陈广川

摘要：课堂教学中，教师要抓住核心素养的基本要素，从学生终身发展的角度关注知识的本质，引导学生经历探究、思考、抽象、推理、反思等过程，促进核心素养落地，让学生终生受益。在“解决问题（不规则图形的面积）”的教学中，要把握估测本质，按照小学数学核心素养综合性特征的要求，落实到位。

关键词：估测;本质;核心素养;落地

数学学科核心素养要求面对真实情境中的数学活动，通过体验、感悟和反思，抽象出数学概念、命题和结构，建立数学模型，运用逻辑推理和运算去解决问题。这种要求需要以数学认知为基础，以数学基本思想和关键能力为核心，以独立思考和自主学习、经历数学核心素养的形成过程为关键。课堂教学中，教师要抓住核心素养的基本要素，从学生终身发展的角度关注知识的本质，引导学生经历探究、思考、抽象、推理、反思等过程，促进核心素养落地，让学生终生受益。下面以人教版《义务教育教科书·数学》五年级上册“解决问题（不规则图形的面积）”为例，诠释我对发展学生数学核心素养的理解。

一、设计思路

人教版《义务教育教科书·数学》五年级上册“多边形的面积”单元例5“解决问题（不规则图形的面积）”，是《义务教育数学课程标准（2011年版）》实施后新增加的内容。教材呈现了借助方格纸估计不规则图形（树叶）面积的内容，旨在通过经历解决不规则图形的全过程，培养学生的估算意识和估算策略，提高学生综合应用数学知识解决实际问题的能力。

估测或估计是《义务教育数学课程标准（2011年版）》突出强调的内容。估测或估计，既是一种意识的体现，也是一种能力的表现;不仅具有现实意义，而且也有助于学生感受度量单位的大小。

估算策略中最重要的是要为估计的事物找到一个适合的测量标准，然后利用这个测量标准去估计。在本节课的教学中，根据树叶的大小，教材呈现了借助方格纸估计不规则图形的不同方法。一种是数格子（每个小方格面积为1㎝2）的方法。先确定这片树叶的面积范围，分别数出满格和不是满格的格子数，就能确定面积的区间，再把不满一格的按半格计算，估计出它的面积。另一种是根据图形的特点转化为近似的规则图形来估计。教材中呈现的是转化为平行四边形，利用方格纸的刻度，找出计算平行四边形面积的条件进行估算。这是估算思想在图形与几何中的应用。

基于对教材的研读，估测不规则图形的面积的教学主要有三个层次：一是在阅读与理解中培养学生收集整理信息与发现问题的能力;二是在分析与解答中让学生经历估算不规则图形的全过程，培养学生的估算意识，使学生掌握估算的方法，体会估算策略和方法的多样性;三是在回顾与反思中使学生积累数学活动经验和方法。

五年级的学生已经经历了多种规则图形面积计算公式的推导过程，并能够熟练运用计算公式解决问题，而且在前一课时中已经学习了用分割法、添补法来计算组合图形的面积，这样的转化、连接、层次有序都为本节课的学习做了铺垫。但是，对于估计不规则图形面积的大小，学生还是有实际困难的。因为估算是一种开放性的创造活动，往往带有许多不确定性的因素。所以，对事物进行估计时，需要学生对度量单位有很好的认识与把握，同时还需要他们具有一定的空间观念，这对学生的思维能力和想象能力来说是一个不小的挑战。

