胡宝华

（浙江省杭州市临安区昌化职业高级中学，浙江 杭州 311321）

一、问题的提出

2019年9月在高三进行了一次月考，其中最后一题是应用题，笔者对任教的其中一个班级的这个题目的得分情况进行了统计：

得分 0分 2分 4分 6分 7分 10分人数 6人 7人 15人 1人 1人 1人

本题满分10分，31位参加考试的同学这个题目平均得分3.12分，应用题大题的测试结果令人非常不满意。31位同学只有1位同学得满分，有15位同学第一小题做对得4分，第2题无法得分，说明这15位同学知道已知数列的第一项会求第二 项，不知道分别用等差等比数列的通项公式去求和。

于是我产生了一个疑问，我们的高三学生为什么应用题得分这么低？我通过与学生的谈话，发现学生做应用题存在以下困难：得0分得同学题目看不懂，得2分和4分得同学不知道这个题目要用数列的求和公式来求和。我们的学生公式背诵的滚瓜烂熟，但是在解应用题的时候他不清楚应该要用哪个知识点来解决这个问题，存在两个困难：一是，建模分析存在困难，不会审题；二是，不知道如何构建模型。

笔者尝试以问题串的形式开展数学建模的教学，通过一系列问题串，把看似凌乱的知识点进行串联，学生在教师的引领下对问题进行分析，使学生分析问题、解决问题的能力得到提高，使中职学生体会到数学是来源于生活的。

“问题串，是在一定的学习范围或主题内，教师围绕一定目标或某一中心问题，按照一定逻辑结构精心设计的一组问题。”问题串教学是教师根据教学目标和要求，突出教学的重、难点，依据学生的现有能力，设计若干个具有逻辑性、实效性的问题，运用一问一答的方式进行教学的一种教学方法。

学生在遇到数学建模问题时，存在两个困难：一是，建模分析存在困难，不会审题；二是，不知道如何构建模型。本文就以“问题串”的形式开展数学建模的教学做一初步的探讨。

二、在建模分析阶段的问题串设计

基于“做中学”的现代教学理念，学生通过教师的启发和引领进行自觉的分析、探索，在分析和探索中使学生获得成就感。学生在碰到数学建模问题时，教师应该如何引领学生进行分析和探索呢？

（一）分段函数建模问题在模型分析阶段的问题串设计

例1：小李经营山核桃土特产店，2019年的营业额是100万元，各类成本共计65万元，计算小李应缴纳的个人经营所得税金额。

个人所得税税率表（经营所得适用）

级数 全年应纳税所得额 税率（%）速算扣除数（元）1 不超过3万元的 5 0 2 超过3万元至9万元的部分 10 1500 3 超过9万元至30万元的部分 20 10500

4 超过30万元至50万元的部分 30 40500 5 超过50万元部分 35 65500

注：本表所称全年应纳税所得额是指以每一纳税年度的收入总额减除成本、费用以及损失后的余额。

问题一：2019年营业额是100万元，各类成本共计65万元，小李需要纳税的金额是多少？

（生）：应纳税额是营业额减去各类成本。

问题二：观察税率表，速算扣除数是什么意思？

问题三：小李应该属于哪一级进行扣税？

设计意图：学生拿到题目后不会分析，老师通过三个问题引导学生对题目进行分析解读，通过问题一确定需要缴税的金额，通过问题二理解速算扣除数的含义，最后明确采用“先选级，再乘税率，最后减速算扣除数”的程序计算。

（二）数列建模问题在模型分析阶段的问题串设计

近几年的浙江省数学高职考中，在大题中出现了数列的综合应用题，需要学生运用观察、归纳、猜想的方法，结合等差模型、等比模型来解决实际问题。学生在看到题目后，不知道怎么分析，不清楚需要用哪个模型来解决问题。

例2：杭州市住房公积金2017年初的账户余额为3亿元人民币，当年全年支出4500万元，收入3500万元。假设以后每年的资金支出额比上一年多300万元，收入金额比上一年增加10%，试解决如下问题：

