陈建忠

（甘肃省陇西县第二中学，甘肃 定西 748100）

一、函数的视角探究公垂线定义距离的合理性

问题1.如图，已知点P,Q分别是正方体ABCO-A'B'C'D'的对角线和棱上的点，试探究下列问题：

（一）若P是的中点，求的最小值；

（二）若Q是的中点，求的最小值；

（三）若P是上的动点，Q是上的动点，求的最小值；

解：（一）建立如图所示的空间右手直角坐标系，设

由P是的中点，知设Q(0,1,λ)

解：（二）Q是的中点，则设P(λ,λ,1-λ)，则

解：（三）若P是上的动点，Q是上的动点，可设P(λ,λ,1-λ)，Q(0,1,µ)，则.

上式是两个变量λ,µ的二元函数，不妨视为µ主元，λ为常量，则.

即当且仅当P是的中点，Q是的中点，的最小值.

【点评】P是的中点，Q是的中点，的最小值.有，即PQ是异面直线和的公垂线.课本编者精挑细选的这道题，学生运用坐标法的思想，利用代数中二次函数的最值法，体验了异面直线上两点之间的距离为公垂线段的长度.进一步理解了两个图形的距离是指两个图形上两点之间距离的最小值。

【反思与回顾】

经历上述三问的探究过程，真切感知异面直线上两点之间的距离，公垂线最短.

二、向量的视角探究问题一般化结论

问题2.在长方体ABCO-A'B'C'D'中，设P,Q分别为对角线与棱上的动点，求的最小值.

设Q(0 ,b,y)，P(x0,y0,z0)，

视y为主元，则

特别地，当a=b=c=1时，分别为的中点.

方法2——向量的视角

方法3——斜向量在法向量上投影的视角

由

所以，z=0，由，令所以

【点评】斜向量在法向量上投影的长度，即为异面直线间的距离。向量是沟通代数与几何的桥梁。解题中视为异面直线和的法向量，使问题得到简解.

【回顾与反思】

（一）在正方体中，通过彼此关联的三个问题，使学生领会“异面直线、的距离”是“公垂线段”的长度的合理性；……