根据教材编排意图和学生的认知基础，我确定了本节课的教学目标：

1. 会用不同的方法估计不规则图形的面积，逐步发展空间观念。

2. 在自主探究过程中，体会解决问题方法和策略的多样性，培养学生的估测意识和解决实际问题的能力。

3. 通过实践操作、合作交流，帮助学生积累活动经验，感受数学思想。

教学重点：用不同的方法估计不规则图形的面积，体会解决问题的不同策略。

教学难点：培养学生的估测意识。

教学思路：生活情境中发现问题;自主探究中解决问题;实际应用中提升能力;回顾整理中发展素养。

二、课例展示

（一）情境创设，发现问题

师：同学们，前面我们已经学过基本图形面积的计算方法，你能快速算出方格纸上图形的面积吗？

师：看屏幕，做好准备，抢答开始。长方形——

生：面积是15平方厘米。

师：你怎么算得这么快？

生：长方形面积等于长乘宽。长5厘米，宽3厘米，面积是15平方厘米。

师：你们是利用公式算的，又快又准。

师：抢答继续。平行四边形——

（学生争先恐后地回答）

生：平行四边形底是4厘米，高6厘米，面积是24平方厘米。

生：24平方厘米。

師：准确。大家反应真快！

师：继续。树叶——

（学生面面相觑）

师：怎么不抢答了？

生：没有计算公式。

师：因为这片叶子是不规则的图形，没有固定的公式求面积，只能大致估算面积是多少。

师：这节课，我们就一起来探究不规则图形面积的估测方法。（板书课题：不规则图形的面积）

创设抢答情境，意在制造思维矛盾，引发学生对新知的探究兴趣。学生对基本图形的面积计算已经了然于心，长方形、平行四边形的面积计算对他们而言，轻车熟路，两道抢答题给了他们展示自己的机会，学生兴趣盎然，喜悦之情溢于言表。此时，突然出现的树叶面积令学生措手不及，他们思维高度集中，对不规则图形面积的探究产生了浓厚的兴趣。这样，不仅实现了课题的巧妙引入，而且有利于学生启动原有知识来参与新知识的学习。情境创设，简约而高效。

（二）自主探究，解决问题

（屏幕出示例5）

1.阅读与理解

师：请看例5的题目要求，从题中你获得了哪些数学信息？

生：已知条件是每个小方格面积是1平方厘米，问题是估计这片叶子的面积。

师：要解决这个问题，你觉得有什么困难？

生：树叶把方格纸的格线盖住了，数起来不方便。

师：你想用数格子的方法，对吗？好，老师把它设成透明的方格纸。这样可以了吗？

生：可以了。

2.分析与解答

师：我们的探索之旅就从这里开始。请看下面的“学习提示”。

师：听清要求了吗？先独立完成，然后再小组交流。

师：探究时间为8分钟，计时开始。

（学生自主探究，教师巡视，适时指导，搜集教学资源。）

师：老师发现有的同学用两种颜色的笔，把整格的和不是整格的，分别标出了数字，这种方法真好，清晰而明确，一目了然。

师：这名女同学不但列出了算式，还用文字清楚地叙述出自己的估算方法，真会学习。

师：这名同学，画图形应该用尺，记得规范画图哦。

（学生独立学习结束，开始组内交流）

师：要重点交流对于不满一格的，你是怎么估计的。

自主探究落到实处的关键是要给学生提供自主学习的时间与空间，并适当给以方法的指导。在学生操作探究的过程中，教师应及时捕捉优点和不足，做全班性的提示，给潜能生搭建探究的階梯。在小组合作交流的过程中，教师应提醒学生要重点交流“对于不满一格是怎么估计的”，直指探究的关键点。这样，教师作为组织者、引导者、合作者角色的价值发挥得淋漓尽致。再看学生，他们在探究过程中全身心地投入，小组中同伴思维的火花激情碰撞，这些都是他们收获到的最宝贵的财富。

