苑东磊， 贺书文， 文小波

(1.西南大学 数学与统计学院，重庆 400715；2.四川民族学院 理工学院，四川 康定 626001)

0 引 言

考虑下面的 Klein-Gordon-Maxwell 系统：

(1)

其中ω>0是常数，u，φ：R3→R，且函数V和f满足下列条件：

其中meas(A)为集合A的勒贝格(Lebesgue)测度。

(f1)f∈C(R3,R),且存在常数C>0与p∈(2，6)，使得

|f(x,t)|≤C(1+|t|p-1)，∀(x,t)∈R3×R

(f2) 存在μ>2，L>0使得

(f3) 当t→0时，

(f5)f(x,t)=-f(x,-t)，∀(x,t)∈R3×R。

对于满足条件(V)的位势，称之为强制位势。式(1)来源于经典的 KGM 方程改进，在量子力学和半导体中应用广泛，关于具体的物理细节可以参考文献[1-4]。最近有许多文献研究带有强制位势的 Klein-Gordon-Maxwell 系统。文献[5]首次研究了带有强制位势 Klein-Gordon-Maxwell 系统无穷多解的存在性；文献[6]和文献[7]通过减弱非线性项的条件对Klein-Gordon-Maxwell 系统进行研究，其中文献[6]利用对称山路引理，文献[7]利用喷泉定理，都得到了无穷多解的存在性；在文献[8]和[9]中，作者研究非线性项具有扰动的情形，并且得到了无穷多解的存在性；在文献[5-8]中，作者研究的是非线性项超四次的情形；文献[9]研究了非线性项满足(AR)条件下的情形。但是，在非线性项超二次的情形下，增加了问题估算的难度。受以上工作的启发，本文研究在局部(AR)条件下，带有强制位势Klein-Gordon-Maxwell 系统无穷多解的存在性。其中局部(AR)条件得到了山路几何结构和局部(PS)序列的有界性，然后利用对称山路引理得到无穷多解的存在性。主要结果是：

定理1 假设条件(V)和(f1)—(f5)成立，则式(1)有无穷多解。

1 准备工作

在本文中，用H1(R3)表示的Sobolev空间的内积与范数分别定义如下：

定义空间

且范数为

同时，定义空间

D1,2(R3)={u∈L6(R3)：|u|∈L2(R3)}

其范数为

由条件(V)可知，范数‖u‖E和‖u‖H等价，且E能连续地嵌入到Ls(R3)中，s∈(2,6)，从而存在CS>0使得

为了获得式(1)无穷多解的存在性，定义I:E→R为式(1)对应的能量泛函，即