查双剑

【摘要】原创，不是在已建成的房子上重新装潢，而是要重新打地基、造新房。教育工作者需要深入理解知识的底层逻辑，从底层逻辑出发，根据所要考查的目标，去构建原形题，再以原型题作为基础，去搭建新问题。

【关键词】底层逻辑;原型;增加变量法;逆命题

2019年4月底，笔者承担了《2018—2019学年度贵池区三级教研网络中片第三次联考》数学科目的制卷工作。这里笔者以试卷的第23题为例，谈谈自己的命题心得。

一、关于底层逻辑

1.什么是底层逻辑

我们的认知符合“从特殊到一般”“从具体到抽象”的规律。其中的“一般”“抽象”就是通常所讲的原理、本质。比如，在宏观世界中，所有物体运动状态的改变都是由自身所受外力引起的，力就是原理、本质，力改变运动。逻辑推理中也存在这样的“力”，笔者称之为“底层逻辑”，它推动了逻辑的展开。举个例子，任意画一个三角形，通过拼接或测量，我们发现“三个内角和都等于180°”，所以我们可以大胆猜想：“所有的三角形内角和都等于180°（三角形内角和定理）。”这就是“从特殊到一般”的过程。在证明这个猜想时，它是通过构造平行线，将三个内角集中成共顶点的一个平角完成证明的。根据该定理，我们又可以进一步演绎推理出“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和”，我们称之为“推论”。其中，通过构造平行线转移角用到了“平行线性质定理”，而“平行线性质定理”又是根据公理——“同位角相等，两直线平行”得到的，逻辑逆向推理到这里就不能再继续了。整个过程的逻辑链条是，公理—定理1—定理2—推论。以上例子中，以公理为起点，引出的一系列逻辑推理就是笔者说的“底层逻辑”。

2.使用底层逻辑构建问题

原创，不是在已建成的房子上重新装潢，而是要重新打地基、造新房。教育工作者需要深入理解知识的底层逻辑，从底层逻辑出发，根据所要考查的目标，去构建原形题，再以原型题作为基础，去搭建新问题。

二、构建原型

1.底层逻辑

如图1，∠ABC=∠BDE=∠BFC，则△ABC ∽ △BDE。

2.特殊化

如图2，∠ABC = ∠BDE = ∠BFC，若AB = BD，

则△ABC ≌ △BDE。

3.再特殊化

把图2结构放置到正三角形中，并引入动点，形成动图。如图3，在正三角形ABC中，点D、E分别是边BC、AC上的动点，AD、BE相交于点F，若∠AFE=60°（这里隐含了∠AFE = ∠ABD = ∠BCA，AB = BC），則△ABD ≌ △BCE。并且，根据圆的相关知识可得，点F在以AB为弦的圆弧上。

4.类比衍生

也可以把图2结构放置在正方形中。如图4，在正方形ABCD中，点E、F分别是边CD、AD上的动点，连接AE、BF，交于点G。若∠AGB=90°，则△ABF ≌ △ADE，并且点G在以AB为直径的半圆上。

我们还可以类比出正五边形、正六边形等例子。

三、命题过程

1. 原型题

这里笔者选择正方形作为“地基”。

如图4，在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为G， 交AD于F。 （1）求证：AF=DE。

2.增加变量法

笔者采用“增加变量法”，提高问题难度。这里，有一个简单逻辑：当变量（连线）增加时，图形变复杂了，显然可供思考的点更多了，也就更难了。当点E移动时，点F、G也随之移动，点G的移动轨迹是以AB为直径的半圆，这是一个动态的过程。当连接GD时，增加了一条线段（GD）、两个角（∠FGD，∠DGE）。围绕这几个量，可以展开思考，提出问题。在提出问题时，考虑到考生的计算水平，选择该动态过程中某些“恰好”的时刻，更便于考生计算。比如，讨论GD的最值、∠FGD的大小等。这里，笔者通过角提出问题。

如图5，在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为G， 交AD于F。 （2）连接DG，若DG平分∠EGF，求证：点E是CD中点。

在提出问题时，首先研究了这样一个动态的过程：随着点E移动时，点F的移动情况，发现当点E是CD中点（CE = DE）时，点F也是中点（AF = DF），当连接DG后，发现GD恰好平分了∠FGE，满足以上条件的点G显然只有一个。换言之，如果GD平分∠FGE，则点E也是CD中点。简单地说，分析时，是从边找角;提问时，是从角找边。

这里有一个命题心得，将原型题中发现的真命题的条件和结论互换，判断其逆命题是否依然成立，提出问题，往往会收到意想不到的效果。这里从角切入提问，是因为笔者在平时教学中发现，很多学生不善于找角并利用角的关系去解决问题。所以当从角切入提问时，就提高了问题的难度，使问题变得更具有开放性。

3.继续增加变量

在上述的条件下，连接CG，如图6，求证：CG=CD。

四、定稿

如图4，在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为G， 交AD于F。

（1）求证：AF=DE;

（2）连接DG，若DG平分∠EGF，如图5，求证：点E是CD中点;

（3）在（2）的条件下，连接CG，如图6，求证：CG=CD。

【参考文献】

[1]罗国兴.初中数学教学中逻辑思维能力的培养分析[J].名师在线，2019（05）：57-58.