仝少凯 高德利

1.中国石油大学(北京)石油工程教育部重点实验室；2.油气资源与工程国家重点实验室

0 引言

水力压裂通过诱导目标地层裂缝来改善低基质渗透性储层，增加油气的供给面积和运移通道，最大程度地改善压裂效果，从而提高油气井的产量和采收率。目前，传统水力压裂工艺采用稳定注入方式进行作业。为了更好地强化压裂作业的增产效果，提出了一种新的波动注入水力压裂增产工艺［1］，即人为通过快速改变压裂泵组工作转速(或工作频率)的方式，实现压裂泵组“不稳定的排量和压力”输出。这种非稳态注入方式是实施新型水力压裂作业的核心。同时，对该工艺的相关基础研究内容开展了调研，从理论上初步证实了该工艺提高压裂增产效果的可行性和可靠性［2］。然而，该工艺究竟以何种力学机制影响深部储层岩石的破坏、裂缝的扩展和油气井产量的增加仍不清楚。在某种程度上，笔者前期的研究似乎不能更好地解释该工艺的本质作用。

微地震是由应力场变化导致岩石破坏而引起的微小天然地震事件［3］，可通过描绘震源和接收点之间岩石的地震属性在时空上的变化［4］研究储层应力状态和岩体破裂过程。同时通过对地震特征的分析，可研究储层岩石裂缝体系的断裂机理和评估水力压裂效果等［5］。国内外关于注入流体诱发微地震的机制研究较少，尤其在非稳态水力压裂诱发微地震方面的研究更少。国外典型的研究实例发生在科罗拉多州落基山Arsenal 油田［6］、Rangeley 油田［7］和美国Carthage气田［8-9］。Arsenal 油田和Rangeley 油田储层中存在大量的断层和天然裂缝，通过注入流体引起断层的滑动而诱发地震，同时地震引起的小规模应力扰动会引起一系列新的微小地震。美国Carthage气田CottonValley 气藏在水力压裂过程中，研究发现循环注入流体条件下水力裂缝重新开启的过程中会诱导微地震。上述应用实践证明，通过注入流体压力变化可以诱发油气储层地震事件，但地震的波及范围和震源特性存在一定的差异，主要取决于储层内断层/天然裂缝或节理的发育程度和水力裂缝的扩展程度。

笔者联想到采用“波动注入水力压裂可能人为诱发微地震”这一现象来更好地解释波动注入水力压裂工艺的本质作用。这种想法是否合理，需要从理论上给出波动注入水力压裂诱发微地震的力学机制，据此揭示人为诱发的“微地震”对压裂效果的影响机制，为研究和应用波动注入水力压裂工艺提供理论依据。

1 井筒不稳定流动引起的压力振动

在波动注入水力压裂作业中，通过快速改变注入排量与压力引起井筒不稳定流动，产生井底压力振动源。为了便于分析，以垂直井筒连续管环空压裂为例［1］，根据刚性液柱理论［10］，作如下假设：(1)连续管和套管是刚性管，即井筒环形空间在波动压力下不会发生明显膨胀；(2)井筒和连续管内流体是不可压缩黏性流体；3)忽略流体在地面管线中的流动时间和摩阻，仅考虑井筒中的流动时间和摩阻；(4)忽略井筒中连续管偏心对环空摩阻、波动压力的影响。

1.1 连续性方程和动量方程

如附录A 所示，井筒中环空不稳定流动的连续性方程和动量方程为

式中，p为环空流体压力，MPa，p=p(z,t)；u为环空流体波动流速，m/s，u=u(z,t)=u(t)；ρo为环空流体密度，kg/m3；z为坐标，正方向为流体流动方向或井深方向，m；t为流动时间，s；Ao为环空横截面积，m2，Ao=π(dc2−Dt2)/4；dc为套管内径，m；Dt为连续管外径，m；fo为环空流体摩阻系数，由环空流体流态决定；ξ为环空管路平均水力半径，m，ξ=(dc−Dt)/4；g为重力加速度，m/s2。

连续性方程(1)和动量方程(2)共同表示波动注入水力压裂过程中在不会膨胀的井筒环空中的运动传播过程。

1.2 波动压力的求解

如附录B所示，联立求解上述连续性方程(1)和动量方程(2)，根据稳定排量Qs和波动排量Qw的取值大小，按照如下2种情况得到环空波动压力和环空压力计算模型。

1.2.1 与Qs相比，Qw小于0.5 m3/min(很小)井筒中不稳定流动时的环空波动压力为

式中，Qs为稳定状态时压裂柱塞泵组输出的排量，m3/min；Qw为波动状态时压裂柱塞泵输出排量的振幅，m3/min；ω为压裂柱塞泵曲轴的运转频率，Hz；φ为压裂柱塞泵曲轴的运转相位，°；m为常数，可根据环空管壁粗糙度取值1.75~2.0。

波动注入水力压裂过程中，井筒中不稳定流动时的环空压力为

1.2.2 与Qs相比，Qw大于0.5 m3/min(较小)井筒中不稳定流动时的环空波动压力为

波动注入水力压裂过程中，井筒中不稳定流动时的环空压力为

式(5)和式(8)表明，波动注入水力压裂作业过程中，在井底z=l处引起了压力振动，形成了不稳定的压力振动源，为微地震产生、岩石损伤断裂和裂缝扩展提供了载荷依据。

图1所示为压裂泵工作频率与井底环空压力之间的关系。井底环空压力以压力波动的形式进行变化，这种压力波动会以“压缩—释放—压缩”作用施加在井壁上，同时伴随压力能量的聚集与释放，从而高效诱导井壁岩石破裂。此外，增加工作频率和波动排量，容易增强井底不稳定的压力振动，产生较大的压力振动源，有利于人为诱发“微地震”和破坏岩石。

