随机环境中受控分枝过程的极限性质

2020-04-24谭珂陈晔王玉苹

湖南文理学院学报(自然科学版) 2020年1期

谭珂,陈晔,王玉苹

(1.长沙理工大学数学与统计学院,湖南长沙,410114;2.湖南文理学院数理学院,湖南常德,415000)

分枝过程是用来描述种群进化的数学模型,其增长或衰减受概率分布的影响。随机环境中受控分枝过程是经典分枝过程(也称Galton-Waston过程)在理论和应用上一个重要的推广。1984年,Holzheimer[1]首次引入了随机环境中受控分枝模型,并研究了其灭绝概率性质;王洁等[2]证明了随机环境中具有随机控制函数的受控分枝过程是时齐马氏链和随机环境中的马氏链,并对其概率母函数及矩量进行了讨论;方亮等[3]研究了变化环境中带有随机控制函数的受控分枝过程经过正规化后其极限的收敛速率;李应求等[4]讨论了随机环境中受控分枝过程在适当正规化下的收敛性质;李德如等[5]给出了随机环境为平稳遍历的受控分枝过程灭绝的充分条件和过程增长率的一个上界。关于随机环境中受控分枝过程更多的研究结果详见文献[6-9]。本文借鉴文献[10]中研究矩问题的方法,建立了随机环境中受控分枝过程矩的渐进性和调和矩的存在性。

1 模型描述

设(Ω,ℑ,P)为概率空间,(Θ,B)为可测空间,是(Ω,ℑ,P)上取值于(Θ,B)的随机变量序列,和{pi(θ) ：θ∈Θ}是关于i∈N的概率分布列。记Pξ(·)=。设{ϕn(k) ：n,k∈N}是定义在N上的一族随机函数,具有一维概率分布Q(ξn;k,i)=Pξ(ϕn(k) =i),i∈N。

定义1[4]设上取值于N的随机变量序列,是定义在N上的一族随机变量序列,且满足：(i)N+;(iv)给定环境ξ,条件独立;则称{Zn：n∈ N} 是随机环境ξ中受控分枝过程(简记CBPRE)。

在上述模型定义中,Zn+1和Xn,i与经典分枝过程的含义相同,即表示第n+1代粒子总数和第n代第i个粒子产生的后代数;函数φn(·)表示在第n代粒子产生后代的过程中实施控制,如果φn(k) =i,则说明当第n代粒子数为k时,参与下一代后代繁衍的粒子数为i,函数ϕn(·)有效域为正实数,给定环境ξ,Xn,i与Zn相互独立。