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“3的倍数特征”新解法探析

2020-06-01陈正慧

数学学习与研究 2020年8期
关键词:数位倍数个数

陈正慧

【摘要】“3的倍数特征”是“因数和倍数”里研究的有关倍数的内容.在小学数学的学习中,对学生来说熟练应用3的倍数的特征,判断一个数是否是3的倍数,是应该掌握的内容,在实际数学学习中会遇到的一些有趣的性质结论,得到了一个更好的方法——3的倍数构造法.即结合3的倍数特征和结论1:如果几个数都是一个数的倍数,那么它们的和和差的混合运算也是这个数的倍数.去判断一个数是否是3的倍数,这个结果对发散学生的思维,培养学生的学习兴趣,追求数学的最优解法,以及一题多解方面有好处.

【关键词】3的倍数特征;性质;应用

小学数学人教版五年级下册第二单元第四课时教学内容是3的倍数特征,本人在后续的教学以及作业中发现有个很有趣的性质,而这个性质也为我们判断3的倍数提供了新的一种方法.这种方法的拓展在提升学生的思维发散,培养学生的学习兴趣,追求数学的最优解法,以及一题多解方面有好处.

一、“3的倍数特征”的概念和一些思考

首先简单阐述3的倍数特征的概念:一个数各位上的数的和是3的倍数,这个数就是3的倍数.这是小学数学人教版五年级下册第二单元第19页对3的倍数特征的描述.在3的倍数特征的教学中学生通过教师的引导,在经历观察—猜想—推翻猜想—再观察—再猜想—验证的过程中,概括出3的倍数特征.当然这只是一种不完全的归纳.

网络上的一些资料,有关3的倍数特征的判断基本是基于概念的判断,并没有其他更好的方法,甚至对3的倍数特征的证明也很难查阅到,当然对小学阶段,我们只要会应用这个概念判断一个数是否是3的倍数.其实这种判断已经是步骤简单的过程,但在后续的解题思考的过程应用一些性质结论会更加简洁明了.

二、关于倍数的几点性质和3的倍数的拓展

在小学数学人教版教材五年级下册第二单元第16页,有这么一个题目:(1)14是7的倍数,21是7的倍数.14和21的和是7的倍数吗?(2)18是9的倍数,27也是9的倍数.18和27的和是9的倍数吗?你有什么发现?下面是对上题的分析解答过程:

分析:此题也运用了乘法分配率,结果8×4,有因数8,所以8×4是8的倍数.

此题所得到的结论2是:如果2个数都是一个数的倍数,那么它们的差也是这个数的倍数.

备注:当然这个结论还可以推广为3个数的差,甚至更多的数(证明略).(前提是第一个数最大)

结论推广:如果几个数都是一个数的倍数,那么它们的和和差的混合运算也是这个数的倍数.这是由以上2个的问题所得到的结论.

由3的倍数特征和以上2的问题所得到的结论1和结论2,我们可以得到新的结论和一个新的判断法.

结论3:如果一个数各个数位上的每个数都是3的倍数(3,6,9),那么它们的和就是3的倍数,也就是这个数是3的倍数.

3的倍数构造法:如果一个数各个数位上的数有部分是3的倍数,而还有一部分不是3的倍数,我们可以先应用结论3排除一些数,剩下的通过构造出3的倍数(加法的交换律和结合律),再次应用结论3,直到剩下1个数或者是2个数的和是3的倍数那么这个数就是3的倍数.以下通过题目来叙述.

例1 判断9 696 396 669 393是不是3的倍数?

分析 此题通按3的倍数特征的方法去解题.

首先通过把各个数位的数相加:9+6+9+6+3+9+6+6+6+9+3+9+3=84,因为84能被3整除,所以9 696 396 669 393是3的倍数.

但是我们学习了3的倍数特征后,就知道基本的3,6,9就是3的倍数.而此题只有3,6,9这3个数字组成,我们应用结论3,可以通过直接的观察就知道它是否是3的倍数.显然9 696 396 669 393是3的倍数,当然这只是一种理想的题目,更多的题目不是这种特殊的情况.例题2就阐述了这种情况的处理.

例2 判断8 756 293 412 984是不是3的倍数?

分析1 对这么大的数,如果我们按3的倍数特征的方法去解题.

首先通过把各个数位的数相加:8+7+5+6+2+9+3+4+1+2+9+8+4=68,因为68不能被3整除,所以8 756 293 412 984不是3的倍数.

当然教材基本不会出现这么大的数,这么大的数在计算过程中也会容易出错,但是我们通过结论1,就可以发现8+7+5+6+2+9+3+4+1+2+9+8+4这个形式就是所有数的和,那么也应该符合结论1,我们知道在0—9的自然数中,其中3,6,9就是3的倍数,符合结论3,所以我们可以通过以下几个步骤完成判断:8,7,5,6,2,9,3,4,1,2,9,8,4里面有6,9,3,9(下划线标注),而且这四个数就是3的倍数,所以剩下8+7+5+2+4+1+2+8+4而这几个数经过加法的交换律和结合律就可以构造出3的倍数,即(8+7)+(5+1)+(2+4)+(2+4)+8,再通过结论1和结论3,最后就是剩下数字8,而数字8不是3的倍数,所以8 756 293 412 984不是3的倍数.这在实际的判断中我们可以用下划线和一个个进行排除,直到剩下1个或者是2个数的和.这就是3的倍数构造法的应用.

当然对8+7+5+6+2+9+3+4+1+2+9+8+4=68,如果计算能力差点学生也可以再次应用3的倍数特征和结论1,把结果的68再进行相加,即6+8=14再判断是不是3的倍数,或者还可以把所得的结果14写成1+4=5,而5不是3的倍数,所以8 756 293 412 984不是3的倍数.

以上3的倍数特征,结论3以及3的倍数构造法的应用,就可以很好地解决3的倍数这类问题,特别是对较大的数的判断.

三、3的倍數特征在解题中的应用比较

例3 在下面每个数的□里填上一个数字,使这个数能被3整除.

5□3□4□36  234□

分析1 对第一个问题,我们可以通过3的倍数特征解决.

十位是5,与3的倍数最接近的是6,9,12这三个.所以,可以填1,4,7.

分析2 第二个问题按3的倍数特征做.

我们首先是把百位和各位相加,即3+4=7,再根据3的倍数特征知道,可以填2,5,8.

如果我们应用结论1和结论3,因为百位的3已经是3的倍数,我们可以忽略3,直接看□4,从而把此题简化成第一题的形式.

同理对□36,很明显十位的3和各位的6已经是3的倍数,我们应用结论3,所以此题就变为只填□里的数,是3的倍数也就是填3,6,9.

第四小题稍微复杂一点,234□通过结论1和3的应用,我们知道百位的3可以忽略,再应用3的倍数构造法和结论3,千位的2和十位的4相加是6.也是3的倍数,于是此题可以简化为只填□里,答案也就是3,6,9.

这些结论和方法的联合的应用,在教学中学生基本理解它的原理,也比较容易接受,应用起来也非常简便,可以作为学生课外的补充,对培养学生的学习兴趣以及一题多解,追求最优解法有很多的好处.

【参考文献】

[1]课程教材研究所.义务教育课程标准实验教科书数学五年级下册[M].北京:人民教育出版社,2019:16+19.

[2]万志勇.黄冈小状元[M].北京:龙门书局,2011:7.

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