文 晏晓清

教材在“二元一次方程组”这章里重点介绍了代入消元法和加减消元法，其特点都是消去其中的一个未知数，使“二元”变成“一元”，进而把二元一次方程组的问题变成一元一次方程的问题来解决。事实上，除了这两种方法，针对二元一次方程组本身的特征，我们还可以灵活运用下面的方法，对方程组进行巧妙变形，这样往往可以化繁为简，简化过程，起到事半功倍的效果。不过，不管我们用哪一种方法，其本质都是“消元”。只有把握了这一本质，我们对解方程组才算真正融会贯通。

一、整体代入法

例1解方程组：

【分析】我们注意到两个方程中都有x-y，便可以把x-y 作为一个整体来加以考虑。因此，只要把①化为x-y=1，代入②，就达到了消去x 的目的，从而简化了求解过程。

解：由①得x-y=1，③

将③代入②得 4·1-y=5，解得 y=-1。把y=-1 代入③，得x=0。所以原方程组的解为

【点评】整体代入法的要点在于根据方程组的特点，把方程中的某一个式子看作一个整体，通过代入的方法达成消元的目的。这样求解既方便又简化计算。

二、整体加减法

例2解方程组

【分析】因为①和②的未知数x 和y 的系数正好对调，因此可以用两个方程整体相加或相减的方法来求解。

解：①+②得5x+5y=10，即x+y=2，③

②-①得x-y=-2，④

【点评】整体加减法是将各方程等号左边的相加或相减，同时右边的也相加或相减，得到一个未知数系数简化了的方程组，这样计算就非常简便。

三、换元法

例3解方程组：

【分析】注意到①和②的等号左边都有因此可以先把这两个代数式换成其他字母，这时得到的新的方程组就简洁明了了。

解：设则原方程组可化为解这个方程组得所以再解这个方程组，得原方程组的解为

【点评】如果看到两个方程的某一部分相同，我们可以用一个或两个字母来代替方程中相同的式子，先解出新字母的值，再将新字母的值代入原式子中，求出未知数的值。

四、参数法

例4解方程组

【分析】通过观察我们发现①是比例式，可以直接令①等于一个参数，用参数表示出两个未知量，然后代入②求解即可。

解：设所以x=2λ-4，y=3λ-2，将 x、y 代入②，得 λ=1，易得原方程组的解为

【点评】当方程组中的一个方程是比例式时，我们可以引进参数，利用这个参数来表示未知数，然后代入另外一个方程中，先求出这个参数的值，再求出这个方程组的解，这种方法可以化繁为简。

五、对称法

例5解方程组

【分析】这个方程组形式上很对称，即把其中一个方程①的x、y 互换即可得到另一个方程②，也就是说，两个方程其实是等价的。根据方程的对称性，可令x=y。

解：令x=y，原方程组变成可得原方程组的解为

【点评】对称法解二元一次方程组的依据是，方程组对应的未知数具有对称关系，即两个未知数调换顺序后二元一次方程组并未发生改变，此时可以将其中某个方程换成x=y。

六、消常数法

例6解方程组

【分析】观察到它的两个常数项都是33，所以可以考虑先消去常数项，求出x 与y之间的简单关系，再代入求解。

解：①-②得，x=-2y，③

把③代入②得，y=-1，则x=2。

【点评】当两个方程的常数项相等或互为相反数或构成倍数，可以考虑先消去常数项，得到x与y的简单关系，再代入原方程组进行求解，这就是消去常数法的精华所在。