毛煜东吕慧丽孙浩森杨开敏于明志

(山东建筑大学 热能工程学院，山东 济南250101)

0 引言

超快激光加热技术具备高精确性和精细性的特点，已广泛应用于激光焊接[1]、激光钻孔[2]、激光清洗[3-4]、激光图案化[5-6]、激光打标[7-8]、激光淬火[9-10]以及激光沉积[11-12]等诸多领域，在微/纳米薄膜和器件的加工中、制作精细的医疗设备和医疗手术等领域也赢得了一席之地。随着激光技术需求的扩大，对超快激光加热技术热传递现象的研究也变得十分重要。

傅里叶经试验研究提出了用于描述宏观导热过程的傅里叶定律。目前，通常使用的基于傅里叶定律的扩散理论对设备中的热传输建模，已广泛地应用到机械、冶金、建筑以及电气等领域，现也应用到超快激光加热问题中[13]。然而，在介质传热中应用傅里叶定律时，表现出无限的传输速度。这是由于傅里叶试验过程中假设热载子之间经过多次碰撞达到热平衡，热流密度矢量和温度梯度矢量之间不存在时间差，这使得傅里叶定律暗含了热扰动的传播速度为无限大。对于超快速热传导问题，温度会在极短时间和微小空间内发生剧烈变化，边界处也会产生超高的温度梯度。对于超快速激光加热过程，其特征尺度已经到了纳米/微米级，甚至更小，而且超快速激光加热的热作用时间大多在ps(10-12s)和fs(10-15s)量级，因此研究超快速激光加热过程中的非傅里叶现象具有重要意义。

Cattaneo对传统的傅里叶定律进行了修正，提出了著名的非傅里叶导热模型，也称之为CV 模型[14]。Alvarez等[15]为了描述热传输从扩散状态到弹道状态的过渡，讨论了包括记忆和非局部效应的广义传输模型，并随后研究了从扩散到弹道状态的一些纳米系统的尺寸和频率依赖性，提出了改进的CV导热模型(以下简称改进模型)，其反映了微尺度热传导的记忆效应和尺寸效应[16]。文章利用改进模型和CV模型分别模拟了绝热条件下超快激光诱导金薄膜的一维温度分布，并对其结果进行了比较分析。

1 理论分析

1.1 应用CV模型模拟超快激光加热金薄膜过程

Cattaneo提出的CV模型可由式(1)表示为

式中：r为位置矢量；t为时间变量；q为热流密度矢量；λ为材料的导热系数；∇T(r，t)为温度梯度；τ为系统中连续介质热通量的相位滞后，是介质的固有热特性。

考虑在由超快激光加热的金薄膜中的一维热传播中，基于CV导热模型的温度控制方程由式(2)表示为

定解条件由式(3)和(4)表示为

式中：Cv为定容比热容；L为金薄膜厚度；x为位置参数；τq为金薄膜中热载子的弛豫时间；S(x，t)为激光能量密度表达式，可由式(5)[17]表示为

式中：J为激光能量发射密度；R为表面反射率；tp为激光脉冲的持续时间；δ为激光穿透深度。

对方程(2)～(4)进行无量纲化，令

则温度控制方程和定解条件由式(7)～(9)表示为

式中：αn ＝nπ(n＝1，2，3，…)。将式(10)带入控制方程(6)并利用余弦函数cos(αnx∗)的正交性可得式(11)为

(1)当Δ＞0时，

(2)当Δ＜0时，

因此，方程(7)的解可由式(16)表示为

利用初始条件(8)和余弦函数正交性，由式(17)和(18)表示为

首项Γ0(t∗)满足方程(19)为

求解方程(19)得式(20)为

其中，K1、K2和K3分别由式(21)～(23)表示为

则定解问题(7)～(9)的解由式(24)表示为

式中：K1、K3、an、bn、C均为替代参数。

1.2 应用改进CV模型模拟超快激光加热金薄膜过程

Alvarez等[15]提出的改进的CV模型可用式(25)表示为

式中：D为替代参数在应用改进模型时考虑的边界条件和初始条件。应用1.1节中介绍的方法，最终得到基于改进模型的无量纲温度的解由式(29)表示为

(1)当Δ＞0时，

(2)当Δ＜0时，

(3)当Δ＝0时，

方程(29)中的其他未知参数可分别由式(33)～(35)表示为

2 数值模拟结果与分析

考虑用超快脉冲激光加热金薄膜。金薄膜的定容比热容Cv为2.5×106J/(m3·K)，薄膜由650 fs(tp＝0.65 ps)激光加热，且金薄膜中热载子的弛豫时间τq为6.5 ps。激光能量密度J为732 J/m2，激光穿透深度δ为15.3 nm，金薄膜的特征长度L为410 nm，激光的表面反射率R为0.93。

