夏鹏程

（北京科勒有限公司研发部，北京 101500）

罗茨泵、罗茨真空泵是应用比较广泛的设备，罗茨泵属于容积泵[1]，理论上罗茨转子转动一圈液体通过的体积是一定的，由于具有这个特征也产生了罗茨流量计[2]。目前罗茨转子用于家庭用水的定量装置（例如定量龙头）刚刚起步，具体设计原理是：利用市政供水水力驱动罗茨转子转动，罗茨转子转动带动计数机构，同时联动机械运动机构实现排出一定量水后自动关闭阀门的纯机械定量装置。传统应用领域的罗茨流量计只用于计数不会驱动阀门机构，不同于罗茨流量计，定量装置的设计更重要的是水力转换效率，水力转换效率与转子设计的径距比直接相关，径距比越大，水力转换效率越高。通过对圆弧渐开线进行径距比和啮合分析，创造出更大径距比的新型的转子类型。

1 径距比的实际意义

如图1 所示，图示为双叶轮罗茨转子啮合的横截面，凸起部分称为叶峰，凹入部分为叶谷，当2 个叶轮同步转动时，叶峰与叶谷相啮合，相当于2 个转子的节圆做纯滚动。叶轮外径与两叶轮中心距的比值称为叶轮的径距比k。根据图1啮合示意图可知：

式（1）中：R1为叶轮半径；R为叶轮节圆半径。

当有水压P加载时，水压作用在转动轴O和O1组成的平面上，水压作用在两叶轮上的力F为：

式（2）中：P为水的压强；h为转子的高度。

可知叶轮的径距比越大，水压作用在叶轮上的力越大，压力势能转换为转子动能效率越高，通俗地讲就是转子越容易驱动。

图1 双叶轮罗茨转子啮合示意图

2 啮合分析

罗茨转子常用的叶型有圆弧渐开线型、圆弧型和摆线型[3]。选取渐开线型作为研究对象，进一步探讨径距比。

如图2 所示，图示为圆弧渐开线型[4]罗茨转子啮合的横截面，为渐开线，转子转动在F、E点间的渐开线上啮合，转子头和腰为圆弧线，圆弧相等，且不参与啮合，转子转动从A点到E点转动了45°，转子转动从A点到F点也是转动了45°，A点在节圆直径上。线段为圆弧半径，圆弧的中心在D点上，根据圆弧渐开线型叶轮啮合的原理，D点必须在节圆上，同时线段和线段在一条直线上。

图2 圆弧渐开线型罗茨转子啮合示意图

根据渐开线的定义，渐开线展开长度等于渐开线在基圆上滚过的弧长，所以转子转动从A点到E点转动了45°，其渐开线展开长度增加为：

式（3）中：r为渐开线基圆半径；为渐开线展开到E点的展开长度；线段为渐开线展开到A点的展开长度。

由图2 可知，渐开线展开到E点的展开长度为:

将式（5）、式（4）代入式（3），可得：

由图2 可知转子直径2R1为：

式（7）中：R为叶轮节圆半径；r为渐开线基圆半径。已知渐开线函数:

式（8）中：α为叶轮啮合压力角。

将式（8）代入式（7），可得：

根据式（1）可知径距比k为：

根据公式（10）可知，径距比只跟α有关，α越小径距比越大。

进一步分析，如图2 所示，转子转动在F、E点间的渐开线上啮合，实际上是渐开线展开从F点展开到E点的过程。F点的极限位置为渐开线展开的起始点。

以F点作为渐开线展开的起始点，由渐开线的定义，渐开线从F点展开45°到A点，渐开线展开长度为基圆45°圆弧线长度，列等式：

由图2 可知：

由式（11）、式（12）可得：

联合式（13）和（8）求解可得：

式（13）解函数可得α=38.146°，所以以F点作为渐开线展开的起始点是完全啮合的极限位置，38.146°是叶轮啮合的极限压力角。

另外E点作为参与啮合的渐开线终点，越接近转子顶点圆弧段越小，如图2 所示，为零就超出了圆弧型渐开线罗茨转子的定义，因此E 点达到转子顶点是也是极限位置。

由式（6）、式（8）可得：

可知α=90°时，= 0

所以圆弧型渐开线罗茨转子的压力角不能达到90°。38.146°是完全啮合和不完全啮合的临界压力角，当压力角α大于38.146°小于90°时为完全啮合，大于0°小于38.146°时，为不完全啮合。

