李国权

摘  要：多元函数的方向导数是偏导数的重要应用之一，也是学习多元泰勒展开的基础。针对方向导数这一教学目标，采用“综合教学法”来进行教学设计，课堂反应良好，得到满意的教学效果。

关键词：分层教学法  方向导数  偏导数  梯度

数学分析是本科数学专业学生的学科基础课程[1]，将历时三学期，约300学时。通过该课程的学习，使学生在专业课的学习中储备了必须的基础知识，同时提高了运用数学概念、思想和方法研究事物的数学关系的能力，提高了思想和观点的逻辑性、准确性，增强了自身的科学素养，培养了学生的自我学习能力。是学生创新能力形成，最终养成良好的思维品质的一种重要途径。

由于本节内容是第三学期学习的内容，是对前面两学期所学习的关于一元函数相关内容的推广，因此与前面所学知识既有共性也有不同之处，这也是本节课的学习目标之一。此外，由于学生已经具备了高等代数的相关知识储备，本节课将使用高等代数的工具帮助学生理解新的概念。

1  教学目标

定义1 （方向导数）设三元函数f在点P0（x0，y0，z0）的某邻∪（P0）R3域内有定义。l为从点P0出发的射线。P（x，y，z）为l上且∪（P0）含于内的任一点，以ρ表示P与P0两点间的距离。若极限存在，则称此极限为函数f在点P0沿方向l的方向导数，记为或f1（P0）、f1（x0，y0，z0）。

2  教学内容

1、举例引入本节课主题

例1：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是（1，1），（5，1），（1，3），（5，3）.在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热.假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比.在（3，2）处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？

通过作图，得到结论：沿温度下降最快的方向爬行！如何找到这个方向？

2、通过平均变化率和瞬时变化率展开方向导数定义的学习，让学生明白方向导数的几何意义。

3、如何计算方向导数？讲解定理1，并加以证明，同时巩固学生对方向导数定义的理解。

4、举例练习

3  教学效果及反思

数学教学是师生互动的数学思维的行为活动。教师在教学中要引领学生分析问题，这样有利于学生在数学课程的学习中提高学生分析解决問题的能力。通过这节课的学习让学生掌握相关知识点的同时还让学生体会到数学分析和其它课程，例如高等代数的融合，加深学生的理解，提高学生的综合素质。

参考文献

[1] 欧阳光中，朱学炎，金福临，等.数学分析[M].4版.高等教育出版社，北京.

[2] 北京大学数学系前代数小组编，高等代数[M].4版.高等教育出版社，北京.