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N的最大值是多少?

2020-05-06

学生导报·东方少年 2020年1期
关键词:末位乘积末尾

已知从1开始连续n个自然数相乘,1×2×3×…×n,乘积的尾部恰有25个连续的零,那么n的最大值是?

【分析】首先5、10、15、20、25、…、105与其他偶数之积的个位至少有一个 0,105÷5=21个,105÷25=4个…5,21+4=25个,即连续自然数乘积1×2×3×…×105的尾部恰有25个连续的0,所以1×2×3×…×n中,n的最大值是105+4=109。

【解答】解:凡末位是0的数,都为乘积的尾部贡献1个0,2×5=10,每10个连续数中,这样就为乘积贡献了2个0。

从1到100,乘积就有了20个0,但还有25、50、75和100,都可再贡献1个0,这样就有了24个0。

要再出现1个0,即凑成25个0,还必须出现1个5(因为2有的是),所以到105时乘积末尾恰有25个连续的0。

但此题问的是n的最大值,也就是說,最大到几不会出现第26个0,显然,是到 109。

故n的最大值是109。

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