孙朝仁

[摘要]在教学辩证法研究范畴，常态数学实验涵盖工具性与概念性的复合特征、命题性与关系性的融合特征、合情性与运演性的统一特征、发展区与元认知的契合特征，通过对常态数学实验教学特征的研究。旨在助推发展人的理性精神和健康素养，终于“带的走课堂”目标的实现，为构建初中数学实验教学支持系统奠定基础，

[关键词]数学实验，教学特征，核心素养，课例研究

近期，笔者观摩了一节数学实验课“做‘菱形”，本节课突出体现了数学实验的常态教学特征，把数学实验放在人的全面发展高度来落地实施，换言之，就是把数学实验课程作为发展健康人的重要载体，不止于传统的“实验科学身份”“辅助理解身份”，更在于“关键能力”背后的“人文情怀”目标的落细落实，就这一理解来说，数学实验影响着未来人的生活质量，支配着“立德树人”根本任务的具体实施，因此，研究数学实验常态教学特征尤为必要，为构建初中数学实验教学的支持系统奠定基础和指明方向，

演绎推理的結论具有“普遍性”，合情推理的结论具有“方向性”，二者在数学实验课程领域的统一就是数学实验的教学常态，在实验教学法研究范畴。“常态实施”意味着教知识的同时，尽可能教方法：教技能的同时，尽可能教思想：既要层级活动经验，更要获得关键能力，终于人的实验感性与实验理性的高度统一，全面发展与健康发展的内部关系一致性，因此，常态数学实验涵盖工具性与概念性的复合特征、命题性与关系性的融合特征、合情性与运演性的统一特征、发展区与元认知的契合特征，终于“带的走课堂”能力目标的实现（见表1），进而助推学生理性思维的发展。

1工具性与概念性复合特征，落实基本知识的获得目标

数学实验的工具性，起于概念的发生，终于概念的理解，终归于概念特征的有序把握和定向使用，在R，斯根普的工具性理解和概念性理解看来，工具性理解就是一种语义理解的替代概念，特指符号A所指代的是什么（像“HL”就是特有的判定直角三角形全等的方法，其中“H”是指直角三角形的一条直角边，而“L”是指直角三角形的一条斜边），或一种程序性理解，即一个规则R包含的每一个步骤是什么，如何操作？在苏科版配备的《义务教育教科书数学实验手册》（共5册：七年级分上下两册、八年级分上下两册、九年级全一册）中，安排的每一个数学实验都包括实验主题、实验目的、实验准备、实验内容与步骤以及实验指南等，这就是一种大尺度的工具性理解范式，而概念性理解则还要添加对符号意义和替代物本身结构上的认识，即从“形”的角度认识“a²-b²=（a+b）（a-b）”就是一个可靠的例子，就数学知识的获得而言，只有从工具性理解到达概念关系的理解，学生才能把握数学对象的本质，进而促进知识技能目标的达成与达成度。

一般来说，“工具性”对于概念的发生与理解有直接的支配作用，“概念性”又具有反哺工具理解的意义作用，只有把工具性理解和概念性理解复合融通，让学生真正拥有“带的走概念”能力。这才是数学实验课程应有的常态教学研究路径，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）在知识技能目标维度，明确指出经历图形与图形关系抽象、运算和建模。掌握图形与几何的基本知识和基本技能，进而获得带有核心素养特征的终身受用的知识与技能，有如概念、规则、公式等，研究者正是基于这样的认识，提出了“知识技能=（工具性+概念性）×过程思维量”这一公式，为此。新时期数学实验在知识技能目标维度需要做好以下调控工作：一是突出工具性，落实概念发生目标：二是突出概念性，实现基本知识获得的过程性目标;三是突出工具性到概念性理解，实现基本技能增长的过程目标，终于实验感性思维及时上升到理性思维，突出数学实验应有的“数学身份”（数学味）特征。

不妨以“做‘菱形”的发生概念‘思维块为引例清样。说明数学实验工具性与概念性理解的复合特征，揭示当前数学实验常态实施的方向与尺度，具体来说，首先是让学生在“思维预热”的环境下，解释菱形的事实性概念和确立菱形的形成条件，其事实性概念是：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，形成菱形的条件：一是四边相等的四边形是菱形：二是对角线垂直的平行四边形是菱形，这就为菱形概念的实验发生就绪了心理经验，其次是让学生任意画出一个菱形，分析画法的过程与过程性思维本质，揭示形成菱形的条件，即是根据定义画图，还是根据判定条件画图，终于在主体、行为和环境之间的思维交往中。获得结论的工具性理解，进而落实知识的获得目标，最后是让学生在展示自己画法体系过程中。进一步感悟概念的概念性理解特征，及时将“画”的感性思维，上升到“说”的理性思维层面，终于概念的工具性到关系性理解的达成，实现了技能生长目标和确立过程思维量并轨的实验方向。

