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深挖细究 避免再错

2020-06-17李建波冯跃辉

关键词:单向数轴双向

■李建波 冯跃辉

作者单位:北京师范大学(珠海)附属高级中学

在一类待定系数法求取值范围的题目中,运用不等式“同向可加性”很容易产生一种错误的解法,而错解中的逻辑错误隐藏得很深,难以被发现。下面用例题来分析深含其中的逻辑错误。

例题如果1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,求a+2b的取值范围。

错解:因为所以0≤2a≤8,所以0 ≤a≤4 ①。又因为所以-2≤2b≤6 ②。综上,因为所以-2≤a+2b≤10 ③。这是同学们经常犯的错误分析过程。过程①是利用不等式“同向可加性”和“可乘性”,过程②同理使用“同向可加性”“可乘性”,过程③是利用“同向可加性”。每一步推理都运用不等式的基本性质作依据,也就是说推理过程没有问题,并且计算过程也没有问题,那为什么这是一种错误解法呢?我们先看看正确解答。

正解:设a+2b=u(a+b)+v(a-b),则解得故a+2b=。因为所以④。所以0 ≤,即0≤a+2b≤8 ⑤。正解过程④利用不等式“可乘性”,过程⑤利用“同向可加性”。

错解、正解两种计算结果无非都是利用“同向可加性”和“可乘性”,那为什么会有不同的结果呢?若令集合P正解={x|0≤x≤8},P错解={x|-2≤x≤10},用同一数轴表示这两个集合,如图1所示。由图1 可知,错误解法求得的范围扩大了,用逻辑与集合的关系可以表示为P正解⊆P错解,即P正解⇒P错解。对此,仔细思考可以发现错解中存在一种很隐蔽的逻辑错误——不等式“同向可加性”是一种“单向”推理过程,即a>b且c>d⇒a+c>b+d,反过来推导是错误的。不妨举例说明,当a=10,c=1,b=3,d=2时,满足a+c>b+d,但不满足a>b且c>d。

图1

把正解、错解过程中的一些技术性工作忽略掉,利用不等式“可乘性”的“双向”推理与“同向可加性”的“单向”推理的逻辑思想,重新梳理下两种解答过程中的逻辑核心部分,如下:

正解:因为①⇔②⇒0≤a+2b≤8 ③。

错解:因为④,⇒⑤⇒0≤a+2b≤8 ⑥。

正解中,不等式组①利用“可乘性”得到不等组②,属于“双向推导”,即两个不等式组①和②是等价关系。因此不等式组②利用“同向可加性”等价于不等式组①利用“同向可加性”得到不等式③。而错解中,不等式组④利用“同向可加性性”得到不等式组⑤,属于单向推导,也就是说不等式组④与不等式组⑤是不等价的;而不等式组⑤再次利用“同向可加性”得到不等式组⑥,犯了逻辑上的错误。

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