下，选B. 关于本题也有学生认为重物的重力加速度应为0，理由是在剪断细绳的瞬间弹簧只能够发生渐变不能发生突变，因而剪断细绳前后重物的受力状态没有发生改变. 那么问题来了，究竟那种解释正确呢？作为教师需要对此进行深入的研究，否则不可能帮助学生在这三种解释中做出正确的判断.王志成老师在相关文献的基础上[1-3]，对“轻弹簧弹性势能凭空消失”作了深度分析，给出了重物重力加速度为0的完美解释[4]，王老师认为烧断细绳的瞬间，弹簧上方的弹力突然消失，由于惯性导致组成弹簧的每一个小环的运动状态并不相同，上方弹簧会发生微小收缩，从而使整个弹簧的质心有微小的下移，从而重物与弹簧形成的系统质心也会下移，根据质心运动定理，整体的质心加速度为g，单就重物而言，由于惯性的存在，弹簧要发生渐变，则重物的重力加速度为0. 赏析 第一、二种解法错误的根源在于未能注意到轻弹簧“质量为零”成立的条件同时教材也没有说明这个成立条件是什么，却在整体法、部分法的使用上无懈可击，这是学生不能解释的根本原因.上述文献对该原因的重视，正确地解决了轻弹簧“质量为零”成立的条件，也为本题背景下弹簧只能发生渐变不能突变的事实找到了理论根据，为重物的加速度为0找到了坚实的证据.就思维来讲，错解在一定程度上发展了学生的发散思维，这并没有什么坏处，更为重要的是通过两种错解与正解的对比能够让学生的认识得到升华，会对该类问题的解法产生较全面的理解，完整呈现这几种解法会让学生产生强烈的认知冲突，既有利于培养思维的深刻性，又发展了学生的对比思维与辩证思维. 2.2 “质量为零”——轻滑轮问题 轻滑轮类问题，需要紧紧把握好轻滑轮质量为零的特点，这种题型经常表现出新、奇的特点，学生不易把握. 例2 物块A和物块B的质量分别为4m和m，开始A、B均静止，细绳拉直，在竖直向上拉力F=6mg作用下，动滑轮竖直向上加速运动.已知动滑轮质量忽略不计，动滑轮半径很小，不考虑绳与滑轮之间的摩擦，细绳足够长.在滑轮向上运动过程中，物块A和B的加速度分别为（ ）. A.aA=1 2g，aB=5g B.aA=aB=1 5g C.aA=1 4g，aB=3g D.aA=0，aB=2g 关于此题，笔者在教学中发现，在学生中出现了两种典型的错误. 错误1 学生认为滑轮向上加速运动，就顺手写出了F-mAg-mBg=（mA+mB）a. 错误2 学生错误地将地面对物块的弹力也考虑进了方程中，具体写法是F-mAg+NA-mBg+NB=（mA+mB）a. 这两种错误都表明了学生思维品质差，正是这样的原因学生不能正确地判明每一个物块具体的运动状态，从而在解法上套用公式，误把错解当正解.
正解 设在运动过程中，细绳的拉力为T，滑轮的质量为m0，滑轮的加速度为a，则取滑轮为研究对象可得：F-2T=m0a，因m0=0，故可得2T=F，即T=3mg，取A为研究对象，因T=3mg
赏析 错解1和错解2是常见的错误类型，学生虽然使用了整体法，也看到了动滑轮质量为零的条件，但是并没有抓住问题的突破点——对动滑轮运动状态的分析，从此也就失去了真正能够解决问题的线索，这表明该类学生物理分析能力弱，问题解决能力不够，仅看到了问题的表象，却从未深入到问题的实质.从正解的解析过程看，以“质量为零”的动滑轮为突破点可以顺利地找到问题解决的线索，由此基于判断的物理状态分析，变得水到渠成.
2.3 “质量为零”——轻绳问题
轻绳模型是常见的模型，它是柔索的基本类型之一，是一个绝对柔体，拉力的方向沿着绳子并指向绳子收缩的方向，只能够产生拉力不能产生压力且劲度系数非常大，发生的形变极小，可认为它不可伸长.关于轻绳的一些试题也具有典型性.
例3 如图3左图所示，长L=1m，不可伸长的细绳拴住质量m=0.2kg的小球悬挂在天花板上的O点，现将小球拿至与O点等高，距O点d=0.6m的A点由静止释放，求小球过最低点的速度及细绳对小球的拉力.
关于本题学生经常出现如下的错误解法.
错解 假设小球从最高点下落到最低点的速度为v，根据机械能守恒定律mgL=1 2mv2，可以得到v=2gL，据此求得，速度v=25m/s，结合牛顿第二定律T-mg=mv2 L，得到T=6N.
仔细分析该过程就可以清晰的看到，学生未能正确认识轻绳受力可以发生突变的事实.如图3右图所示，当小球自由下落到B点时，绳子已经绷直，将B点的速度沿着绳子与垂直于绳子进行分解，沿着绳子方向的速度由于轻绳的原因立即减小到0，产生了能量损失.因此机械能并不守恒.
