黄 秋 月

(重庆师范大学 数学科学学院，重庆 401331)

0 引 言

主要研究了分数阶微分方程(FDE)约束下的最优控制问题的数值解，该问题作用于空间-时间区域(x,t)∈(xL,xR)×(t0,T)，使如下的目标函数最小化：

(1)

它由状态变量y(x,t)扩散方程的初边值问题式(2)控制:

Jy=f+u,(x,t)∈(xL,xR)×(t0,T]y(0,t)=y(1,t)=0,t∈[t0,T]y(x,0)=y0(x),x∈[xL,xR]

(2)

这里，y(x,t)表示问题的状态变量，人们希望在某种意义上“尽可能接近”所需要的状态yd(x,t)，yd(x,t)代表一个状态变量y的规定或观测值，u表示控制变量，β>0是Tikhonov正则化参数，决定在多大程度上实现所期望的状态和最小化控制，J代表一个分数阶扩散算子：

(x,t)∈(xL,xR)×(t0,T]

这里的扩散系数d是正常数，α∈(1,2)是控制方程的反常扩散阶数。而且，左边和右边的分数导数在Riemann-Liouville具有如下形式的定义：

这里Γ(·)是gamma函数。

FDE-约束优化问题广泛应用于科学和工程领域，包括优化设计、控制和参数识别。它们在空气动力学、金融数学、地球物理、医学和环境工程等多个研究领域被提出和研究[1-3]。

由于时间相关的FDE-约束优化问题的全局性质，它们的数值解通常代表非常密集的计算任务。更具体地说，求解时间相关的FDE-约束优化问题的数值方法通常产生大的、稀疏的和病态的线性系统。为了降低计算成本，提出了基于多重网格的快速求解方法和预处理迭代方法[4-8]。

本文采用先优化后离散的方法求解优化问题。从连续一阶最优条件出发，推导了FDEs的耦合系统。在适当的空间离散化之后，得到了一个耦合的常微分方程系统(ODEs)，它是一个时间上的边值问题(BVP)。对于ODEs的时间离散化，使用边值方法(BVMs)。BVMs是一类基于线性多步法求解ODEs初值和边界值问题的数值方法[9-10]。该……