图1井底环空压力与压裂泵工作频率之间的关系Fig.1 Relationship between the bottom-hole annulus pressure and the operating frequency of fracturing pump

2 井底压力振动源与岩石损伤断裂机制

利用岩石物理微地震模型可研究储层非稳态压裂过程的激活体积及水力裂缝带长等信息，利用这些信息可研究水力裂缝网络的分布，评价压裂效果［11］。为了研究非稳态压裂诱发的微地震，首先需要根据不稳定注入描述井底压力振动源，其次结合储层地质力学理论分析非稳态压裂过程中的岩石损伤断裂机制。

2.1 井底压力振动源

根据方程(5)或(8)，波动注入水力压裂过程中，压裂泵组不稳定注入排量引起井筒不稳定流动，在井底z=l处形成压力振动源。这种压力振动源会以压力波的形式向孔眼和储层裂缝传播，会在每条裂缝内保持一定程度的微小强迫振动。其压力振幅主要取决于压裂泵输出排量、工作频率和传输介质，压力振动频率取决于压裂泵工作频率与传输介质。随着工作频率和注入排量的增加，该压力振动源的压力振幅迅速增大，势必产生较大的振动能量，从而在井底人为诱发“微地震”。当然，微地震震源振幅的增加受工作频率和注入排量的限制，可能超过某一临界工作频率后，震源振幅呈下降趋势［1］。因此，需要在合理范围内快速改变压裂泵工作频率来持续增强井底的压力振动源，提供人为制造“微地震”的振动能量。

2.2 岩石损伤断裂机制

岩石的破坏过程是损伤与断裂综合作用的结果。根据上述分析，当井底诱发不稳定压力振动源时，势必会在井壁上产生波动交变应力，增加井壁岩石的疲劳损伤，从而在岩石内部产生微小疲劳裂纹并迅速扩展。随岩石损伤程度加剧［12］，其断裂韧性、抗拉强度降低，更容易引起井壁岩石拉伸破裂。一旦井壁拉伸破裂形成主裂缝，这种波动交变应力会以脉动应力波的形式在裂缝中传播，同时进入预先存在的初始微小疲劳裂缝网络内，在脉动拉应力作用下不断加剧岩石损伤破裂，可能会沿主裂缝方向引起许多翼形分支裂缝并互相贯通，由近及远向井壁围岩深处辐射扩展，从而造成储层岩石“振动损伤断裂”。

波动注入水力压裂诱导井壁岩石拉伸破坏，这是当井底流体压力超过最小主应力时发生的。当井壁围岩某一点所受的最大拉伸应力超过岩石抗拉强度时，井壁岩石就会发生拉伸破裂，水力裂缝便会从该处起裂。储层地质力学研究结果表明［13-14］，基本上岩石的抗拉强度都很低，仅为几个兆帕，如果岩石中已存在裂隙，抗拉强度几乎为0。所以一旦井壁岩石某一点环向应力进入拉伸应力状态，井壁就会产生拉伸裂缝。根据线弹性断裂力学理论，在水力压裂过程中，I型水力裂缝扩展准则为

式中，KIC为岩石断裂韧性，MPa · m1/2，可查岩石力学手册获取；pf为裂缝内的压力，MPa；Lf为裂缝长度，m；σ3为最小主应力(或闭合应力)，MPa。

图2不同断裂韧性下裂缝内净压力随裂缝长度的变化曲线Fig.2 Variation of the net pressure inside the fracture with the fracture length under different fracture toughness

根据方程(9)计算不同断裂韧性(或软硬)砂岩下水力裂缝内净压力与裂缝长度之间的关系如图2所示。井壁初始拉伸破坏很大程度上受岩石的断裂韧性控制，一旦裂缝扩展到一定长度后，水力裂缝扩展主要由净压力控制，不再与岩石的断裂韧性(或抗拉强度［15］)有关。因此，降低岩石的断裂韧性(或抗拉强度)可以加剧岩石的破坏。岩石的断裂韧性与抗拉强度具有一定的关系［15］，因为两者之间的本质一致，引起岩石破坏的力学机制相同，都是由岩石内部微裂纹受到拉张应力作用而引起微裂纹的扩展、互相贯通所致。从岩石破坏的力学机制角度看，一旦岩石内部存在微裂纹，岩石的断裂韧性和抗拉强度都会降低。因此，在波动交变应力作用下，深部岩石损伤断裂机制是由于岩石的损伤产生微小疲劳裂纹，引起岩石断裂韧性(或抗拉强度)降低，致使岩石更难保持稳定状态，更容易发生疲劳断裂失稳破坏。

3 诱发微地震的力学机制

在波动注入水力压裂作业过程中，不稳定高压流体通过井筒注入到目标储层引起井底压力振动，人为地诱发“微地震”，加剧储层岩石应力场的改变，加剧岩石破坏而增强自然微地震事件。通过对微地震事件的定位和监测［16-17］，根据其分布可大致评估诱发储层裂缝网络的发育情况和储层改造体积。为此，首先需要研究波动注入水力压裂人为诱发的“微地震”特性，然后针对含断层较多的裂缝储层和非裂缝性储层特征分析波动注入水力压裂诱发微地震的力学机制。