3.全班汇报

师：愿意把你估计的树叶面积和大家分享吗？

师：老师把大家的估计结果在数轴上表示出来。

生：树叶的面积大约是18平方厘米。

生：树叶的面积大约是36平方厘米。

生：树叶的面积大约是27平方厘米。

生：树叶的面积大约是28平方厘米。

生：树叶的面积大约是29平方厘米。

生：树叶的面积大约是30平方厘米。

（教师同步在数轴上进行统计）

首先，确定树叶面积的范围时有如下实录——

师：估计树叶面积是18cm2的同学，能说说你的估算方法吗？

生：我用的是数方格的方法。方格纸上树叶有18个整格，我只看整格，估计它的面积是18cm2。

（教师板书：数方格）

师：18个整格，你们同意吗？一起来数一数。

师：她估计树叶的面积是18cm2，实际面积一定比18 cm2大吗？

生：比18 cm2大。

师：我在数轴上18的位置画个空心圆圈，表示不包括18。

师：大家注意到没有，刚才这名同学的估计方法有点类似于我们取近似值时用到的“去尾法”，不满一格的全都忽略不计。

师：估计面积是36cm2的同学，说说你的估算方法。

生：18个整格，还有18个不满一格的。（教师同步出示标号）我把不满一格的也看作整格，一共有36个。面积就是36 cm2。

师：树叶的实际面积比36 cm2大吗？

生：比36 cm2要小。

师：我在数轴上36的位置也画空心圆圈，表示不包括36。

师：他这种估计方法和我们取近似值时的什么方法类似？

生：进一法。

师：把不满一格的也看作整格来估计。很有想法。

师：根据刚才这两名的同学的汇报，现在你知道这片叶子的面积一定大于多少，不会超过多少吗？

生：这片叶子的面积一定大于18 cm2，不会超过36 cm2。

师：大家应该感谢这两名同学，它们的估计方法合起来，就是我们确定图形面积范围的方法：只看整格，得到面积范围的下限;把不是整格的都看成整格，得到面积范围的上限。

师：这片叶子的实际面积就介于18 cm2到36 cm2之间。

把学生估计的结果利用数轴进行统计，这样很好地渗透了“区间套”的思想。在学生汇报估计方法的过程中，引导学生与取近似值的方法联系起来，渗透了知识之间相互联系、相互转化的观点，培养了学生用普遍联系的观点来看待问题、分析问题的能力。

估算图形面积的教学实录如下。

师：在这个范围内，我们估算出的结果有27cm2、28cm2、29cm2、30cm2。

师：估算结果有差异，说明差在对不满一格的面积的处理上。接下来，我们就重点听听大家对不满一格的是怎样估计的。

【方法一】

师：估计树叶面积是27平方厘米的同学，说说你估算的具体过程。

生：18个整格，面积是18cm2。18个不满一格的，都看成半格，18格半格合成9个整格，也就是9cm2。18+9=27cm2。

师：这是她的估算过程。谁和她的方法差不多？结合一体机上的格子图讲一讲。

生：这是18个整格（用黄色笔圈出整个轮廓），面积是18cm2。这是18个不满一格的（用绿色笔圈出），不满一格的按半格计算，18个半格就是9个整格，面积是9cm2。18+9=27cm2。

（教师板书：18+18÷2=27cm2）

师：表述得非常清楚。为他鼓掌。这是他们的估算方法，把不满一格的都按半格计算。

【方法二】

师：估计树叶面积是28cm2的同学，讲讲你们的估算过程。

（投影展示学生的学习报告单）

生：我用移多补少的方法，将不满一格的两个或三个拼成一格。15和16、2和3、5和6、1和4 、7和10 、8和11 、 9 和12 、13和14、多余的补给17和18 。这样就能拼出10个整格，18+10=28 cm2。

师：听懂他的估算方法了吗？他是采用移多补少的方法，将不满一格的两个或几个拼成一格。

【方法三】

师：估计树叶面积是29cm2的同学，讲讲你们的估算过程。

生：（一体机前边画边讲）不满半格的有7个，忽略不计。（学生边讲边在3、4、10、11、12、13、15这7格上打叉）超过半格有11个，看成整格。18+11=29 cm2。

