广东省中山纪念中学(528454) 马红芳 李勇刚

题目若凸四边形ABCD的四边长分别为2 cm,3 cm,4 cm,5 cm,则其面积的最大值是( ).

上述题目是笔者所在校的一次测试用题,正确的答案是B,是经较为复杂的计算得来的.但是一个学生告诉我,他很快就得出这道题的答案.笔者很好奇,于是就问这位同学如何秒杀这道题.学生说:“直接就是四边长相乘后开根号,答案正好选B.”笔者问他有何依据吗? 他很诚恳的跟我说,没有明确的依据,就是直觉,他说:“面积是二次的,四条边的相乘然后开方刚好也是二次,而且这个方法对于矩形也成立.”他的话引起笔者的思考,他的这个方法对于这个题目是巧合还是合理呢? 若是合理的,这种方法对于一般的凸四边形适用吗? 于是笔者决定和学生一起探索这个问题所对应的一般问题.

问题的一般化若凸四边形ABCD的四边长分别为AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,求其面积的最大值.

解析设∠A=θ,∠C=φ,在∆ABD中,由余弦定理,BD2=a2+d2−2adcosθ; 在∆BCD中,由余弦定理,BD2=c2+b2−2bccosφ; 故有a2+d2−2adcosθ=c2+b2−2bccosφ,从而

四边形ABCD的面积即

①2+②2得

化简整理得

故当cos(θ+φ)=−1 即θ+φ=π时,S的值最大,也就是当A,B,C,D四点共圆时,四边形ABCD的面积最大,记最大面积为Smax,则

由此我们可以得到如下结论:

结论若凸四边形的四边长分别为a,b,c,d,当凸四边形的四个顶点共圆时,四边形的面积最大,最大面积为其中p为四边形周长的一半.

若四边形ABCD的四边长a,b,c,d按从小到大排列成等差数列时,不妨设a≤b≤c≤d,则有a+d=从而有于是可以得到如下推论:

推论1若四边形的四边长a,b,c,d按从小到大排列成等差数列,则四边形的四个顶……