3.1 微地震特性

3.1.1 微地震震源信号频率与能量微地震震源信号的频率在实际中是一个重要参数，可用来表征地震事件记录的分辨率。岩石在井底压力振动源扰动下的破裂实际上是应变能释放过程，这种被释放的应变能，一部分以应力波的形式发射出去，产生了微地震信号［18］。岩石裂缝在扩展过程中，随着时间的推移，微小破裂逐渐集结为较大破裂。假定地震波在距离r上滑动受阻，r越长，在初始阶段滑动越慢，当r较短时，可预测滑动速度和加速度较高，其特征时间常数tr为［19］

地震波在岩石中传播的横波波速为

式中，tr为传播距离为r时控制地震波谱的最高频率的时间常数，s；G为岩石剪切模量，MPa；Ee为表面能，表示岩石破裂单位面积上所需的能量，J/m2； υ为岩石破裂速度，m/s；σc为单位面积上的内聚力，MPa；Vs为地震剪切波速度或横波波速，m/s；ρr为岩石的密度，kg/m3。

图3所示为波动注入水力压裂人为诱发的微地震震源信号截止频率与震源破裂半径之间的关系。随传播距离增加，震源信号截止频率呈幂指数规律衰减，随裂缝长度增加而降低。岩石微破裂产生过程中，随微破裂的集结和裂缝的扩展，地震波的频率会向低频部分移动。也就是说，微破裂形成过程中，地震波信号频率具有向低频偏移的趋势，而且裂缝越长频率越低。这是因为波动压裂人为诱发的微地震本身能量较小，且激发的地震波信号从井壁向远处储层传播过程中，岩石的吸收衰减效应会导致微地震信号的能量变弱和震源频率降低。能量越弱的微地震事件，其频率越高，波长越小，则衰减越快，在裂缝中持续的时间越短。以往的研究结果证实，如果考虑岩石黏弹性的存在，地震波高频信号衰减较快，低频信号衰减相对较慢［11］。

图3微地震震源信号截止频率与震源半径之间的关系Fig.3 Relationship between the signal cutoff frequency and the radius of microseismic source

微地震震源信号频率能够在很宽广范围内变化(即具有较宽的初始频带范围)，取决于储层岩石中的应力分布的强度(如注入压力)以及内部含裂缝和节理等软弱部分的规模［20］。这表明微地震的能量大小、震级和信号频率一定程度上受注入压力的强度和频率所控制。根据方程(5)或(8)，通过快速改变压裂泵工作转速(或工作频率)的方式可以迅速增加井底的压力振动，形成较大的压力振动强度，从而人为制造具有“高能量”的微地震。

地震的震级不同时，地震波的能量也有所差别。地震能量与震级之间的转换关系为［21-22］

式中，Ek为地震能量，J；Ms为地震震级，无因次。

根据划分标准将地震震级进行划分，并根据方程(12)计算不同震级地震产生的能量以及相应的TNT 炸药当量见表1所示。由表1可以看出，微地震的震级通常小于1.0，其能量较小，震源破裂半径也较小。大多数微地震事件频率范围为200~1 500 Hz，持续时间小于1.0 s［22］。震级为0.6级时，岩石破裂长度为10~20 m，震级为–2.0时，岩石破裂长度为0.5~1.0 m。不同储层的震级与破裂半径的关系存在区域性差异［23］。上述结果表明，人为地通过改变井底压力振动的强度与频率来制造“较高能量”的微地震，加剧岩石的损伤破坏，增加岩石破裂长度和微裂缝，从而扩大自然微地震的波及范围。

3.1.2 地面压力波信号的接收频率根据微地震监测的原理［16-17］，微地震震源激发的信号要从震源经过传播介质到达检波器，其震源、传播介质和检波器均会对震源信号的频率信息产生一定的影响。尤其是地震信号在不同类型和形状的介质中传播特性也各不相同，而且还会产生反射、折射、频散等效应。为此，按照微地震监测的逆向思维，需要讨论压力波信号在井筒流体和岩石介质中的频率特性。

表1 地震震级分类与能量Table 1 Magnitude classification and energy of seismic

图4所示为基于单轴压缩作用下室内声发射监测岩心微地震破裂信号试验的波动压裂诱发微地震信号传播试验示意图。在图4(b)中，可预先在井底安装压力波检测装置，用以检测和接收压裂泵组一定工作频率和振幅范围的压力波形，并判断压力波沿井筒是否衰减以及出现衰减的程度，同时将该压力波的频率范围作为所诱发的微地震震源主频率范围。如果事先确定了深部远处储层某一点岩石初始破裂时的信号频带，而且只要初始破裂的信号频带恰好落在了诱发的微地震震源主频带之内，那么波动注入水力压裂人为诱发的地震波可以传播到该点位置，实现岩石的有效破裂，否则，可能无法实现较大的破裂半径，如图5所示。

图4基于单轴压缩作用下室内声发射监测微地震试验的波动压裂诱发微地震试验示意图Fig.4 Sketch of fluctuation fracturing inducing microseismic on the basis of the indoor acoustic emission based microseismic monitoring test under the action of uniaxial compression