师：她的思维很独特，有点类似我们取近似数时用的四舍五入。超过半格的11个都看成整格。

【方法四】

师：估计树叶面积是30cm2的同学，你是怎样估算的？

生：我不是用数格子的方法，我是把树叶图转化成近似的平行四边形来计算的。

（教师板书：转化）

师：你的思维真敏锐。想到把新的问题转化为旧的知识来解决，非常好。的确，把不规则的图形转化为某个近似的规则图形，再利用公式就可以算出面积了。

师：想法非常好。那向大家说说你是怎么做的？结合你的学习报告单来讲。

生：我根据叶子的轮廓，在格子图上画出平行四边形。平行四边形的底是5厘米，高是6厘米，它的面积就是30平方厘米。

（教师板书：5×6=30cm2）

师：多少同学采用了这种把不规则图形近似看作规则图形来估计面积的？（有十几个人举手）

师：不错。你们都是把叶子看作近似平行四边形的吗？有没有不同想法？

生：我根据叶子的轮廓，在格子图上画出长方形。长方形的长5厘米，宽是6厘米，它的面积也是30平方厘米。（展示学习报告单）

师：你们真有办法。用长方形或平行四边形去替代不规则图形，算起来方便多了。还有不同的估计方法吗？

汇报环节，教师充分尊重了学生的个性特征，给用不同估计方法的学生提供了充分展示交流的空间和时间，学生的思辨能力和逻辑思维能力得到了淋漓尽致的展现和发展。学生在一体机上边操作边讲述或结合学习报告单讲述，不同的思维过程，不同的估计方法，异彩纷呈。在理解方法、实践操作与合作交流中，学生掌握了确定面积范围的思考方法，理解了有差异的估算结果，体会到了数学学习的乐趣，使课堂真正成了学生知识构建、能力提升、思维深化的沃土。

4.回顾与反思

师：通过刚才的学习，今后我们再遇到不规则的图形，可以怎样估计它们的面积？

生：可以数格子，也可以转化成近似的规则图形。

师：通过数方格，我们可以先确定图形面积的范围。这片树叶的面积数值就介于18和36之间。确定好范围后，再估算图形的面积。

师：估算过程中，可以把不满一格的按半格计算，得到树叶的面积大约是27平方厘米。

师：还可以移多补少，把半格拼成整格，估计出这片树叶的面积大约是28平方厘米。

师：也可以把不足半格的忽略不计，超过半格的看成整格，估测出树叶的面积大约是29平方厘米。

师：对不满一格的处理，我们想到了这些办法，你们最喜欢哪种方法？

生：不满一格的按半格算比较简便。

师：用方格纸计数估计常用的方法就是不满一格的按半格计算。

师：除了数方格，也可以把不规则的图形转化为规则的图形进行估算。这里我们根据树叶的形状，转化为近似的平行四边形和长方形，然后根据图形的面積计算公式，估算出叶子面积大约是30平方厘米。

师：不规则图形转化为规则图形时，我们要注意什么？

生：要通过移多补少，使之尽量接近规则图形，这样估测的结果更接近准确值。

师：大家看，27、28、29、30这四个数值，都在18～36这个面积范围内，都是符合要求的。估算与精确计算相比，结果不唯一，合理即可。

在学生自主探索出不规则图形面积估测方法的基础上，教师引领学生对探索过程进行了系统回顾，帮助学生积累了活动经验，明确了解决问题策略的多样性，从中提炼了规律性知识：借助方格纸进行估计，最常用的取近似值的方法就是不满一格的按半格计算;采用转化法，要通过移多补少，使之尽量接近规则图形;在精确程度要求不是很高的情况下，估计结果只要在合理范围内即可。这样，在师生、生生的多维互动中，实现了共同成长。

