滕尚儒，何成铭，丛 彬

(1.陆军装甲兵学院 装备保障与再制造系，北京 100072；2.陆军装备部信息保障室，北京 100072)

装备维修器材保障是装备保障工作的重要组成部分，其基本职能是保证平时和战时器材供应的不间断[1]。其主要工作内容与任务是快速准确、安全及时、经济高效地对器材进行生产、储存和配送运输，这就涉及到生产和库存计划的制定、运输方式和运输工具的合理选择、配送路径规划的优化等问题。

国内对军事供应链管理的研究起步较晚，器材供需控制方法相对落后，传统的管理方法在制定计划时缺少系统优化思想，导致整个系统运作效率低、费用高，在实践中暴露的问题越来越多，严重制约器材保障的可持续发展。在“军委管总、战区主战、军种主建”新的总体职能设计下[1]，陆军提出：① 围绕推动装备维修器材由单一储备供应模式向厂家直供、联储联供、网络直达、定点供应等多模式供应方式转变，逐步在部队全面开展新装备依托承制单位直达供应保障。② 大力推进军民融合保障，引入顺丰、京东、通达系等国内知名物流企业，研究建立陆军装备维修器材军民融合配送保障体系和基于现代物流体系的全域供应模式。③ 解决部队周转仓库维修器材短缺、积压，以及各级器材资源周转交流不畅等现实问题，为陆军部队装备维修器材的周转配送提供及时、可靠的物流途径。

为系统、科学有效地解决存在的问题，适应陆军提出的转型目标，亟需要应用当前供应链管理中的先进思想和策略，结合我军的器材供应保障规律和特点，运用科学的方法，选择合理的生产方式，确定最佳的库存策略，制定最优的配送计划，力求以最低的生产成本、最小的库存积压、最少的运输时间、最短的运输距离，达到最佳效果，使器材供应的各个过程、各个阶段和各个环节都达到合理优化。

在典型的供应链中，生产、库存和配送属于串行事件。比如，企业的生产管理人员首先要做出生产批量决策来最小化生产和库存成本，之后才能对配送路径进行规划，这样往往会忽略整个系统产生的效益。供应链集成可以有效地解决此类问题，其通过对各个环节进行集成优化，来获取系统中各环节协调产生的额外效益。对生产控制、库存管理和配送路径进行整体优化的组合问题称为生产路径问题(production routing problem，PRP)，装备维修器材供应保障中的生产、库存和配送环节的优化决策是典型的PRP。本文旨在对PRP的研究现状和数学模型进行深入分析。

1 生产-库存-配送集成问题概述

PRP包括两类经典问题：生产直达配送问题(production direct-distribution problem，PDP)和库存路径问题(inventory routing problem，IRP)。其中：PDP决策生产和直达配送计划，以最大限度地减少生产，库存和配送运输总成本[2]，是典型的0-1型决策问题。IRP在给定生产计划后，确定每阶段给用户交货的时间、数量，并通过求解车辆路径问题(vehicle routing problem，VRP)，确定车辆配送的先后顺序，来最小化库存和运输总成本[3]。属于顺序决策。PRP综合了PDP和IRP，如果只考虑直达配送，PRP简化为PDP；如果固定每阶段的生产数量，PRP简化为IRP。由于IRP决策必须依据PDP的决策结果，而PDP决策又必须与IRP决策保持协同，因此PRP的两个子问题是相互关联和相互制约的。本节首先对这三类集成问题进行简要的概述。首先可用图1概略地描述这三类问题。

图1 三类集成问题的网状结构

需要注意的是，供给部门可以是器材生产工厂，产生相应生产启动成本并进行生产决策，也可以是仓库，产生相应的订购成本并进行订购决策。每阶段供给部门可以提供单品种或多品种器材，并将其配送给用户以满足其需求。产品可以存储在工厂和各个用户处，并同时产生相应的库存费用。

1.1 生产直达配送问题

PDP中，工厂采用直达运输的方式将产品交付给用户，目的是在规划周期内最小化生产、生产启动、库存和直达运输总成本。该问题涵盖了生产方面的众多要素，例如生产启动成本和/或启动时间。配送问题中涉及的固定成本和单位运输成本大多由客户的地理位置决定。

目前大多数研究都把运输成本看作一个固定值或复杂的成本函数。Li等[4]在研究该问题时，采用了一个分段线性运输成本函数，供应商可以选择整车直达配送或零担运输这两种交付方式，之后设计了一个动态规划法求解了单品种、单客户问题。Rizk等[5]提出了一种较通用的分段线性运输成本函数，将该集成问题分解为未约束能力的生产批量和时间无关子问题，并采用拉格朗日松弛法来获取下界。针对较普遍的多客户问题，Chand等[6]开发了一个动态规划法，求解了一个订货商允许缺货条件下的问题。Jaruphongsat等[7]采用动态规划法，研究了带时间窗约束的分批交付问题。Lee等[8]研究了单客户、多品种问题。在未约束生产能力和车辆容量的情况下，PDP也被称为单仓多零售商问题究了单客户多品种问题。在不带生产能力和车辆容量约束的情况下，直达配送问题也被称为单仓多零售商问题(one-warehouse and multi-retailer problem，OWMR)。Federgruen等[9]开发了一个时间分割启发式算法，求解了多品种OWMR。Solyal等[10]提出了一个基于组合运输和最短路径模型的强公式，求解了单品种OWMR。Melo等[11]探讨了若干公式，并提出了混合启发式算法，较好的求解了带生产能力和车辆容量约束的PDP。