传统渐开线圆弧型罗茨转子是按照完全啮合设计的，当α为 38.146°时，根据公式（10）得到径距比k为 1.618。1.618为传统渐开线圆弧型罗茨转子的最大径距比。

3 推导与创新

前面推算已知啮合压力角α越小，径距比越大，完全啮合的最大径距比k为1.618，但是根据公式（10）可知，径距比k可以大于1.618，当k大于1.618 时将出现不完全啮合，经过进一步研究，对于不完全啮合可以经过改进实现完全啮合。

如图3 所示为不完全啮合，两叶轮同步转动45°的啮合点为A、A1，A、A1重合。左边叶轮转动从A到E（右边叶轮转动从A1到E1） 为45°，叶轮转动从A到F（右边叶轮转动从A1到F1） 为θ，θ不足 45°。左边叶轮转动从AF啮合在右边叶轮的A1E1上，或者右边叶轮转动A1F1啮合在左边叶轮AE上，由于θ不足45°，A1E1（AE）只有一部分与AF（A1F1）完全啮合，超出AF（A1F1）的部分为不完全啮合。对于不完全啮合部分进行分析，重建啮合曲线。具体如下：内凹圆弧和AF（A1F1）保持不变，进行分析可知AE部分不能啮合部分即是F1点不能与AE重合，重建F1点在左边叶轮上的摆动曲线，代替AE段和顶圆的部分曲线。

图3 不完全啮合图解

如图4 建立坐标系，根据转子啮合角速度一致，那么右边转子绕左边转子转动角度θ，同时自转角度也是θ，相当于右边转子在坐标系中绕O1点转动了2θ。根据这些条件可知，

式（16）、式（17）、式（18）、式（19）中：θ为变量 ；b和θ1为定值，b为线段的长度，θ1为线段与右边转子直角坐标轴的夹角。

图4 曲线推导示意图

F1点的X坐标值如下：

F1点的Y坐标值如下：

建立笛卡尔坐标方程，

式（20）、式（21）中：θ为变量，θ范围 0～（45-θ1）；b和θ1为定值，取值由F1点在右边叶轮的位置决定。

式（20）、式（21）就是左边叶轮与F1点啮合的曲线方程，也就是F1点在左边叶轮上形成的摆动曲线。

根据曲线方程重建转子轮廓，如图5 所示，以1/4 的转子截面为例，左边转子轮廓为KL，右边转子的轮廓为K1L1。

图5 新型罗茨转子轮廓图

KF和HL为相同圆弧线，在转动过程中分别与H1L1和K1F1重合；GH为F1点的摆线，FG为渐开线，与渐开线F1G1啮合，相对应G1H1为点F的摆线，G1H1轮廓与GH相同，FG轮廓与F1G1相同，这样就形成了完全啮合的转子叶型。

新型的转子径距比k大于1.618，由于双转子机构还需要旋转轴支撑，所以理论上径距比k不能达到2，选取1.618 ～2的径距比压力势能转换为转子动能效率比传统转子更高，转子更容易驱动，输出动能驱动联动机械运动机构和阀门机构更容易运转。

4 结论

新型罗茨转子是在传统圆弧型渐开线罗茨转子的基础上发展的，新型罗茨转子能提供更大的径距比，利用新型罗茨转子设计的定量装置，计量精度基本与圆弧渐开线型罗茨转子相同，但是驱动力更大，能很好地带动相关机构运行。罗茨转子作为动力输出目前还是空白，大径距比的罗茨转子将加速其应用。