刘浩　党尹泽　宋杰　陈剑飞　宋超俊

摘 要：随着科学技术和国内外航模比赛的发展，纸飞机运动模型因其可运用到各类小型飞行器中而得到越来越多的关注，针对 Suzanne 折法的纸飞机，基于纸飞机的空气动力学， 运用微分分析方法对无动力滑翔的最佳投掷角度进行了研究。

纸飞机整体飞行阶段为周期震荡衰减过程，在确定纸飞机重心的基础上分阶段进行受力分析，基于能量守恒定律和微分分析得到其不同阶段的运动路径分析公式，建立了其爬升、俯冲和滑翔轨迹的仿真模型。在仿真模型下，基于纸飞机受力分析与运动方程，建立了纸飞机重心调整后的二维动力学模型。用 MATLAB 模拟了在不同抛射角度下的纸飞机的飞行轨迹，根据轨迹趋势利用单向寻优搜素法得出纸飞机在，飞行距离最长。

最后在模型拓展部分，我们通过加胶带等改变飞机重心，研究了重心位置对阻力系数的影响，在仿真模型下调整纸飞机重心，基于纸飞机受力分析与运动方程，建立了纸飞机重心调整后的三自由度动力学模型。用MATLAB模拟了在不同重心位置和抛射角度下的纸飞机的飞行轨迹，根据轨迹趋势利用单向寻优搜素法得出：纸飞机在原来的重心基础上向x和y方向偏1mm，在投掷角度为20.8°时，纸飞机的飞行距离最远;在22.4°时，纸飞机的滞空时间最长。

纸飞机飞行距离的影响因素：

（1）质量因素：

1、熟练掌握折叠方法，力求每个折痕一次成功。

2、保持手指干净、干燥。

3、按照折痕折叠。

4、折好的邊角和舵没有翘起。通过多次飞行练习实验我发现在纸飞机折叠的质量比较好而且新的时候飞得远，在纸飞机用了一段时间后，它飞的就没以前飞得远，飞得好了。因此纸飞机质量也决定着纸飞机的飞行距离。如果你想让你的纸飞机的飞行距离会比较远，那么你首先要做的就是折叠的一架质量比较好纸飞机，并学会保养并修理它的方法。

（2）人为因素：

影响纸飞机飞的远近还有人为因素，也就是纸飞机飞的距离远近，取绝于人用力大小等因素，通过大量的实验探究我总结出投掷纸飞机的时候一定要注意以下几点。

1.用力适中：理论上投掷力量越大，飞得越远，但是实际上力量越大，越不容易做到“水平投掷”和“直线加力”。而且用力过大的话，还容易损坏纸飞机。现场试飞应该逐渐加力投掷，摸索出一个保证投掷技术前提下的最佳投掷力度。

2.放飞高度：站在不同高度放飞纸飞机，通过实验发现放飞高度也会在一定程度上影响纸飞机飞行距离。

我总结的影响纸飞机飞行距离的因素就以上两大因素：一、质量因素;二、人为因素。

MATLAB仿真建模：对纸飞机进行受力分析，飞机受重力、空气阻力、以及向上的升力。

空气阻力的计算：根据空气阻力的公式：F=（1/2）CρSV^2 计算.式中：C为空气阻力系数;ρ为空气密度;S物体迎风面积;V为物体与空气的相对运动速度.由上式可知，正常情况下空气阻力的大小与空气阻力系数及迎风面积成正比，与速度平方成正比。

飞机升力计算：伯努利原理（又称伯努利定律或柏努利定律）是流体力学中的一个定律，由瑞士流体物理学家丹尼尔·伯努利于1738年出版他的理论《Hydrodynamica》，描述流体沿着一条稳定、非黏性、不可压缩的流线移动行为。 伯努利原理往往被表述为p+1/2ρv2+ρgh=C，这个式子被称为伯努利方程。式中p为流体中某点的压强，v为流体该点的流速，ρ为流体密度，g为重力加速度，h为该点所在高度，C是一个常量。它也可以被表述为 ：  p1+1/2ρv12+ρgh1=p2+1/2ρv22+ρgh2。

由满足库塔条件所产生的绕翼环量导致了机翼上表面气流向后加速，由伯努利定理可推导出压力差并计算出升力，这一环量最终产生的升力大小亦可由库塔-茹可夫斯基方程计算：

L（升力）=ρVΓ（气体密度×流速×环量值）

根据海姆霍兹旋涡守恒定律，对于理想不可压缩流体在有势力的作用下翼型周围也会存在一个与起动涡强度相等方向相反的涡，叫做环流，或是绕翼环量。

受力分析过后，飞机形状、大小等对飞机飞行的影响都已知晓，就可以把飞机简化成质点，求出轨迹公式;水平方向飞机受阻力，竖直方向飞机受重力和升力。

由假设得：（1）飞机左右受力平衡，所以可以简化为二维模型。（2）每次投掷的力相同，所以每次投掷的初速度v0相同，则：

vx0=v0*cosθ;（1）

vy0=v0*sinθ;（2）

由阻力公式：F=（1/2）CρSV^2、升力公式：L=ρVΓ、重力加速度g、牛顿第二定理F=ma，求出速度、位移公式：

vx=vx0+at;（3）

vy=vy+bt;（4）

x=vx0t+1/2at^2;（5）

y=vy0t+1/2bt^2。（6）

模型：

（1）将投掷角度θ∈[0°，90°]平均划分为6个区间，从每个区间内取出一个角度，导入MATLAB，仿真得出最大位移对应的投掷角度区间。

（2）将上面得出的投掷角度区间再划分为6个区间，从每个区间内取出一个角度，导入MATLAB，仿真得出最大位移对应的投掷角度区间。

（3）以此类推……直至得出最远位移，得到最佳投掷角度。

6、模型求解

下图为投掷角度θ=0°、45°、90°的仿真图（其余角度仅进行仿真对比）：

（1）进行模型仿真得出最大位移区间为[25°，45°]，

（2）以此类推进行多次仿真，得出最大位移的投掷角度为29°。最大位移所得的仿真图

（3）综合以上优化结果，可得到此题的答案：在高度和初速度一致的情况下，当投掷角度为29°时，纸飞机的飞行距离最远约为65.5m.

7、模型优缺点分析

优点：运用仿真，可以排除外界环境干扰，精确求值。

缺点：过程繁琐。