图5井底压力振动源震源主频带与目标岩石破裂频带之间的关系Fig.5 Relationship between the master frequency band of the seismic source corresponding to the vibration source of bottom hole pressure and the frequency corresponding to the fracturing of target rock

储层内任意位置r处目标岩石所获得的信号是井底压力振动源、岩石传输介质等因素的综合结果，即

式中，S(t)为储层内任意位置r处岩石获得的信号；P(t)为 井底压力振动源激发的地震波信号；H(t)为岩石介质对地震波信号的传递函数。

式(13)表明储层内任意位置r处目标岩石接收信号的实测谱为井底压力振动源震源谱与传播衰减两个过程的褶积。

假设传递函数的振幅谱满足如下方程［24］

式中，H0为传递函数的振幅；fr为目标岩石接收的信号频率，Hz；Qvs为地震波传播速度为Vs时的品质因子。

由于井底压力振动源压力振动的强度不同，人为诱发的地震波不同，从而造成震源频带和振幅有所差别。为便于分析，以压裂诱发的微地震子波中Ricker 子波(雷克子波)为例。Ricker 子波决定了剪切型裂纹，即滑开型裂纹和撕裂型裂纹［11］。当Ricker 子波的主频在几千赫兹以下时，接收信号在传播距离r之后的频率为［24］

式中，fb为井底压力振动源激发地震子波信号的频率，Hz。

式(15)对fb求导得

式(17)表明目标岩石接收的信号频率主要受3个参数影响较大，分别为井底压力振动源震源主频fb、传播距离r和品质因子Qvs。

图6和图7所示为震源主频fb、传播距离r和品质因子Qvs对目标岩石接收信号频率fr的影响。岩石若为黏弹性介质，在距离井底压力振动源震源100 m 处目标岩石接收到的地震信号频率明显受品质因子Qvs值变化的影响。随震源主频增加，目标岩石接收信号频率趋近于一个稳定值，且Qvs值越大，此稳定值越大。对于图7，岩石若为黏弹性介质，在相同震源主频作用下，随地震子波传播距离增大，目标岩石接收信号频率降低，且Qvs越小，频率衰减越明显；当传播距离增大到一定长度时，接收信号频率的变化幅度很小，逐渐趋近于一个稳定值。

图6目标岩石接收信号频率与井底压力振动源震源主频之间的关系Fig.6 Relationship between the frequency of the received signal of target rock and the master frequency of the seismic source corresponding to the vibration source of bottom hole pressure

图7目标岩石接收信号频率与传播距离之间的关系Fig.7 Relationship between the frequency of the received signal of target rock and the propagation distance

此外，地震信号传播过程中，高频成分衰减较快，低频成分的变化幅度较小。通常地下储层岩石属于黏弹性介质，地震波在传播过程中随着传播距离增大，其主频和能量都会越低。相关研究表明［18］，当地层为弹性介质时，地震波主频无变化，能量的降低仅缘于地震波的球面扩散和层位界面反射；当地层为黏弹性介质时，地震波主频和能量下降都很明显。因此，在微地震信号从井壁向深部远处储层传播过程中，井底压力振动源震源主频总体呈下降趋势，其能量和振幅也显著变小，频带变窄。所以，在波动注入水力压裂作业中，需要快速改变压裂泵的工作频率来供给井筒不稳定流动引起的压力振动，以维持井底压力振动源人为制造“微地震”所需的能量和频带。

3.1.3 微地震事件数量微地震事件数量和分布在一定程度上可以评估储层裂缝网络的发育情况以及储层改造体积。因此，有必要讨论井底压力振动源人为诱发的微地震可能产生的微地震事件数量。

微地震事件数量与震级间关系可由Gutenberg-Richter 方程［25］描述，即

式中，N为震级不小于Ms的微地震事件数量；a为常数，表征某阶段该地区地震活动的水平；b为常数，表征天然裂缝和断层对地震事件的影响程度。a和b随不同地区而变化，其中，b值越小，表明天然裂缝或断层对微地震整体事件的影响程度越大。

波动注入水力压裂诱发的微地震震级大小与井底压力振动源的压力强度存在某种关系，而微地震震级大小表征了地震能量的大小。所以，从能量守恒角度来说，根据井底压力振动源震源激发的能量，就可以估算微地震事件数量。

根据方程(18)和(12)得井底压力振动源震源能量与微地震事件数量的关系为

式中，Ep为井底压力振动源产生的能量，J。

根据方程(3)，井底z=l处的压力波动方程为

根据压力波的能量方程，压力波的能量为

式(21)表明压裂泵组工作频率越高，井底压力振动源激发的能量就越大，容易诱发“较高能量”的微地震。

将式(21)代入式(19)得

为了直观地显示压裂泵组工作频率和波动排量对诱发的微地震事件数量的影响，设a=3.0，b=1.5和

l=3 500 m，ρo=1.25 g/cm3，Qs=3.0 m3/min，在Qw=0.2 m3/min、0.4 m3/min 和0.6 m3/min 时，得到压裂泵组工作频率与微地震事件数量之间的关系如图8所示。在低频工作状态下，波动注入水力压裂诱发的微地震事件数量较多；高频工作状态下，诱发了高震级地震事件，地震事件数量较少。这是因为压裂泵组工作频率较低时，引起井筒不稳定流动的压力振动强度较弱，导致井底压力振动源激发的能量较小，从而诱发较小震级的微地震，在相同能量作用下容易诱发许多微小地震事件；当压裂泵组工作频率较高时，井底压力振动源强度增大，产生的能量较高，从而诱发较大震级的微地震，在相同的能量作用下只能产生较少的微地震事件。当然，地震震级是影响储层岩石破坏烈度的主要因素。因此，从岩石高效破坏的角度出发，建议在压裂泵组工作频率范围439~565 Hz(对应的工作转速范围1 400~1 800 r/min)内，通过快速改变工作频率(或工作转速)来增加井底压力振动源的能量，人为制造较大震级的微地震，实现储层岩石的高效破裂。

