祝子为 滕世宇 赵浩天

摘 要：本文基于SFS模型和边缘检测技术对二氧化硅的实际熔化速率进行定量分析，并得出二氧化硅在1 500 ℃条件下的熔化速率，然后推知其晶体构成等理化性质。希望本文能为学者研究二氧化硅晶体变化提供借鉴。

关键词：边缘检测;图像处理;卷积;SFS

Abstract： In this paper， based on SFS model and edge detection technology， the actual melting rate of silicon dioxide was quantitatively analyzed， and the melting rate of silicon dioxide at 1 500 ℃ was obtained， and then the physical and chemical properties such as crystal composition were deduced. It is hoped that this paper can provide reference for scholars to study the change of silica crystal.

Keywords： edge detection;image processing;convolution;SFS

本文的研究目标是描述1 500 ℃条件下二氧化硅的形态变化。通过分析二氧化硅晶体在高温下变化的一系列彩色图像，从不同角度来描述即将熔融的二氧化硅晶体的物理性质。根据从平面图像中提取的一系列数据构建其3D模型，从而计算出熔化速率，然后推知其晶体构成等理化性质。可以说，这项实验对研究二氧化硅晶体的变化来说意义重大。

1 二氧化硅图像的预处理

通过设置在坩埚上方的摄像头拍摄二氧化硅的彩色图像，完成图像大小的规格化操作后进行灰度处理，可以得到灰度图像（见图1）。将得到的灰度图像通过Sobel算子进行边缘提取，再利用图像像素调整法调整图像，以获得比较清晰的边缘。上述过程循环多次后，可以获得清晰的边缘。循环的次数和像素调整的参数根据图像的不同而进行修改。最后将所得图像进行二值化处理，为后续SFS模型处理做好准备。

1.1 灰度处理

图1为将拍摄的照片进行灰度处理后的图片。整个数据集共有101幅图像，研究者展示了其中4幅进行说明。

1.2 边缘检测与提取

边缘是图像中点与线的集合，亦是一组像素点的集合。在灰度图像中，这些点具有一个共同特性，即像素值在该点处出现了突变。

笔者用像素值将一幅图像量化，也就是说，一幅图像现在可以用一个矩阵来表示，该矩阵称为像素值矩阵。

对于灰度图像，研究者可以通过微调灰度值，使图像突显其边缘。对于轮廓较为明显的灰度图像，可以按照一定的映射关系调整图像的像素值，以使目标物的像素值较为接近，再利用数次卷积，便可以检测到较为清晰的边缘。

为了提取图像的边缘，研究者需要借助滤波器。这类滤波器以矩阵的形式存在，通常被称为卷积核。

在数学定义中，研究者把计算两个函数无穷积分的方法称为卷积。卷积的离散定义为：

由卷积定理可以得出以下结论：在一个域中进行卷积处理，与在另一个域中进行的乘法运算是相互等价的[2]。因此，用卷积处理图像是最科学的一种手段。

除此之外，需要将卷积操作进行简化，即将之等价于一个加权求和的过程。考虑进行卷积的两个函数[h]和[k]，如果把函数[h]当作描述图像的函数，把函数[k]当作区间的指标数，这时卷积的运算结果实际上是一种扩展的“滑动平均”。

通常情况下，使用一个维度较小的矩阵作为卷积的权值，这个矩阵的维度要与操作对象的维度一样，而且其元素的个数应为奇数[3]。我们将这个权重矩阵称为卷积核。相比于整个图像像素值矩阵，卷积核的维度应远小于该矩阵的维度。在进行卷积处理时，将卷积核中的每个元素与图像的像素值矩阵中所对应的像素逐一相乘，并将所有的乘积求和，将这个值赋值给图像中该区域的中心像素。

如此反复，就可以遍历整个图像的像素值矩阵，通过卷积运算，将整个像素值矩阵的值更新一次。通过改变卷积核的维度和数值，经过合适次数的卷积运算后，就可以提取图像的边缘。

成熟的卷积核有Robert算子、Sobel算子、Prewitt算子、Laplacian算子等。考虑到实际处理情况，本文经过多次效果评估，选用Sobel算子进行边缘提取。

Sobel算子是计算机视觉领域的一种重要处理方法，主要用于获得数字图像的一阶梯度。Sobel算子根据像素点上下、左右邻点灰度的加权差，在边缘处达到极值这一现象来检测边缘。对噪声具有平滑作用，提供较为精确的边缘方向信息，边缘定位精度不够高。当对精度要求不是很高时，是一种较为常用的边缘检测方法。Sobel算子在水平方向和垂直方向上的卷积核如式（2）和式（3）所示：

通过利用像素值调整方法和Sobel算子的卷积运算，研究者得到了边缘提取后的灰度图像，这时的二氧化硅晶体的形态已被强化。

1.3 二值化

二值化就是將图像上的像素点的灰度值设置为0或255，使整个图像呈现出明显的黑白效果的过程。在数字图像处理过程中，二值图像占有非常重要的地位，图像的二值化使图像中数据量大为减少，从而凸显出目标的轮廓。经过多次边缘提取操作后，对其进行二值化操作。为了更好地勾勒出晶体的轮廓，研究者先取得原图像的负色图像，然后将负色图像的像素值和边缘图像叠加，此时边缘处的像素值较低，非边缘处的像素值较高。最后，使用二值化的方法对合成图像进行处理，即将像素值超过200的像素点均设为255，像素值低于200的像素点均设为0。这样处理后，二氧化硅晶体的大致形态由黑色区域呈现。图像二值化的关键在于确定阈值。在实验中，200是经过多次试验之后得到的一个效果较好的经验值。