正解 图3右图中当小球下落到B点时，据几何关系可得到hAB=L2-d2=0.8m，且θ=53°，对此过程，据机械能守恒定律可得vB=2ghAB=4m/s，由于在B点的位置，速度的法向分量为0，则损失的动能为ΔE损=1 2m（vBsinθ）2=1.024J.则对AC过程而言，采用能量守恒定律1 2mv2c=mgL-ΔE损，并结合T-mg=mv2c L，得到T=3.952N.
赏析 该题的错解代表了一批学生的解题思路.从正解的解题过程可以看出，在思维的提升上，应当分三步，即自由落体运动阶段、轻绳张紧的阶段、圆周运动阶段，特别需关注的是当轻绳张紧时小球将会损失机械能.应该得到“质量为零”——轻绳问题中的两个关键点：（1）当用轻绳连接的系统通过轻绳的碰撞、撞击时，系统的机械能将会损失;（2）轻绳上的弹力会发生突变.
2.4 “质量为零”——轻管问题
所谓轻管，一般指空心薄管，在中学物理教学中并不常见，但是该类问题往往伴随摩擦力的分析，题目的难度较大，对学生思维要求较高，能够较好的区分和甄别学生思维能力的高低.
例4 如图4所示，一直立的轻质薄空心圆管长为L，在其上下端开口处安放有一个质量分别为m和2m的圆柱形物块A、B，A、B紧贴管的内壁，厚度不计.A、B与管内壁间的最大静摩擦力分别是f1=mg、 f2=2mg， 且设滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等.管下方存在这样一个区域：当物块A进入该区域时受到一个竖直向上的恒力F作用，而B在该区域运动时不受它的作用，PQ、MN是该区域上下水平边界，高度差为H（L>2H）.现让管的下端从距上边界PQ高H处由静止释放，重力加速度为g.
（1）为使A、B间无相对运动，求F应满足的条件.
（2）若F=3mg，求物块A到达下边界MN时A、B间的距离.
通过第（1）问的求解可得到为使A、B间无相对运动，F应满足F≤3 2mg的条件.A到达上边界PQ时的速度vA=2gH，当F为3mg时，A相对圆管向上滑动，设A的加速度为a1，则由mg+f1-F=ma1得a1=-g，根据运动的对称性可以知道，将A向下减速运动t=2H g后速度减为零，运动位移将为H.此过程中对空心管而言f1+f ′2=m管a管，由于管的质量不计，A对管的摩擦力与B对管的摩擦力方向相反、大小均为mg，f ′2=mg 赏析 该题中质量为零的空心管在状态分析中起到了重要桥梁的作用，但是从解题思维的角度看，空心管质量为零这一条件比较隐蔽，需要解题者充分挖掘该条件，并明白该条件在题干中存在的价值是什么.就该题本身来讲，它对初学者而言有极大的难度，理解试题所设定的关键条件更需要学习者具备将情景进行理想化处理的思维方式. 3 “质量为零”类问题的研究意义与启示 “质量为零”类问题共同的特征是相关研究对象为轻质，“轻”是物理学上相对意义的概念，属于典型的辩证思维，也许很多年之后学生把所学的物理学知识“都还给了老师”，但是物理学思想与方法却将永远地沉淀在学生的头脑当中，通过上述四类的梳理分析发现，它们经常与牛顿第二定律相综合，借助被选定研究对象质量为零的特征，问题往往拨云见日.它的教学意义至少有以下几点. （1）打破了学生惯有的思维方式，使得学生重新认識牛顿第二定律中的“质量”在解题技巧上的意义，根据以往经验，学生经常认为牛顿第二定律中的质量不可以为零，确实也不应当为零，但是基于比较法下的解题实践启示我们在具体的教学中需要渗透比较法下的辩证思维，在适当的条件下，质量是可以为零的. （2）帮助学生理解和建构“质量为零”的物理模型对于理解物理原理很有帮助.模型教学法就是基于对基本物理现象的深度思考透过现象看本质，并将共性的联系通过原型提炼应用于课堂的教学法，不论学生怎么看待诸多具体的物理知识，在教师的观念中应当树立物理模型至上的认识，因为“方法”总蕴藏在物理模型当中，它给教学的启发是教师应当不断在课堂中帮助学生梳理这样或那样的物理模型，通过模型的建构过程发展学生的高阶思维. （3）“质量为零”类问题不是什么新问题，只是为方便物理教学研究而引入的名称，它的引入解决了物理教学研究将该类问题简单归纳为轻杆、轻绳、轻管等典型分类，该分类更具有统摄性，它给物理教师带来的启发是物理教师需要善于归纳总结基本物理问题，并努力做好梳理工作，为后继研究做好积累，服务物理教学. 参考文献： [1]王志成.也谈一个值得探讨的问题[J].物理教师，2005（05）：44. [2]赵志栋，陈光红.轻弹簧之“困境”[J].物理通报，2016（05）：98-101. [3]赵坚，一个值得探讨的问题[J].物理教师，2003（07）：13. [4]王志成，杨俊.轻弹簧弹性势能凭空消失的困惑引发的再思考——兼谈轻弹簧理想化模型的条件[J].中学物理教学参考，2019，48（17）：34-35. [5]赵志强.理想“轻绳”之烦恼[J].湖南中学物理，2015，30（08）：89-90. （收稿日期：2020-02-27）
