张 强，卢朝辉，赵 然，伦培元

(1. 北京工业大学 建筑工程学院， 北京 100124； 2. 中南大学 土木工程学院， 长沙 410075)

钢筋锈蚀是引起混凝土结构耐久性不足的最主要原因，而耐久性不足导致结构发生破坏的事故时有发生，造成了大量的经济损失和人员伤亡.改革开放以来，我国的城市化进程不断加快，但城市基础化建设已经由大规模建造逐步进入长期安全运营管理与高效维护阶段，确保作为社会生产和生活运转载体的基础设施工程结构全寿命服役可靠性，钢筋锈蚀导致的结构耐久性损伤是现阶段亟需解决的重大课题[1].

经过近半个世纪对钢筋锈蚀问题的研究，取得了大量的研究成果.如Jin等[2]考虑细观裂缝扩展过程，建立了临界锈胀力预测模型； Wong等[3]采用细观图像分析方法，揭示了钢筋锈蚀产物发展及致使混凝土保护层开裂的过程.邵伟等[4]推导了氯离子对钢筋的锈蚀过程，并分段建立了氯离子侵蚀混凝土管柱的寿命预测模型；文献[5-6]采用扩展有限元法和过盈装配的方式，建立了混凝土保护层非均匀锈胀开裂有限元模型；Andrade等[7-8]试验研究了混凝土保护层开裂时刻均匀钢筋锈蚀率的变化规律，并建立了混凝土锈蚀胀裂数值分析模型； 文献[9-10]在此基础上引入非均匀锈胀压力模型等，为进一步揭示钢筋锈蚀与混凝土服役寿命的规律提供了基础.但是，现有模型均忽视了材料初始缺陷下对锈胀力和开裂时间造成的影响，不能细观地把握裂缝扩展过程.

事实上，由钢筋锈蚀引起的混凝土结构耐久性下降过程包括诸多不确定因素，如采用确定化的理论模型来预测结构开裂时变损伤过程，恐与实际情况有较大出入.为研究混凝土结构因钢筋锈蚀造成的耐久性不足所致的可靠度衰减过程，研究者进行了诸多尝试.樊玲等[11]基于弹性断裂力学和坑蚀模型，建立坑蚀锈胀裂缝时变可靠度模型，并采用Monte-Carlo方法求得钢筋混凝土锈胀时变可靠度；周敏[12]考虑钢筋腐蚀对桥梁结构的影响，基于改进的一次二阶矩法建立了3种桥梁结构耐久性极限状态寿命及其寿命终止目标.但是一次二阶矩法和Monte-Carlo法分别存在求导迭代效率差、抽样计算量大等不足，因此选择一种求解思路清楚、计算效率相对较高、计算精度满足要求的保护层锈胀开裂的可靠度方法显得尤为重要.

鉴于此，本文基于断裂力学理论构建了考虑材料初始缺陷的钢筋锈蚀混凝土保护层开裂时间预测模型，在该确定化预测模型的基础上，发展了混凝土结构时变可靠度分析的三阶矩法，应用于混凝土保护层锈胀开裂失效概率分析中.

1 基于材料初始损伤的开裂时间预测模型

1.1 初始缺陷的定义

在实际锈蚀过程中，将材料初始缺陷形状简化为半椭圆形，如图1所示.图中：点A、点B代表半椭形裂缝尖端；a为径向长度；β为缺陷角度(0≤β≤π)；q为均匀径向压力；基于文献[13]提出的开裂三阶段模型，混凝土构件内初始缺陷裂缝尖端点A、B的应力强度因子可以表示为

(1)

(2)

式中：p为锈蚀产物膨胀产生的内部压力；FA、FB为形状系数，

系数Gi(i=0,1,…,6)、MjA、MjB(j=1,2,3)主要由裂缝以及钢筋混凝土几何尺寸决定；Q为椭圆形状系数.以上系数均可参照文献[14-15]进行计算.

图1 初始裂缝示意图Fig.1 Initial crack schematic diagram

1.2 断裂准则的确定

基于断裂力学理论，采用双K断裂参数[16]对混凝土锈胀开裂过程进行表述，其表达式如下：

(5)

由于双K断裂参数均由试验测得，同时因混凝土结构服役环境、材性及初始缺陷的差异性，难以应用已有的试验数据.本文在文献[17]的基础上对应力强度因子进行修正，表达式如下：

(6)

式中：h、V、KIc分别为标准模型的高、体积和断裂韧度；C为混凝土保护层厚度；R为钢筋直径；α′为威布尔参数，可按照文献[12]进行定义.

1.3 临界锈胀力和保护层开裂时间的定义

临界锈胀力计算方面，假定材料初始缺陷下钢筋锈胀裂缝动态扩展过程中具有两个重要临界点，即初始阶段和失稳扩展阶段.在裂缝扩展临界状态下的裂缝应力强度因子与双K断裂参数相等，将其代入应力强度因子公式中即可以得到初始缺陷点A、点B的初始开裂锈胀力和保护层完全开裂时的锈胀力，根据文献成果以初始缺陷点A的开裂状态作为判断标准[18]，故可得到临界锈胀力计算公式.