由于图片中的坩埚颜色和二氧化硅颜色相近，因此，研究者进行人工降噪，截取图像中合适的比例，将坩埚边缘部分删除，从而提高边缘提取的准确性。经过准确的人工降噪处理后，研究者得到了如图2（b）所示的黑白图像。

借助MATLAB等工具，可以计算出黑色部分的面积和周长。对整个数据集分别进行上述处理，得到了熔化过程中截面积的变化。这为下一步计算体积提供了数据。

2 SFS算法的理论与模型

通过提取边缘得到的物理数据，研究者得到了平面数据。若要建立3D数据模型，需要求出平面坐标系中每个像素点的高度值。SFS是一种计算高度值的算法，通过构建光源和图像的关系，计算三个重要参数——倾角[φ]、偏角[θ]和图像灰度的导数，通过这三个参数可以计算出预测的高度值，然后通过绘图计算，得到最终的结果。

研究者已经获取了每幅图片中二氧化硅熔融物在图片中的位置、面积等物理数据，要想得到晶体的体积变化，需要计算每个像素点的高度值。研究者以图片对应的平面为xOy平面、摄像机镜头的方向为[z]轴建立坐标系，根据此坐标系建立物质的3D模型。

2.1 将成像坐標系转换为光源坐标系

在球形坐标系中，球面上的一点[P]可以不仅用[x，y，z]坐标表示，也可以用倾角[φ]、偏角[θ]来表示。如图3所示，保持[z]轴坐标不变，从[z]轴正方向观看坐标系，[P]点在[XY]平面旋转了[θ];保持[y]轴坐标不变，从[y]轴正方向观看坐标系，[P]点在[XZ]平面旋转了[φ]。

设平行光源是从[P]点射入球形坐标系的，则可以用倾角[φs]和偏角[θs]来刻画光源的位置。首先要将成像坐标系[xyz]转换为光源坐标系[uvw]，该过程需要计算变换矩阵。

2.2 计算图片灰度值的梯度

具有纯漫反射特性的曲面，当从任意角度观察时，其亮度都是一致的，我们称这种反射体为朗伯体。在实验中，假设二氧化硅晶体为朗伯体，方可使用朗伯体模型来求解梯度值。朗伯体余弦定理指出，朗伯体表面一点反射的光强与该点光源的入射角的余弦值成正比[4]。本文用式（7）来刻画这个定理：

为了计算每个像素点的高度值，有必要计算出图像在[x]轴方向和[y]轴方向上的一阶偏导数，即梯度值。研究者用[Ex]表示在[x]轴方向上的梯度;用[Ey]表示在[y]轴方向上的梯度。

基于朗伯体的SFS求解算法要求将物体表面的形状作为附加约束条件，根据该条件建立正则化的数学模型。在解决该问题时，研究者应用了局部曲面近似的方法。假设物体表面一点的曲面元近似为球面上一点，在成像坐标系中考虑一个球面：

2.3 物体表面一点法向量的偏角[θ]

2.4 物体表面一点法向量的倾角[φ]

由成像坐标系与光源坐标系的关系可知，物体表面一点法向量的倾角[φ]和朗伯体余弦定理中的[φ]含义是一样的。在整个球面上，一定存在一点，该点的法向量与光源的方向矢量重合，此时[φ=0]，则该点的灰度值取为最大值[Iρ]。在光源方向向量已知的情况下，图像中灰度值最大点的法向量也随之确定。设图像中一点的灰度值为[Ei]，可得出：

2.5 物体表面一点法向量

2.6 图片中像素点的高度值

求得每一像素点的法向量后，需要根据法向量计算高度值。由于法向量只能描述物体的形状特点，因此，研究者建立了法向量和高度值的关系。将每个像素点通过式（21）计算归一化灰度值：

3 实验结果

设光源方向是垂直于图像所在平面向内的，由此可以计算出物体表面每一点的高度值。至此，研究者重构了二氧化硅熔融物的模型，从而可以计算出融化速率。

从图4可知，在0～10 s，晶体出现了一个短暂的膨胀过程，该过程由受热引起;然后是一个逐渐熔化的过程，该熔化速率先快后慢，熔化速率的变化点大约在53 s;此后晶体的体积以一个较慢的熔化速率变小，直至完全熔化。较快的熔化速率为0.007 mm3/s左右，较慢的熔化速率为0.001 5 mm3/s左右。

对于照相机从同一角度拍摄的二氧化硅晶体在等时间间隔下的熔化过程，研究者通过结合边缘检测和SFS算法等图像处理技术，重现了其熔化过程，从而计算了其熔化速率。

参考文献：

[1]吴曦.基于MATLAB的图像边缘检测算法的研究和实现[D].长春：吉林大学，2014.

[2]熊文杰，王勉，邝先飞.对卷积定理的再认识[J].南昌高专学报，2011（4）：179，186.

[3]邢国泉，刘柱，李义兵，等.Matlab在医学图像分割处理中的应用[J].中国医学影像学杂志，2008（6）：453-455.

[4]范桂杰.基于单幅图像的三维形貌恢复研究[D].青岛：山东科技大学，2005.

[5]朴磊.基于单幅图像的三维形貌恢复方法研究[D].大连：大连理工大学，2007.