柳文清, 陈清婉

(福建师范大学 闽南科技学院,福建 泉州 362300)

近年来,许多学者以Kermack首先提出的传染病数学模型为基础,建立了多种形式的传染病模型, 并取得了大量研究成果.例如,文献[1-3]考虑了空间迁移的传染病扩散模型;文献[4-5]考虑了不同斑块之间相互作用的斑块传染病模型;文献[6-7]考虑了时滞影响的时滞传染病模型;文献[8-9]考虑了随机干扰的随机传染病模型等. 其中对传染病扩散模型的研究十分活跃. 一般的传染病模型中,没有考虑种群空间分布的不均匀性, 这显然不符合实际.为此需要加入扩散项更好地描述传染病模型. 扩散的加入会影响模型的动力学性质, 从而产生许多有意义的结果.

本文将近来Rahman和Zou[10]提出的一个结合疫苗接种和分组的传染病模型加入扩散项, 研究其相关动力学性质. Rahman和Zou提出的模型如下:

(1)

(2)

由比较原理知,存在T2>0,当t>T2时,恒有

记U=(u1,u2,u3,u4),0=(0,0,0,0),M=(M1,M2,M3,M4),G={(u1,u2,u3,u4)|0

1 无病平衡点的稳定性

定义基本再生数

R0=

文献[10]只证明了在没有扩散时系统(1)的全局稳定性,得到了平衡点稳定与否的阈值,即R0<1.本文进一步证明在扩散情形下平衡点的局部渐近稳定性和全局渐近稳定性.

定理1当满足条件R0<1时模型(3)的无病平衡点E0在域G上是局部渐近稳定的.

证明系统(3)在E0处的线性化系统记为Ut=DΔU+FU(E0)U,其中

由此,通过计算可得对应的特征方程:

(λ+d1μi+θ1)(λ+d2μi+θ2)(λ2+κ1μi+κ2)=0,

其中

由R0<1可知

从而k1,k2>0,方程的特征根均有负实部.故E0是局部渐近稳定的.

定理2当满足R1<1时,模型(2)的无病平衡点E0在域G上是全局渐近稳定的.

证明系统(2)的等价系统为

(3)

D+V1(t)=

由定理的条件可知D+V1(t)≤0,集合M0={U∈G|D+V1(t)=0}=E0是系统(5)的最大不变集,由LaSalle不变集原理[13]可知无病平衡点E0在域G上是全局稳定的.

定理3当满足条件R0>1时,模型(3)的无病平衡点E*在域G上是局部渐近稳定的.

证明经过计……