2 命题性与关系性融合特征，发展数学思考的同化目标

在实验逻辑学研究范畴，一个外在的客体在心理逻辑中可以以具体形象、概念或命题等形式表现出来，即“菱形衣架”就是具体形象的一个例子：一组邻边相等的平行四边形就是菱形的概念：四边相等的四边形就是菱形，这就是一个命题，显然，这些形象、概念、或命题都是信息的表征形式，反映客观事物（比如，菱形）的属性，因此，命题或命题性都是一种逻辑关系术语，在认知心理学看来，逻辑是对数学思考的思考。起于条件命题，终于事物的内部关系，一个命题是由一种关系和一组论题（arguments）构成的，换句话说，命题的重建与改组支配着知识的提取质量，逻辑变式是命题转化为产生式（production）系统的通用技术，基于这一认识，在常态数学实验教学背景下，命题性和关系性的相容行为，有助于同化数学思考目标（这里的“同化”是指不改变原有认知结构，直接将原有认知经验应用到本质特征相同的一类事物中去，有如类比数学方法的使用等），提升数学实验感性转化为实验理性水平，终于学术形态的知识转为教育形态的实验目标。

事实上，命题性与关系性相容行为是数学实验变迁“纯感性思维身份”的基本标志，有助于逻辑技能的生长，换句话说，就是让数学实验的功能上升到学理层面，侧重于数学思考目标的大化释放，提升知识获得的质量及其知识背后的逻辑水平，为学生的未来生活奠定思考基础和思维素养，基于这一认识，研究者提出了“逻辑技能=（操作性+关系性）”的公式，在这里，“操作性”可以解释为数学实验的出生身份，“关系性”是现代数学实验的学理目标，“已有经验水平”支配着数学实验的命题性与关系性相容的速度与质量，反映数学实验的逻辑技能层次及其水平，显然，逻辑技能公式的确立，目的就是将数学实验目标由知识本位上升到能力本位，由操作本位上升到价值本位（品格本位），事实上，这也是深化数学实验课程课改、常态实施数学实验教学、落实“立德树人”目标的迫切需要，为此，数学实验在常态教学价值视域下，需要做好三个层面的数学思考工作：一是通过技术操作与具身“做”，感知命题的存在性：二是建立表象关系。揭示概念的本质属性：三是同化已有事实经验，落地数学思考逻辑目标，终于概念逻辑技能产生式形成。

不妨以“‘做菱形”的形成概念‘思维块为研究载体。突出命题性与关系性并轨特征。同化数学实验数学思考的逻辑目标，具体执行流程运演如下：第一是，让学生用两张全等的彩色矩形纸片叠出一个菱形，说明“是菱形”这一命题的“合规则性”，并交流各自的叠法：第二是，让学生用同样规格的彩色矩形纸片叠出面积最小的菱形，展示各自的算理过程及其“是”的真命题属性：第三是，让学生用同样规格的彩色矩形纸片叠出面积最大的菱形，展示各自的算理过程及其逻辑证明过程，“演”“算”是用来证明有效公式和论证（argument）的逻辑系统，就这一认识来说，“具身‘叠菱形”的过程就是感知命题存在的“演”“算”过程，在具体“叠”中，确立菱形面积“最值”（面积最小，即矩形纸片垂直状态下构造的正方形面积最小：面积最大，即矩形纸片对角线重合状态下，构造的菱形面积最大）过程就是建立表象关系行为，而“叠→演→算”逻辑行为则是数学思考目标落地的逻辑表现，终于逻辑技能产生式形成，事实上，“叠出”是一种实验现象，需要经过数学抽象，方能转化为实验研究对象，因此，学习主体的已有经验水平，支配着实验技能层次及其产生式，这就是命题性与关系性融合的最大价值，也是数学实验转向常态教学的关键。

3 合情性与运演性统一特征，落地问题解决的顺应目标

在原型定向研究范畴，数学实验作为常态课程，其上位发展就在于能够将“合情”与“演绎”功能并重，而不仅仅止于传统的“合情发现”作用（合情发现的过程就是定向原型过程，即专家头脑中高度约简的经验），在发展核心素养思维环境下，逻辑推理是高中课程修订组专家提出的6个核心素养的一个成分，可描述为从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推理出一个命题的思维过程，主要涵盖两个方面，一方面是通过归纳、类比得到数学结论或数学发现的合情推理：另一方面是构建数学体系，使得数学具有严谨性的演绎推理，有如从“金字塔”“帆船”“红领巾”“三明治”等实物中抽象、归纳出“三角形概念”这一数学研究对象就是合情性归纳推理，而通过类比“分数”建立“分式”描述性概念的过程就是合情性类比推理的一个例子，进一步来说，通过“拼平角”方式发现“三角形的内角和是180°”就是一种合情性原型定向，而依据“逻辑规则”证明“三角形的内角和是180°”思维过程就是演绎性原型定向，事实上，数学的身份就是“理性精神”，而数学实验的“合情性”往往打上感性色彩的烙印，在发展“关键能力”范畴，数学实验变革势必需要将合情与演绎并重，渲染数学实验的理性色彩，才有助于问题解决目标的实现和进一步顺应原型定向的瞭望目标（提出问题），这里的“顺应”是指概括新旧经验，形成能包容新旧经验的更高一级的认知结构即心理原型，以适应外界变化，一般来说，问题解决是合情与演绎统一的结果，数学实验常态教学的前提就是起于合情，重于演绎，终于顺应，这才有助于形成原型定向产生式。