（三）学以致用，提升能力

师：刚才，我们估测了树叶的面积，采用的方格纸上小方格的面积是1平方厘米。下面我们要估测池塘的面积，图中每个小方格的面积确定为多少比较合适呢？

生：1平方米。

师：结合具体情境，选择适当的单位是估算的核心。

【题目一】上图中每个小方格的面积为1m2，请你估计这个池塘的面积。

生：我把这个池塘转化为一个近似的长方形，长12米，宽8米，面积96m2。

生：我用数方格的方法，得到这个池塘的面积是100m2。

生：我把这个池塘转化为近似的平行四边形，底是11米，高是9米，面积是99m2。

师：不错，大家采用不同的方法都估计出了这个池塘的面积。

师：解决教材上的求不规则图形的面积，我们可以用数方格的方法估算面积，也可以用转化成近似规则图形的方法进行估算。

师：在现实生活中求不规则绿地的面积、湖水的面积，还能数方格吗？

生：不能。要把不规则图形看成规则图形再去求面积。

师：对。把不规则图形看成规则图形再去求面积进行估算，在日常生活中用得最多。我们可以用目测或步测的方法，得到计算规则图形面积所需的条件，然后利用面积公式进行计算。

简单的一个过渡，既将新知与训练有机地融为一体，又巧妙地强调了要结合具体情境，选择适当的估算单位和估计方法，使学生在应用中积累了数学活动经验。

【题目二】估计下面三个圆的面积，你发现了什么？（提示：先计算每个小方格的面积，再估计圆的面积。学生分组完成。）

生：我用数方格的方法估计第一个圆的面积是160cm2  。正方形一共有16个整格，阴影不满一格的有12个，12个半格拼成6个整格。16-6=10，圆面积大约是10个整格，列式是（16-12÷2）×（4×4）=160cm2  。

生：我用数方格的方法估计第二个圆的面积是176cm2  。32个整格加上不满一格的24个半格拼成的12个整格，一共是44个整格。列式是（32+24÷2）×（2×2）=176cm2  。

生：第三个圆方格太多，我把它平均分成四份，估算出一份的面积再乘4，得到整个圆的面积。

师：你真聪明。把复杂的问题简单化，很好。继续讲。

生：我用数方格的方法估计出一份的面积是48m2  ，整个圆面积大约是196cm2  。

师：现在老师告诉你，这个圆面积是200.96cm2  。哪个估算值最接近？

生：第三个。

师：你有什么发现？

生：方格越来越小，估计的结果越来越准确。

生：同一个圆，方格纸上的方格越小，估计得越准确。

师：你总结得真精彩。的确是这样，选择的测量标准面积越小，估算越精确。这种方法很重要。分数、小数的产生都与细分有联系。著名科学家阿基米德就是运用这种极限思想解决了圆面积的计算问题。

估测和估计的意识和能力是在实践中发展起来的。这里让学生估计三个圆的面积，主要目的不是为了得到一个更精确的结果，而是要让学生经历分析问题与解决问题的过程，了解有使得估计结果更准确的数学方法，学习用数学的工具与方法探索更加接近实际的估计值，初步感知极限思想。

（四）回顾整理，拓展延伸

师：通过这节课的学习，你们掌握不规则图形面积的估测方法了吗？谁来说一说。

生：可以数方格，也可以把不规则图形转化成近似的规则图形估算面积。

师：估计不规则图形面积，除了这两种方法外，还有一种神奇的方法——“称法”。

师：推荐同学们课下到网上去搜索《尺算法与“地图面积”测量》这篇文章，认真阅读后，“称出面积”的奥秘就解开了。

学生通过自主探索，已经掌握了估计不规则图形面积的两种方法，这里教师提出的“面积还可以称量”，引起了学生极大的好奇心，相信很多学生课下都会去搜索教师推荐的阅读文章，解读“称出面积”的奥秘。这也正是教师设计用意之所在。数学阅读作为拓展数学课程的新领域，不能限于原有知识技能的巩固，更应关注学生在数学阅读活动中积累了哪些经验，感悟到了哪些思想，要让学生在阅读中品味数学的魅力。

三、教学反思

数学教学的目的之一是促进学生数学素养的提升，而数学学科活动是形成学科素养的路径和关键之所在。在本课的教学实践中，教师以培养学生的估测意识和解决实际问题的能力为重点，紧紧抓住解决问题的“三要素”展开教学，引导学生经历数学化的探索过程，在活动中积累数学活动经验，领悟不规则图形面积的估测方法，体验方法的合理性，使不同程度的学生在不同的思维层次上得到了不同的发展。