图8波动注入水力压裂过程中(微)地震事件数量与压裂泵组工作频率和排量之间的关系Fig.8 Relationship between the amount of the(micro)seismic events and the operating frequency and displacement of fracturing pump unit in the process of the fluctuationinjection based hydraulic fracturing

3.2 含断层较多的裂缝性储层诱发微地震机制

深部储层几乎所有岩石都存在着不同尺度、不同方向的断层、裂缝和平面不连续面，它们对流体流动、岩石力学性质、压裂效果和地应力大小都有较大的影响［26］。在波动注入水力压裂作业中，微地震震源机制重点是断层面方位和滑脱方向，只要能够确定这2个方面就可以从地震特征中提取震源参数(如震级、频率)并获得断层大小和断层处地应力大小。因此，对于这类储层，根据剪切滑移理论，有必要讨论注入流体诱发断层滑动的力学机制，并分析优势断层滑动对微地震的影响。

3.2.1 基于剪切滑移理论的注入流体诱发断层滑动的力学机制岩石剪切破坏最直接的表现形式为地下断层的滑动。对于断层面，当断层面上的剪切应力与有效正应力的比值达到材料的摩擦因数时，断层面发生摩擦剪切滑动［27］，即

式中，τ为摩擦面上的剪切应力，MPa；σn为摩擦面上的有效正应力，MPa；μ为摩擦因数，描述的是在储层原生断层面上发生的滑动。

根据有效应力定义，孔隙压力对断层面摩擦滑动的作用是通过有效正应力来引入的，即式中，Sn为分解在断层摩擦面上的正应力，MPa；pp为孔隙压力，MPa。

将式(24)代入式(23)得

根据方程(25)，在波动注入水力压裂过程中，由于断层的存在，大量流体流入到储层断层内部，提高了断层面的孔隙压力，但引起了断层面有效正应力的降低，从而导致断层发生滑动。

为了更好地描述断层的摩擦滑动，Coulomb提出了著名的Coulomb 破坏准则函数［28］

当Coulomb破坏函数为负值时，断层面保持稳定，剪应力不足以克服滑动阻力μσn。但是当CFF=0时，在原生断层的平面上，剪应力可以克服有效正应力，从而发生滑动。

通过方程(25)预测孔隙压力的增加会使断层稳定性降低，即剪应力和有效正应力的比值增加，从而使断层更容易发生滑动，而滑动的断层更容易诱发地震。这一预测结果已由科罗拉多州落基山Arsenal油田［6］和Rangeley 油田［7］水力压裂诱导地震证实。

由此可见，波动注入压裂流体流入到能够诱发地震的“活动/优势”断层中，对断层的“活化”和地震的诱发主要起2种作用：(1)降低断层的强度；(2)加速断层滑移破裂。

3.2.2 优势断层及其剪切滑动对微地震的影响机制水力压裂作用的对象是深部地层岩石。地层存在着许多断层和天然裂缝，但并不是所有的断层或裂缝在流体注入下会发生滑动，只有那些处于优势方向的断层(即临界应力断层或临界应力裂缝)才能滑动，从而诱发地震。因此，有必要讨论地层中那些断层是优势方向断层，并确定其诱发地震的临界应力与地应力之间的关系。

图9所示为断层面的摩擦强度对地应力的限制示意图。首先考虑一条二维断层(图9a)，且忽略中间有效主应力的影响(因为它在断层面内)。

图9储层岩石中断层面的摩擦强度对地应力的限制示意图Fig.9 Schematic restriction of the frictional strength on the fault plane in the reservoir rock to the in-situ stress

设断层面法线fn与最大水平主应力 σ1的夹角为β，则作用于断层面上的剪应力 τ和有效正应力σn为［26］

式中，σ1为最大有效水平主应力，MPa，且σ1=S1−pp；S1为最大水平主应力，MPa；σ3为最小有效水平主应力，MPa，且σ3=S3−pp；S3为最小水平主应力，MPa；β为断层面法线与σ1的夹角，°。

因此，作用于断层面上的剪应力和有效正应力取决于主应力大小、孔隙压力以及断层面法线与主应力σ1的夹角。

根据储层岩石中不同方向断层所对应的Mohr圆(图9c)和Mohr-Coulomb破坏准则，对任意给定的σ3，都存在一个由断层的摩擦强度确定的σ1的最大值。如果断层处于临界方向，即位于最易于滑动的角度［26］

根据Anderson 断层理论和断层分类模式［29］，正断层、走滑断层和逆断层与其相对应力大小如图10所示。结合式(29)，假设摩擦因数μ= 0.6的条件下，可以得到：(1)形成正断层成60°倾角，成对出现，走向与σ1方向平行；(2)形成的共轭走滑断层，与地面垂直且成对出现，走向与σ1方向约呈30°角；(3)形成的逆断层约呈30°倾角，成对出现，走向与σ1方向垂直。