一般来说，抽象、推理和模型是数学的基本思想，推理支配着数学实验课程的性质，是数学实验的基本思维方式，为此，研究者提出“基本思想：合情性×真伪直觉+运演性×关系逻辑”的公式，目的就是强调真伪直觉决定合情的质量，而关系逻辑支配运演的规范属性，终于数学实验理性发展，在爱因斯坦看来，理论家的工作可分成两步，首先是发现公理（合情推理），其次是从公理推出结论（演绎推理），在《标准（2011年版）》看来，合情推理是从已有的基本事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断出某些结果：演绎推理是从已有的“经验事实”，包括定义、公理、定理等以及确定的规则，包括运算的定义、运算法则、运算顺序等序思维出发，按照逻辑推理的法则证明和计算，在问题解决过程中，合情性用于探索思路，发现结论：演绎性用于证明结论，使得数学具有形式上的逻辑关系，毋容置疑，一般化、形式化、逐级抽象是合情与演绎统一的结果，在真伪直觉的作用下，具有普遍意义，也是今天数学实验课程对于人的思维方式最有价值的影响，为此，在数学实验问题解决范畴，需要做好三个层面的思维工作：一是通过合情归纳，在真伪直觉作用下，落实发现问题目标：二是借助逻辑演绎，在逻辑关系支配下，实现“知其所以然”目标：三是通过“合情性”与“演绎性”的统一，落地提出问题目标，终于问题解决目标的有序实现，

不妨以“‘做菱形”的概念使用“思维块”为研究对象，说明“合情性”与“演绎性”统一的思维方式对于数学实验课程发展的指导意义，以及问题解决能力的促进作用，具体来说，第一步是让学生用一张矩形纸片任意折出一个菱形，比较折法的异同，突出真伪直觉特征（最特殊的是将矩形的宽与长叠合构造正方形：最普遍的是两次对折矩形纸片构造的菱形;还有的是沿对角线翻折构造的菱形，等等）;第二步是让学生通过赋值的方式（比如，矩形纸片的规格可以为“4×8型”），在算理的基础上，比较“通过两次对折”构造的菱形与“沿一条对角线翻折”构造的菱形，哪一个面积更大，并说明理由，突出逻辑关系特征（在算理基础上，可知前者面积是原矩形纸片面积的一半，即是16个平方单位：后者可设折出菱形的边长为x个单位，则由勾股定理可得：x²=（8-x）²+4²，x=5.其面积为20个平方单位，显然，后者面积较大）;第三步是让学生编制类同问题或者在上述活动的基础上，提出一个具有演绎属性的高阶问题，突出原型定向的过程（上述活动中，两次使用对角线构造菱形，哪一个面积大？为什么？）实现顺应迁移概念的能力，落实“经验数学”与“标准数学”之间的思维互动，让学生在使用概念中获得“带的走课堂”的关键能力及其背后的数学品格，

大数学家希尔伯特在《数学问题》演讲中强调，数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系，这就是数学的统一性，有如“基本思想=合情性×真偽直觉+运演性×关系逻辑”的使用，使得数学实验更像数学，其形式与内容在基本思想层面具有高度的统一特征，这才是数学实验常态教学的本质，数学实验作为常态课程。需要将“合情”与“演绎”并重，方能促进原型定向和问题解决，有如上述活动中，如果把“折法比较”看作是合情归纳，那么“面积比较”是一种算子逻辑演绎，则“提出问题”是合情与演绎高度统一的原型定向，促进数学实验功能关系化，进而培养智慧的、严谨的数学人。

另外，在数学实验审美范畴，实现审美素养的层级目标。抑或健康素养的人文情怀，需要基于马斯洛的“审美需要层次论”，方能落地发展区与元认知契合特征，为此，研究者提出“基本经验=（有效知识量+透视本质力）元认知×审美力”这一公式，旨在培养学生的健康素养和数学实验情怀，进一步而言，有效知识量就是“事实经验”的替代概念，透视本质能力就是真伪直觉，元认知就是反观内省抑或监控反思，比如“还有其它的折法吗？”审美力是审美意识、审美需要、审美价值的替代概念，为此，在认知需要、审美需要和自我实现需要高度契合环境下，可以说元认知支配着基本经验的质量和审美速度，有如文指出的那样，“在复杂事物中揭示出极度的简单性（认知需要），在孤立的事物中概括出极度的统一性（审美需要），在无序的事物中发掘出极度的规律性（自我实现需要），”像复杂与简单、孤立与统一、无序与规律本身就是矛盾的对立与统一，即美的实现产物，是未来数学实验的研究方向和发展区，能让学生获得健康素养和人文情怀，终于“立德树人”目标的统一与实现。