2.1 改进CV模型加热金薄膜的结果分析

改进模型所获得的结果如图1所示。(1)选取克努森数为0.1的金薄膜，基于体现尺度效应和迟滞效应的改进模型得到的薄膜内部无量纲温度在不同时刻下的变化情况如图1(a)所示，在t∗＝0.2时刻，受激光脉冲加热的左侧无量纲温度为180(即实际温度480 K)。(2)左侧温度迅速升高，当t∗＝1时，薄膜左侧无量纲温度达到最高值约为471(实际温度771 K)。随着时间的推移，薄膜左侧温度逐渐下降，热量自左向右传递，薄膜右侧的温度逐渐升高，但温度的峰值点始终位于受加热的左端。当克努森数增大到0.5时，如图1(b)所示，发现由改进模型得到的温度分布中，靠近薄膜左侧区域的温度仅仅略低于薄膜左壁的温度，也就是说，薄膜内的温度从左到右先缓慢下降一段区域后又迅速下降，且随着时间的推移，薄膜内温度的缓慢下降的区域增大。这也是一种波动的传播方式，但注意到温度波峰始终处于薄膜左端。当经历足够长时间(在此选取t∗＝100)后，薄膜内温度达到稳定状态，温度分布呈一条水平线。图1(c)和(d)分别表示了克努森数为1和2的情况，所反映出来的热传递过程与克努森数等于0.5展示的情况类似。在改进模型中，热波传播速度可表示为。通过对比图1(a)～(d)还发现，随着克努森数的增加，温度变高，薄膜内温度达到稳定状态所需的时间越短。克努森数的增加意味着膜的特征长度减小，因此，温度场可以迅速达到稳态。

2.2 两种模型的对比分析

改进模型和CV模型获得的比较结果如图2所示，改进模型在受热处一侧的温度要高于CV模型的结果。如图2(d)所示，改进模型在受热侧获得的无量纲温度为510，但CV模型获得的则为465。此外，改进模型的热波速度与CV 模型的热波速度也不相同。当Kn＝0.5时，改进模型获得的c1值为0.0394，CV模型得到的结果为0.0289。但是，当Kn＝2时，改进的CV模型获得的c1的值等于0.0885，而CV模型得到的结果为1.156。令c1＝c，得到克努森数等于1.1027。因此，当Kn＜1.1027时，改进模型得到的热波速度大于CV模型得到的热波速度，而当Kn＞1.1027时，改进模型得到的热波速度小于CV模型得到的结果。需要强调的是，对于超快激光加热纳米尺度薄膜的一维导热过程，这两个模型都展示了在薄膜内部热是以波动的方式进行输运的，而不再是傅里叶定律给出的热的扩散传递形式，说明在薄膜内热量是以有限速度进行传输的。

图1 改进模型得到的不同克努森数在不同时刻t∗下的温度分布图

图2 改进模型和CV模型得到的无量纲温度分布图

3 结论

文章基于体现尺度效应和迟滞效应的改进模型研究了超快脉冲激光加热薄膜的一维导热过程，对其结果进行了分析，并同CV模型所得的结果进行了比较，主要得到以下结论：

(1)改进模型展示出受热处温度迅速升高且峰值要高于CV模型的结果，能量是以波的形式传递到另一端；随着克努森数的增加，温度变高，薄膜内温度达到稳定状态所需的时间越短。

(2)两个模型所得无量纲速度值的大小关系会随着克努森数的值的变化发生改变，当Kn＜1.1027时，改进模型的热波速度要高于CV模型的热波速度；当Kn＝1.1027时，改进模型的热波速度等于CV模型的热波速度；Kn＞1.1027时，改进的CV 模型的热波速度要小于CV模型的热波速度。

(3)改进模型不仅是模拟超快脉冲激光加热薄膜问题的有效方法，还可以反映尺寸效应和记忆效应，从而可以描述有限热波传播速度对传热的影响。