（一）聚焦知识本质，培养学生的估测意识和估算策略

欧内斯特指出：“数学教学的问题并不在于寻找最好的教学方式，而在于明白数学是什么……如果不正视数学知识的本质问题，便解决不了教学上的争议。”估测最重要的是要确定一个合适的测量标准，然后利用这个测量标准去估计。比如，利用计数单位估一估参加体操比赛的人数;利用计量单位估一估桌面的面积;利用某一参照物如步长估一估学校到家的路程，等等。

本节课借助方格纸来估计不规则图形的面积，意在帮助学生建立起规划和设计的意识，即根据要估计的精确程度来确定估计方案。教师以此作为学生自主探索的着眼点、组内交流的发言点、集体汇报的落脚点、归纳总结的提升点，引领学生真正经历了疑问—欲求—尝试—发现的探究过程，使学生在思维的冲突与碰撞中完成了对不规则图形面积估测方法的模型建构。

1.借助方格纸

（1）粗略估计的方案：小方格里有图形就记为1，这种方法估計的比实际面积大;小方格里没有图形就记为0，这种方法估计的比实际面积小。实际面积应该在这两个估计值之间。

（2）精细估计的方案：不满一格的按半格计算。选择的测量标准面积越小，估算越精确。

（3）在精确程度要求不是很高的情况下，估计结果只要在合理范围内即可。

2.利用近似图形

还可以转化为近似的规则图形进行估计。通过移多补少，使之尽量接近规则图形。

纵观整个探究过程，操作与思考共存，理解与表达共舞，实现了学生思维能力和空间观念的共同生长。

（二）巧妙点拨引导，有效渗透数学思想方法

估测是一种高级的数学推理能力，是一种内在的思维活动过程。在本课的教学中，我以实践活动为载体，引导学生在“做”数学的过程中，感悟数学思想，积累数学活动经验。

1.探究新知环节

（1）把学生借助方格纸估计的结果利用数轴进行统计，数形结合，很好渗透了“区间套”思想。

（2）在学生汇报估计方法的过程中，引导学生与取近似值的方法联系起来，渗透了知识间相互联系、相互转化的观点，培养学生用普遍联系的观点来看待问题、分析问题。

（3）引导学生把不规则的图形转化为某个近似的规则图形，再利用公式算出面积，渗透了转化的思想。

（4）在学生汇报的过程中，强调基于体验的语言描述，通过表达的逐渐完善，促进思维的不断深化。

2.学以致用环节

设计了估计三个等圆的面积的习题，目的是让学生经历分析问题与解决问题的过程，了解有能使估计结果更准确的数学方法，知道用数学的工具与方法探索，会更加接近实际的估计值，让学生初步感知了极限思想。

3.回顾整理环节

推荐学生课下网上搜索《尺算法与“地图面积”测量》这篇文章，激发了学生数学阅读的兴趣，让学生在巩固知识技能的同时，在数学阅读活动中积累了活动经验，感悟了数学思想，让学生在阅读中品味到了数学的魅力。

这是一节融入了数学思想方法的课堂教学，充满了浓厚的数学情趣，学生在活动中思维得到磨砺，解决问题的方法逐步优化，学习的经验得到充实，成功、自信的体验得到强化。数学课堂教学回归本质，抓住蕴含在知识背后的能力、方法、策略、思想等方面，就是学生核心素养发展的最好体现，这是实现数学教育让每一位学生都能充分得到发展的重要保证。

参考文献：

[1][英]欧内斯特.数学教育哲学[M].齐建华，张松枝译.上海：上海教育出版社，1998.

[2]黄丽萍.积累活动经验，提升核心素养[J].辽宁教育，2018（8）.

[3]陈楚华.发展学生核心素养，提升教学运算能力[J].辽宁教育，2018（9）.

[4]陈晶.例谈小学数学估测教学[J].教学与管理，2015（17）.

[5]李娟.例谈估测教学的策略构建[J].小学教学参考，2015（11）.

（责任编辑：杨强）