彭雨豪 黄姣茹 陈超波

(西安工业大学电子信息工程学院 陕西 西安 710021)

0 引 言

作为整数阶微积分的推广和延伸，分数阶微积分已有300多年的历史了。分数阶微分与整数阶微分的本质区别主要在于整数阶微分表示物理或机械过程在特定时间内的变化或具体的某一属性，而分数阶微分表示的物理特性，涉及整个时域。因此，相对于整数阶微积分，分数微积分为描述各种物质的记忆以及遗传效应提供了一个强大的工具。近十几年来，分数阶微积分在物理和工程中的应用得到了极大的发展。许多学者认为运用分数阶可以更精确地描述某些真实的物理系统。如锂离子电池模型[1]、带有储能原件的电流转换器[2]、永磁同步电机[3]、电阻器[4]、无人驾驶飞行器系统[5]、粘弹性系统[6-7]等。因此，分数阶系统的研究显得不可或缺。

随着分数阶微分系统描述的物理过程越来越多，分数阶系统的综合分析已成为一个研究热点。近年来对分数阶线性系统的研究，特别是分数阶线性定常系统的稳定性和鲁棒控制器的设计都有很高的热度[8-11]。虽然这些分数阶系统的控制器设计效果十分良好，但这些结果都只针对某些特定的系统，并没有考虑到不确定性，而在实际应用中，很多系统都会或多或少的受外部干扰的影响。有时，这些不确定性还会随时间变化而变化，因此，考虑系统带有扰动因素是很必要的。

目前，对带有扰动的分数阶系统最常用的控制方法是分数阶滑膜控制，虽然其控制效果良好，但滑膜控制也有自身的缺陷。例如文献[12]提出了一种二阶滑膜控制，相对于一阶滑膜控制，该控制方法收敛速度快，抗干扰性好，但其设计的滑膜流动面以及控制器都较为复杂，不利于实现。文献[13]对不确定分数阶混沌系统设计了一种自适应控制器，该方法有较好的抗干扰性，对高维数复杂的混沌系统依旧有良好的控制效果，但其方法设计的参数较多，控制方法较多针对混沌系统，导致适用范围不广。文献[14]考虑了参数不确定性及外部扰动等情况，设计了自适应滑膜控制器，其考虑的不确定因素较多，但从最终的控制器效果来分析，该控制器的收敛速度较慢，同时收敛效果不好。文献[15]研究了分数阶集群系统的自适应鲁棒控制，由于系统的复杂性，其自适应滑膜控制器的设计也相对复杂，较多针对特定形式下的不确定分数阶系统。文献[16]研究了一类具有不匹配扰动的分数阶系统的控制，提出一种新的分数阶扰动观测器以及分数阶滑膜控制器。该方法有效地减少了系统抖振，具有良好的控制性能，但其控制器在实施控制时正负的切换值较大，在实际系统中对硬件的要求较高。

本文针对带有非线性扰动的分数阶系统设计了一种计算量较小且控制简便的状态反馈控制器。首先应用分数阶Lyapunov稳定性定理分析出系统稳定的充分条件，再利用线性矩阵不等式求解出合适的状态反馈参数。最后应用实例来验证该控制器的有效性。

1 预备知识

常用的分数阶微积分的定义有Grunwald-Letnikov(GL)、Riemann-Liouville(RL)和Caputo。其中，Caputo分数阶微分的定义为：

(1)

Riemann-Liouville(RL)分数阶微分定义为：

(2)

式中：m-1<α

(3)

RL分数阶微分与Caputo分数阶微分之间存在如下关系[17]：

(4)

(5)

(6)

式(6)中，b是正常数。

引理1[18](分数阶Lyapunov直接法)x=0是非自治系统的一个平衡点，RDαx(t) = f(t,x)，0<α<1。假设存在一个Lyapunov函数V(t,x(t))和K类函数αi(i=1,2,3)满足：

α1‖x‖≤V(t,x(t))≤α2‖x‖

CDαV(t,x(t))≤-α3‖x‖

那么非线性分数阶系统渐进稳定。

引理2[19]有合适维数的矩阵X、Y，当有ε>0时，下式成立：

XTY+YTX≤εXTX+(1/ε)YTY

引理3[17]根据分数阶系统Leibniz规则，h(x)=xTx的α阶次微分可扩展成：

(7)

其中：

(8)

‖γ‖≤σ‖x‖σ>0

(9)

考虑有一个Lyapunov函数：

V=xTPx

(10)

式中：P为正定对称矩阵。根据式(4)和引理3可以得出：

CDtαV= [RDtαx]TPx+xTP[RDtαx]-

RDtα[x(0)TPx(0)] +γ

(11)

‖γ‖≤β‖x‖β>0

式中：β=p×σ，p是P的最大特征值。一般情况下，上述不等式等价于‖γ‖≤β‖x‖2。

引理4[20](schur Complement)如果有实矩阵S=ST，那么以下条件等价：

2 含非线性扰动系统的状态反馈控制

考虑线性不确定线性分数阶系统：

RDαx(t)=Ax(t)+Bu(t)+φ(t,x(t))

(12)

‖φ(t,x1)-φ(t,x2)‖≤λ‖x1-x2‖

(13)

φ(t,0)=0

本文针对式(12)设计一种状态反馈控制器，形式如下：

u=Kx(t)

(14)

则闭环控制系统可以得出：

RDαx(t)=(A+BK)x(t)+φ(t,x)

(15)

(16)