初始缺陷开始开裂时的锈胀力：

(7)

混凝土保护层完全开裂时的锈胀力：

(8)

式中：Δa*表示裂缝扩散区域长度，可按照文献[15]进行计算.

保护层开裂时间方面，根据前期的研究成果，钢筋混凝土构件保护层开裂时间可以表示为[15,19]

(9)

式中：N为离子价；F为法拉第常数；w/c为水灰比；M表示锈蚀产物的分子量；ρcr为保护层锈胀开裂时的锈蚀率，可按照文献[15]进行计算.

2 钢筋锈蚀作用下保护层开裂破坏极限状态函数建立

根据文献[20]，考虑初始缺陷的工程结构锈胀开裂可靠度分析的极限状态函数可以表述为

G(L,S,t)=L(t)-S(t)

(10)

式中：S(t)表示荷载效应在t时刻对结构的影响；L(t)表示在t时刻结构其自身的抗力.由于锈胀抗力难以随时间变化进行监测计算，按照可靠度评估标准，可以将上述算式转换为时间的工程函数：

Pf(t)=P[G(L,S,t)≤0]=

P[S(t)≥L(t)]

(11)

随着钢筋锈蚀产物逐渐膨胀，当混凝土应力强度因子KI超过断裂韧度KIc时，导致混凝土保护层开裂.如果采用tcr(由断裂韧度KIc确定，计算参照式(9))表示裂缝扩展到混凝土表面的临界时间，那么上式可以转换为

Pf,c(t)=P[tj≥tcr]

(12)

式中：tj代表混凝土服役时间；tcr代表混凝土开裂时刻临界时间.

对于功能函数Z=G(X)，其各阶矩可以表示为以下形式：

(13)

(14)

(15)

表1 随机变量汇总Tab.1 Summary of random variables

当存在n个基本随机变量时，必须针对函数计算mn次才能确定函数的前三阶矩.为降低计算量，采用文献[23]提出的一维减维积分方法，将多变量的功能函数简化成一系列单个随机变量功能函数之和：

式中：μG、σG、α3G分别为功能函数G的均值、标准差、偏度，可以采用标准正态空间上的点估计来计算求得.

在得到功能函数的前三阶矩后，采用下式计算混凝土结构可靠度指标β3M及失效概率Pf[24]：

式中：

3 混凝土保护层锈蚀开裂可靠度分析

3.1 算法验证

因保护层开裂时间预测模型已在文献[15]中进行验证，现需对本文发展的工程结构锈胀可靠度分析的三阶矩方法(TM)进行验证.采用传统Monte-Carlo方法(MC)以不同抽样次数的方式进行对比，参见图2.图中：Pf为保护层失效概率；tcr为开裂时间.对比可知当Monte-Carlo方法总抽样次数小于 10 000 次时，计算得到的失效概率不稳定的.当抽样次数超过 10 000 次后，高阶矩法分析结果与Monte-Carlo法计算得到的结果吻合较好.从中可以看出，高阶矩法只需计算功能函数的前三阶矩即可获得保护层失效概率，相比而言较大地提高了计算效率，且精确度在接受范围内.

图2 TM与MC分析保护层失效概率对比Fig.2 Failure probability of cover thickness by TM and MC

3.2 实际工程验证

为验证本文提出的混凝土锈蚀开裂时变可靠度模型在实际工程中的应用，对文献[13,20]中的4组试件进行保护层失效概率计算，计算数据对比参见图3.在实际工程中，一般假定当失效概率超过50%时，混凝土保护层已经完全开裂.由图可知，当失效概率为50%时，S1试件的开裂时间为2.0年左右，S2试件的开裂时间为3.7年，S3试件的开裂时间为0.7年，S4试件的开裂时间约为2.3年，与实际试件混凝土保护层开裂时间基本一致.

图3 混凝土保护层开裂时间失效概率对比Fig.3 Comparison for failure probabilities of cracking time of concrete covers

3.3 随机变量均值对失效概率敏感性分析

3.3.1保护层厚度 当混凝土保护层厚度均值为20，40，60 mm时，采用高阶矩法与Monte-Carlo方法计算保护层失效概率时变趋势，具体参见图4.

图4 不同保护层厚度对保护层失效概率的影响Fig.4 Influence of the cover thickness on the failure probability of cover cracking

由图4可知，高阶矩法与Monte-Carlo方法变化趋势基本一致，进一步说明高阶矩法在考虑不同均值计算中的准确性.另外，从图中可以看出，保护层厚度对混凝土保护层失效概率有较大影响.当失效概率为50%时，当保护层厚度从20 mm增加到60 mm时，混凝土保护层开裂时间从大约0.4年增加到大约2.8年，说明增加保护层厚度可有效延长混凝土构件的服役时间.

3.3.2钢筋半径 图5表示钢筋半径均值为8，13，18 mm时失效概率时变趋势.