1）2019年杭州市的公积金应支出多少万元？收入多少万元？

2）到2026年底，该城市的公积金账号余额为多少万元？

（参考数据：1.16=1.772，1.17=1.949，1.18=2.144，1.19=2.358，1.110=2.594，1.111=2.853）

问题一：每年支出构成一个什么数列？

（生1）：每年支出额比上一年多300万元，每年支出额构成一个等差数列。

问题二：每年收入额构成一个什么数列？

（生2）：每年收入额比上一年增加10%，每年收入额构成一个等比数列。

设计意图：学生的解题困难首先是审题难理解难，收入和支出需要分开计算，通过上述问题引导学生将学习过的数列知识运用到解题中来，把文字的问题转化为数列的问题。现实生活中存在很多等差等比数列的模型，这些模型问题常见的解题思路：审题—建模—研究模型—返回实际。在此类模型中，经常结合考查等差、等比数列的通项公式及前n项和公式。

（三）线性规划问题在模型分析阶段的问题串设计

例3：A、B、C、D四为同学分别拿着4，2，3，1个开水壶去打开水，但是热水龙头只有一个，假设打满一瓶开水需要1分钟时间，怎样安排打开水的顺序，他们打完开水所花的总时间最少（包含排队、打水的时间）？

问题一：A、B、C、D四为同学将自己的开水壶打满水各需要多少时间？

（生1）：A、B、C、D四为同学将自己的开水壶打满水分别需要4分钟、2分钟、3分钟、1分钟。A同学用时最长，D同学用时最短。

问题二：对于A同学和D同学，如果先安排A同学打水，总共需要多少时间？

（生2）：如果A同学先打水，A同学需要4分钟；D同学除了等候的4分钟还要加上自己打水的一分钟，D同学需要5分钟时间，两人总共需要9分钟时间。

问题三：对于A同学和D同学，如果先安排D同学打水，总共需要多少时间

（生3）：如果D同学先打水，D同学需要1分钟；A同学除了等候的1分钟还要加上自己打水的四分钟，A同学需要5分钟时间，两人总共需要6分钟时间。

问题四：从上面的两种方案看，我们可以得到一个什么结论?

（生4）：把打水时间少的同学先安排打开水，可以使等候的时间最短。

问题五：那么应该如何安排同学他开水呢？

（生5）：按照占用打开水的时间有少到多的顺序安排是：D同学、B同学、C同学、A同学。

设计意图：通过上述的五个问题，可以帮助同学理清思路，抓住关键问题，找到解决问题的最佳方法和途径。使学生明白只有通过最优化的思想，合理安排，才可以提高效率，得到最佳的效果。

三、在构建模型阶段的问题串设计

（一）函数建模问题在构建模型阶段的问题串的设计

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，函数模型与我们的生活息息相关，我们可以利用熟悉的函数解决日常生活中的实际问题。近几年的高职考大题中经常出现函数应用的题目，我们的学生在这个题目上普遍得分比较低。

例4：某水厂要建造一个容积为8000立方米，深5米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为100元，池底每平方米的造价为200元。如何设计能使总造价最低，最低造价为多少？

模型假设：设池底一边长为x米，总造价为y元。

构建模型：问题一：用关于x不等式写出池底面积和池壁面积？（学生感觉有困难）

问题二：池底的面积是多少？（教师通过分步提问化解困难）

问题三：池壁的面积是多少？

（生2)：因为池底的一边长为x米，另一边为米

问题四：总造价的函数模型是怎么写？（通过上面的问答，学生可以轻松的写出函数模型）

设计意图：这里采用递进式问题串的形式设计问题串，以问题引领学生进行思考，有序层层推进，一问一答，以前问作为后问的基础，后问作为前问的延伸。

（二）几何测量问题在模型构建阶段的问题串的设计

在考查无法直接测量的距离问题时，我们可以通过在三角形中建立三角函数模型解决问题。在三角形在已知两边及一边的对角或已知两角及一边，求另外的边角，可以用正弦定理；已知两边及夹角或已知三边，求另外的边角，可以用余弦定理。

建模分析：正确理解仰角和俯角，在ΔAMN中，已知两个角和一条边求另外的边的问题。在中已知斜边和角，求直角边的问题。

建模构建：

问题一：在ΔAMN，已知条件是什么，求什么？

（生1）：在ΔAMN中，可知，，求边的长度。

问题二：：已知两角与一边，可以用什么定理解决问题？

问题三：利用正弦定理可以求出哪条边的长度？

在解三角形的综合问题时，要仔细分析问题，结合图形，找出相应边角的关系，运用正弦定理、余弦定理解决问题。

通过以问题串的形式开展数学建模教学实践，发现学生由原来“怕”数学建模题到现在“喜欢”解数学建模题，笔者所带的高三学生在模拟考试中数学建模题的得分有明显的提高，收到了成效。