式中：Φ11=QAT+UTBT+AQ+BU+εI+βQQ。那么系统式(15)渐进稳定。

证明：对闭环系统式(15)考虑Lyapunov函数：

V(t,x(t))=xT(t)Px(t)

(17)

CDαV(t,x(t))=

(18)

通过式(18)和引理3得：

CDαV(t,x(t))=

(RDαx(t))TPx(t) +xT(t)P(RDαx(t))-

RDα(xT(0)Px(0)) +γ

(19)

根据式(19)和式(6)，可得：

CDαV(t,x(t))=

(RDαx(t))TPx(t) +xT(t)P(RDαx(t))-

(20)

CDαV(t,x(t))≤

xT(t)(A+BK)TPx(t)+xTP(A+BK)x(t)+

φT(t,x(t))Px(t)+xT(t)Pφ(t,x(t))+γ

(21)

根据引理2和式(21)，可得：

CDαV(t,x(t))≤

xT(t)(A+BK)TPx(t)+

xTP(A+BK)x(t) +εxT(t)PPTx(t)+

(1/ε)φT(t,x)φ(t,x)+γ

(22)

根据式(22)和引理3得：

CDαV(t,x(t))≤

xT(t)(A+BK)TPx(t)+

xTP(A+BK)x(t)+εxT(t)PPTx(t)+

(1/ε)φT(t,x)φ(t,x)+β‖x(t)‖2

(23)

根据式(13)的扩展形式：

φT(t,x)φ(t,x)≤λ2xT(t)x(t)

与式(23)，可以得出：

CDαV(t,x(t))≤

εPPT+(λ2/ε)I+β)x(t)

(24)

因此，如果：

(A+BK)TP+P(A+BK)+

εPPT+(λ2/ε)I+β<0

(25)

那么，系统渐进稳定。取Q=P-1，式(25)左右两边同乘Q可得：

QAT+QKTBT+AQ+BKQ+εI+

(λ2/ε)QQ+βQQ<0

(26)

取U=KQ，式(26)可改写为如下不等式：

QAT+UTBT+AQ+BU+εI+

(λ2/ε)QQ+βQQ<0

(27)

通过引理4不等式与矩阵的等价转换，得出下列矩阵不等式：

第三，经济合理。对于规模较大的农村供水工程，一般能做到通过方案比较和技术经济分析，使得管道综合造价低，运行经济，使用寿命长，施工机具解决及安装容易，维护维修方便、工作量少、成本低。但对于规模较小的工程，这方面做得还不够。

(28)

式中：Φ11=QAT+UTBT+AQ+BU+εI+βQQ。式(28)与式(16)一致，证毕。

3 仿真结果

为了验证提出方法的正确性以及有效性，应用设计的控制器对带有非线性扰动的分数阶系统进行控制仿真。

有如下含非线性扰动的分数阶系统：

(29)

式(29)可以被重新写成：

Dαx(t)=Ax(t)+φ(t,x(t))

(30)

式中：

x(t)=[x1x2x3]T

φ(t,x(t))=[x1×sin(2t)x2×sin(x1)x3×sin(2t)]T

在非线性扰动项φ(t,x(t))中，本实例考虑了多种可能情况，其中不但含有随时间t变化而变化的扰动，而且还增加了随状态变量变化的扰动。即每一个系统状态表达式中都含有自身变量的状态扰动，同时还考虑了状态变量互相干扰的情况，使得该实例考虑扰动时，更加全面。

对于非线性扰动项，可以容易地求出：

‖φ(t,x(t))‖=

取初始条件x0=[7 -4 3]T，则得出未加控制的系统式(29)的仿真结果，如图1所示。

图1 未加控制的系统状态响应

从图1可以明显看出系统受扰动的影响，系统的状态变量是不稳定的，不收敛。

现选取参数B=[0.5 0.6 1]T，β=1，λ=1.8。

根据定理1，可以求得：

U=[-11.781 3 -1.726 4 -5.692 7]

根据公式：

K=UQ-1

得出反馈增益系数：

K=[-19.278 3 -1.552 4 -1.405 3]

应用式(14)设计的控制器可得仿真结果如图2所示。

(a) 总体响应

(b) 状态变量x1

(c) 状态变量x2

(d) 状态变量x3图2 加入控制的系统状态响应

其中图2(a)表示加入控制后的状态变量x1、x2、x3状态值的总图，图2的(b)、(c)、(d)为各自变量的收敛图。图3表示分数阶系统的控制器曲线图。

图3 系统的控制曲线

可以看出，分数阶系统的各个状态变量在施加控制器后都快速收敛，说明不稳定的分数阶系统应用本文设计的状态反馈控制器可以达到渐进稳定的效果。由各个变量的分图能看出响应速度比较快，且收敛效果好，验证了该控制器的有效性、快速性以及较好的鲁棒性。由图3可以看出，控制器的值无正负切换，同时绝对值也较小，有利于实际控制器硬件的设计。至此，由仿真实例证明了本文控制器设计的正确性。

4 结 语

本文针对带有非线性扰动的分数阶系统进行研究与控制。利用分数阶Lyapunov直接法得出系统渐进稳定的充分条件，再结合线性矩阵不等式求解出合适的参数，提出一种新的简便的状态反馈控制器，解决了分数阶系统中带有扰动的鲁棒控制问题。最后通过实例说明本文方法的有效性以及快速性。在分数阶系统中含有扰动的问题上开拓了一种新的解决方法与思路。