图5 不同钢筋半径对保护层失效概率的影响Fig.5 Influence of the radius of reinforcing bar on the failure probability of cover cracking

由图5可知，当保护层失效概率为50%，钢筋半径从8 mm增加到18 mm时，混凝土保护层开裂时间从大约1.3年增加到大约2.0年.说明增加混凝土中钢筋半径能够延长混凝土构件的服役时间，但影响较小，不建议作为主要方法.

3.3.3混凝土抗拉强度、弹性模量和失稳断裂韧度 图6表示混凝土不同抗拉强度均值、弹性模量均值、失稳断裂韧度均值对保护层开裂失效概率时变趋势.

由图6可知，当失效概率为50%时，混凝土抗拉强度与失稳断裂韧度对混凝土构件保护层开裂时间的影响趋势基本相同，并且随着参数数值增大，开裂时间均相应的延长.与此同时，混凝土弹性模量对开裂时间呈负相关趋势.

3.3.4锈蚀产物体积膨胀比 图7示出了η=2，3，4时保护层失效概率时变趋势.

由图7可知， 混凝土保护层失效概率对锈蚀产物体积膨胀比较为敏感，当失效概率为定值时，体积膨胀比为4的较之膨胀比较小的构件，其开裂时间急剧缩短.这是因为，基于理论推导的保护层初始开裂所需的锈胀力可视为固定标准值，当体积膨胀比不断增大，锈蚀所产生的锈胀力越快突破开裂标准值，所以时间也随之缩短.

图6 ft、Eef以及对保护层失效概率的影响Fig.6 Influence of ft, Eef and on the failure probability of cover cracking

图7 不同体积膨胀比对保护层失效概率的影响Fig.7 Influence of the expansion rates of the corrosion products on the failure probability of cover cracking

3.3.5水灰比 图8示出了水灰比为0.40，0.45，0.50时混凝土保护层锈胀失效概率时变趋势.由图8可知，混凝土失效概率对水灰比的均值变化较为敏感.当失效概率为50%时，w/c=0.50时，混凝土构件保护层开裂时间为1.1年左右；当w/c=0.40时，混凝土构件保护层开裂时间为1.7年左右.

图8 不同水灰比对保护层失效概率的影响Fig.8 Influence of the water cement ratio on the failure probability of cover cracking

图9 各参数变异系数对保护层失效概率的影响Fig.9 Influence of variation coefficients of each parameter on the failure probability of cover cracking

3.4 随机变量变异系数对失效概率敏感性分析

在混凝土结构漫长的服役过程中，对保护层失效概率产生影响的重要参数难以确定，且随着时间推移发生改变，因而有必要对随机变量的变异系数(COV)进行考虑.图9表示混凝土保护层开裂失效过程中不同变异系数对保护层失效概率敏感性分析曲线.

由图9(a)、(f)、(g)对比可知，尽管不同变异系数对保护层失效概率的影响均交汇在概率为50%处，但是在失效概率敏感性上均表现出明显的差异.图9(f)中可以看出，锈蚀产物膨胀比所对应的变异系数敏感性对比中差异性最大，与文献[25]研究结果基本一致.当开裂时间达到10年时，变异系数为0.6时，其保护层失效概率为0.7左右；而变异系数为0.1时，其保护层失效概率为1.在图9(b)～(d)中，钢筋半径、抗拉强度、弹性模量、失稳断裂韧度等变量在失效概率到达60%前，均表现出一定的平稳性.最后，针对差异性较大的膨胀比参数，通过与Monte-Carlo方法进行了对比，结果吻合较好，进一步说明了本文提出的高阶矩法计算的精确性.

3.5 概率分布的影响

由于混凝土结构实际服役环境复杂多变，如采用单一确定的概率分布对随机变量进行描述恐造成差异，所以考虑采用不同的概率分布对保护层失效概率进行计算.基于以上计算，采用保护层厚度、锈蚀产物膨胀比等差异性较大变量进行分析，计算在对数正态分布、Gama分布以及标准正态分布情况下的失效概率时变敏感性.对比结果参见图10，从中可以看出，3种不同概率分布下的随机变量变化对保护层失效概率的影响较小，考虑随机变量分布对计算结果意义不大.

图10 概率分布对保护层失效概率的影响Fig.10 Influence of probability distributions on the failure probability of cover cracking

4 结论

本文推导了考虑材料初始缺陷的混凝土保护层锈胀时间预测模型，建立了钢筋混凝土结构服役寿命的极限状态函数，并在此基础上发展了基于矩法的混凝土结构服役时变可靠度分析方法，采用一维减维方法对极限状态函数求前三阶矩，进而求得可靠度指标和失效概率.

(1) 与Monte-Carlo方法进行对比说明其在降低了抽样次数的同时，保证了计算过程的准确有效，满足使用要求.

(2) 在理论模型中所涉及的混凝土材料参数中，混凝土保护层失效概率对保护层厚度的随机性和不确定性最为敏感.此外，混凝土保护层失效概率对随机变量均值变化和变异系数变化较为敏感.

(3) 保护层失效概率对随机变量概率分布类型敏感性较差.