Jaeger 和Cook 研究指出［30］，临界方向断层处于摩擦极限时(即满足方程(23))，σ1和σ3(及S1和S3)满足

图9a 是一个二维示意图，可将该图看作走滑断层的情况(图10b)，其中σ2为有效垂直应力，位于断层面内。在这种情况下，σ1和σ3之差，即最大最小有效主应力之差受原生断层面摩擦强度的限制，如方程(30)所示。换句话说，如果σ1相对于σ3不断增加，一旦达到临界方向断层的摩擦强度时，断层就会发生滑动(如图9b粗黑线，标号1)。一旦断层开始滑动，σ1不会再继续增加。这种与图9a、图9b 1号断层平行的断层称为临界应力断层(处于滑动的临界状态)，其他角度的断层(图9b 2号和3号)则不是。与σ1几乎垂直的断层正应力很大，但剪应力较小，不足以发生滑动(图9b绿色线，标号2)，而与σ1几乎平行的断层正应力和剪应力都较小(图9b蓝色线，标号3)。

图10正断层、走滑断层和逆断层相对应力大小的Anderson 分类模式Fig.10 Anderson classification mode of the relative stress of normal fault,strike-slip fault and reverse fault

根据摩擦断层理论，在应力大小受断层面摩擦强度控制的情况下，当孔隙压力增加时，在相同深度上最大最小有效主应力差值将降低；当孔隙压力极高时，较小的应力扰动可以引起临界方向断层滑动。

上述分析表明，对于断层较多的裂缝性储层，波动注入水力压裂导致岩石破坏诱发微地震的力学机制主要是储层中断层或天然裂缝的剪切滑移。这对于指导该类储层的“注入流体”开发(如油田注水、水力压裂等)具有重要的作用。

3.3 非裂缝性储层诱发微地震机制

非裂缝性储层是指储层中断层和天然裂缝发育较少、可能没有明显流体流动的储层，比如长庆油田致密砂岩储层。对于非裂缝性储层，在传统稳定注入水力压裂过程中，孔隙压力增大，水力裂缝尖端前产生拉伸张应力，导致裂缝尖端附近区域发生剪切破坏并诱发微地震［31-32］。也就是说，水力裂缝的扩展是引起微地震的主要原因，服从断裂力学I型裂纹与II型裂纹扩展综合作用机制，但是这种微地震属于“自然微地震”现象。从总体上讲，在压裂区，水力压裂诱发的微地震引起的应力重新分布范围有限，小震级地震波的作用也有限，这些微地震不可能触发较远储层的地震，对提高水力压裂增产效果具有限制性。所以如何增强自然微地震的能量和震级，获得更多的“微裂缝”，强化压裂增产效果，提出的波动注入水力压裂可能是一种有效的解决途径。

根据分析，波动注入水力压裂在井底人为产生不稳定的压力振动源，相当于人为制造了“地震源”。在地震源的作用下必然在储层产生人工“微地震”，加速储层岩石的破裂，增加储层的“微裂缝”，从而强化储层的压裂增产效果。同时，波动注入水力压裂在某种程度上影响了“自然微地震”的频率和强度特征。另一方面，井底不稳定的压力振动源在井壁上会产生波动交变应力，这种波动交变应力增加岩石的疲劳损伤，很大程度上降低岩石的强度和断裂韧性，易产生疲劳微裂缝，加速岩石破裂以及裂缝互相贯通的速率，提高储层的渗透率。

考虑损伤时岩石的断裂韧性可描述为［12］

式(32)表明随岩石损伤程度加剧，岩石的有效断裂韧性也会越来越低，不能将其当作常数KIC来考虑。因此，在波动交变应力作用下岩石内部出现微裂缝时，岩石本身抵抗断裂的能力下降，其抗拉强度也会降低，有利于岩石的起裂。从这一角度来看，与完整岩石相比，含有内部损伤的岩石发生破坏时所需的外部载荷要小得多，如果处于水力压裂起裂环境中，意味着岩石的损伤很大程度上可以降低压裂作业的起裂压力。

总之，对于非裂缝性储层，相比于传统稳定注入水力压裂，波动注入水力压裂导致岩石破裂诱发微地震的力学机制主要包括2种力学效应：(1)损伤—断裂效应，即储层岩石在波动交变应力作用下产生疲劳损伤，降低岩石的强度和断裂韧性，在岩石内部易形成疲劳裂纹，引起岩石疲劳断裂；(2)人为地震效应，即在井底压力振动源激发下人为制造“微地震”，增加储层的“微裂缝”，加速岩石破裂扩展和裂纹互相贯通，造成岩石断裂破坏。这2种力学效应以不同的力学机制引起储层岩石拉伸—剪切破裂，扩大“自然微地震”的波及范围：前者本质上是由于岩石内部人为产生“微裂缝”，在拉伸应力作用下，微裂缝扩展并互相贯通，导致岩石拉伸破坏；后者相比于前者，反映在微地震震源机制上的剪切破坏是较为普遍的［33］。

4 微地震对压裂效果的影响

根据上述分析，采用波动注入水力压裂人为制造“微地震”，可增加储层的“微裂缝”，提高储层的孔隙度和渗透率，从而显著增强压裂作业的增产效果。这一预测结果可借鉴室内岩石的循环注入水力压裂试验来初步验证。循环注入水力压裂工艺是国外发展的一种新的压裂模式，在实验室内，施加在岩石上的循环注入压力为非对称交变应力载荷，研究发现与单调连续注入方式相比，采用循环注入时岩石内部出现了许多分支微裂缝，大幅度降低了岩石的破裂压力［34］。这是由于循环加载阶段岩石内部产生损伤累积，迫使损伤的岩石达到疲劳失效。

相比于完整的岩石，微地震诱发的微裂缝直观上能显著增加储层岩石的孔隙度，却在定量上无法用方程描述微裂缝数量与孔隙度和渗透率之间的关系。然而储层孔隙度与渗透率具有一定的相关性。为此，从理论角度考虑采用Kozeny-Carman 关系式来分析孔隙度对渗透率的影响，据此间接说明岩石微裂缝的增加对渗透率的影响。

Kozeny-Carman 关系式可根据孔隙度等参数确定地层的渗透率，应用较为广泛。将裂缝理想化为扭曲的圆形管道，设圆形管道内为层流模式，由Darcy 定律得Kozeny-Carman 关系式为［35］

式中，K为岩石的渗透率，μm2；B为几何因子；ζ为裂缝弯曲度；ϕ为岩石的孔隙度，%；d为裂缝中支撑剂颗粒的平均直径，m。

Kozeny-Carman 关系式表明渗透率与孔隙度的立方成正比。波动注入水力压裂人为诱发的微地震产生“微裂缝”，使岩石中孔隙容积大量增加，从而孔隙度增加，岩石的渗透率相应地增加。

将渗流孔隙度ϕc引入Kozeny-Carman 关系式中，将渗流孔隙度定义为极限孔隙度，在该孔隙度下，地层中存在的孔隙相互不连通且对流动无贡献。得到修正的Kozeny-Carman 关系式为［26］

式中，ϕc为渗流孔隙度，在大部分情况下，介于0~5%范围内，%。

为了确定孔隙度变化引起的渗透率变化，对式(34)进行简化，去掉了2个几何因子，则得到［36］

式中，Ki为初始渗透率，μm2；ϕi为初始孔隙度，%。

当渗流孔隙度ϕc=0时，由式(35)计算无量纲渗透率与孔隙度的关系如图11所示。由图11可以看出，当岩石中微裂缝产生并互相贯通时，孔隙度的增加可以显著提高储层的渗透率。因此，波动注入水力压裂人为诱发的微地震所制造的微裂缝能大幅度地提高储层的渗透率，增大油气流动效率，从而强化压裂增产效果。

图11无量纲渗透率与孔隙度的关系Fig.11 Relationship between dimensionless permeability and porosity

由此可见，波动注入水力压裂诱发的微地震对压裂效果的作用机制是人为制造“微地震”增加储层的“微裂缝”来提高储层的渗透率，从而增强压裂增产效果。

5 结论及建议

(1)波动注入水力压裂诱发的微地震震源破裂信号频率随着裂缝长度的增加而降低。岩石微破裂产生过程中，随着微破裂的集结和裂缝的扩展，地震波的频率会向低频部分移动。

(2)对于断层较多的裂缝性储层，波动注入水力压裂导致岩石破裂诱发微地震的力学机制主要是储层中断层或天然裂缝的剪切滑移。

(3)对于非裂缝性储层，波动注入水力压裂导致岩石破裂诱发微地震的力学机制是人为地震效应和损伤—断裂效应。

(4)波动注入水力压裂诱发的微地震对压裂效果的作用机制是人为制造“微地震”增加储层的 “微裂缝”来提高储层的渗透率，从而增强压裂增产效果。

(5)在波动注入水力压裂作业中，储层岩石损伤断裂的力学机制是由于波动交变应力引起岩石疲劳损伤，致使岩石内部产生微小疲劳裂缝，在脉动拉伸应力作用下微小疲劳裂缝迅速扩展并互相贯通，引起岩石破坏。

(6)在波动注入水力压裂过程中，通过快速改变压裂泵工作频率(或工作转速)的方式迅速增加井底的压力振动，人为制造较高能量的“微地震”，加剧岩石的损伤破裂，增加岩石的破裂长度和微裂缝，从而扩大自然微地震的波及面积。

致谢：本研究论文获得国家留学基金委资助(资助学号：201906440152)，在此表示诚挚的感谢。

附录A 连续性方程和动量方程的推导

A.1连续性方程

对于井筒中连续管环形空间，取环形控制体ABCD，长度为dz，如图1所示。在dt时间内流入控制体的质量为ρouAodt，流出控制体的质量为根据质量守恒定律，dt时间内控制体内质量的变化等于流入控制体的质量与流出控制体的质量之差，即

式(1)整理为

根据偏微分定义，将式(2)展开为

式(3)即为以微分形式表示的井筒中环空不稳定流动的连续性方程。

图1垂直井筒中不稳定流动的质量变化示意图Fig.1 Schematic mass change of unsteady flow in the vertical wellbore

A.2动量方程

图2所示为垂直井筒中不稳定流动的受力示意图。对于环形控制体ABCD，沿z方向运动时承受3种力的作用：重力、上下控制面压差产生的力和控制体与环空管壁之间的摩擦阻力。

图2垂直井筒中不稳定流动的受力示意图Fig.2 Schematic force applied on the unsteady flow in the vertical wellbore

控制体所受的重力为

控制体上下控制面压差所产生的力为

控制体与环空管壁之间的摩擦阻力为

式中，dGg为控制体所受的重力，kN；dFp为控制体压差产生的力，kN；dFt为控制体与连续管外壁之间的摩擦力，kN；dFc为控制体与套管内壁之间的摩擦力，kN；τtco为控制体与环空管壁之间的摩擦剪切应力，MPa。

根据动量定理，作用于控制体流动方向(即z增加的方向)的合力等于控制体的动量变化速率，即

式(7)两边除以Aodz，整理得

式中，ξ为环空管路平均水力半径，ξ=(dc−Dt)/4，m。根据全导数定义和假设(1)，将du/dt展开为

将式(9)代入式(8)得

根据流体摩阻范宁方程，环空注入流体的摩擦剪切应力为

式中，fo为环空流体摩阻系数，由环空流体流态决定。将式(11)代入式(10)得

式(12)即为以微分形式表示的井筒中环空不稳定流动的动量方程。

需要注意的是，连续性方程(3)和动量方程(7)共同表示波动注入水力压裂过程中在不会膨胀的井筒环空中的运动传播过程。

附录B波动压力模型的推导

考虑到井筒中不稳定流动是由于压裂泵组不稳定的输出排量引起的，所以将式(12)改写为排量的形式，即

式中，Qs为稳定状态时压裂柱塞泵组输出的排量，m3/min；Qu为波动状态时压裂柱塞泵组的脉动排量分量，m3/min。

根据偏微分定义，于是有

由于稳定状态时排量Qs不随时间变化，所以

同样地，将井筒中环空压力p(z,t)看成稳定压力和脉动压力分量之和，即

式中，ps为稳定状态时井筒中的环空压力，MPa；pw为波动状态时井筒中的环空压力分量，MPa。

为便于分析，必须将摩阻系数fo看作一个常数fos，为此，必须将改写为其中，m为常数，可根据环空管壁粗糙度取值1.75~2.0。

考虑到 Qs和 Qw的取值大小，下面分2种情况进行讨论。

情况1，与Qs相比，Qw小于0.5 m3/min(很小)。如果与 Qs相 比， Qw小于0.5 m3/min，那么二阶以上各项可以略去，故式(17)可化为

将式(18)代入式(16)得

调整方程(19)为

由于波动排量 Qu仅是时间的函数，所以对式(20)沿井深z方向积分，整理得

式中，pw(0)为积分常数，表示为井口处的环空波动压力，MPa。

当井口处z=0时，认为环空无波动压力，则积分常数pw(0)=0，所以井筒中不稳定流动的波动压力为

式中，l为井深，m。

则波动注入水力压裂过程中，井筒中不稳定流动时的环空压力为

式中，pin(0)为井口压裂柱塞泵组输入的泵压，MPa。

情况2，与Qs相比，Qw大于0.5 m3/min(较小)。如果与 Qs相 比， Qw大于0.5 m3/min，为了更精确地描述脉动排量对环空波动压力的影响，取展开式的前三项，其余三阶以上各项可以略去，则式(17)可化为

将式(24)代入式(16)得

调整方程(25)为

由于波动排量 Qu仅是时间的函数，所以对式(26)沿井深z方向积分，整理得

当井口处z=0时，认为环空无波动压力，则积分常数pw(0)=0，所以井筒中不稳定流动的波动压力为

式(22)和式(28)即为垂直井筒中不稳定流动的波动压力模型，该模型描述了压裂柱塞泵组不稳定的波动排量与环空波动压力之间的关系。若给定波动排量Qu，则可以获得环空波动压力。

因此，波动注入水力压裂过程中，井筒中不稳定流动时的环空压力为

式(23)和式(29)即为垂直井筒中不稳定流动的环空压力模型。

根据压裂柱塞泵输出系统的特性，假设环空内流体产生一定频率的流量脉动，且脉动流量以正弦波形式描述，则式(14)可写为［1］

式中，Qw为波动状态时压裂柱塞泵输出排量的振幅，m3/min；ω为压裂柱塞泵曲轴的运转频率，Hz；φ为压裂柱塞泵曲轴的运转相位角，°；a′为压裂柱塞泵泵数，台；k为每台压裂柱塞泵的柱塞数；n为每台压裂柱塞泵曲轴的转速，r/min。

压裂柱塞泵组输出不稳定排量的波形如图3所示，所分析的井底压力振动来源于压裂泵变排量压裂过程。

根据给定的波动排量方程(30)，经过推导，上述2种情况下的环空波动压力和环空压力计算模型如下。

(1)与Qs相比，Qw小于0.5 m3/min(很小)。井筒中不稳定流动时的环空波动压力为

图3压裂泵输出排量波动示意图Fig.3 Fluctuation of output flow rate for fracturing pump

波动注入水力压裂过程中，井筒中不稳定流动时的环空压力为

(2)与Qs相比，Qw大于0.5 m3/min(较小)。井筒中不稳定流动时的环空波动压力为

波动注入水力压裂过程中，井筒中不稳定流动时的环空压力为

式(32)~式(34)和式(35)~式(37)描述了波动注入水力压裂条件下垂直井筒中不稳定流动的压力传播与振动特性。