1.2 库存路径问题

IRP中，生产计划已提前确定，其本质上是库存控制和配送路径规划的集成优化问题。其研究目标是为了确定对各需求点补充库存的数量和时间以及车辆的行驶路径，在规划周期内满足一定的约束条件，并使系统总运行费用极小或总收益最大。在IRP的决策变量中虽然也涉及到车辆路径规划，但是IRP与常见的VRP有很大的不同。VRP是如何安排车辆及其行驶路线，使由多辆车将货物从一个或多个仓库送到多个地理上分散的客户的总配送费用最小的NP完全问题，而IRP是一类研究如何更好地协调库存成本和运输成本两个具有“背反效益”的因素之间的关系，从而使得整个物流系统获得最大经济效益的NP-难题(非确定多项式，全称nonedeterministic polynomial)。

Bell等[12]在研究一个天然气运输问题时首次提出了IRP，并采用拉格朗日松弛法将该问题分解到每个时间段和每辆车上来进行求解。Carter等[13]将IRP分解成一个分配问题(allocation problems，AP)和一个VRP，并开发了一个高效的启发式算法进行求解。由于IRP是一个复杂的组合优化问题，现有的研究很少采用精确算法对其进行求解，只有Archetti等[14]运用过分支切割法来求解一个带车辆容量约束的IRP。大多数研究都采用启发式算法求解IRP，比如贪婪随机适应性搜索算法(greedy random adaptive search procedure，GRASP)[15]，文化基因算法[16]，禁忌搜索算法[17]，自适应大规模邻域搜索算法(adaptive large-scale neighborhood search algorithm，ALNS))[18-19]。

1.3 生产路径问题

上述的两个集成问题中，PDP没有考虑路径规划，IRP忽略了生产的因素。而在PRP中，生产厂家必须在规划周期内决策是否生产某品种产品并确定相应的生产量。一旦确定要生产，便会产生固定的生产启动成本和单位产品生产成本，且生产批量不能超出工厂的额定生产能力。一组具有额定容量的车辆将产品从工厂配送至每个客户，并产生相应的运输费用。如产品在工厂或者客户处储存，则会产生相应的单位库存持有成本。

经典PRP中存在着诸多需要优化决策的问题：(1)工厂生产多少；(2)给每个客户交付多少；(3)工厂和每个客户各需持有多少库存；(4)如何选则运输路径。各种研究和实践表明，实施PRP可以强化系统的同步，降低产品成本，提高服务水平。Chandra和Fisher[20]指出，集成优化生产、库存和运输路径可将总运营成本降低3%～20%。

现有文献主要根据以下特征对PRP进行分类：(1)单工厂或多工厂；(2)单品种或多品种；(3)带/不带生产能力和/或库存能力约束。针对单工厂、单品种和带能力约束的经典PRP，相关模型和求解算法的研究都已有大量极具参考意义的成果[21-31]。在对多品种PRP的研究方面，部分研究对单工厂、多品种PRP进行了剖析[32-37]。由于该问题的复杂性，现有研究很少采用精确算法来计算下界。Fumero和Vercellis[38]，Solyal等[39]基于多商品流公式，运用拉格朗日松弛法来获取下界。Ruokokoski等[40]和Archetti等[41]利用分支切割法求解PRP。Ruokokoski等[40]研究了无生产能力和容量约束的单车辆PRP，并对涉及的生产批量模型进行了深入分析。Archetti等[41]针对无生产能力约束和带容量约束的单车辆PRP，提出了几种有效不等式。Adulyasak等[42]研究了多车辆的PRP，并基于不同的优化模型提出了两种分支切割法，较好地求解该问题。表1给出了PRP研究的代表性文献，可以看出，只有小部分研究不考虑生产能力和库存容量约束。

表1 生产路径问题代表性研究文献

续表(表1)

注：H：heuristics，启发式算法；E：exact，精确算法；L：approach to compute lower bound，计算下界的方法；GRASP：greedy random adaptive search procedure,贪婪随机适应性搜索算法；ALNS：adaptive large-scale neighborhood search algorithm,自适应大规模邻域搜索算法；MIP：mixed integer programming,混合整数规划

现有的关于PRP的研究通常假设工厂内部生产始终能满足用户需求，但在实际运行过程中，考虑到有限的产量、紧急事件和用户需求的不确定性，单靠内部生产往往不能及时满足用户需求。为解决该问题，一些研究采用了允许销售损失或延期交货的策略[33,43]，也起到了一些效果。然而对用户而言，及时可靠的交货才是衡量企业业绩的重要指标。

外包是弥补上述缺陷的重要策略，本文对其定义如下：外包是从外部公司获得半成品、成品或服务以及时满足用户需求的行为。Chu[44]，Gilley和Rasheed[45]总结了外包对企业的潜在好处，例如能够改善财务业绩，快速响应市场变化和增强企业的核心竞争力。外包策略在供应链系统规划中已得到广泛应用，Lee等[46]在研究生产计划与排程(advanced planning and scheduling，APS)问题时考虑了外包。Chu等[43]研究了允许缺货和带外包条件下约束生产能力的单品种动态生产批量问题(lot-sizing problem，LSP)。文献[47]针对允许缺货或带外包的单品种LSP，并开发了一个多项式算法。Lee和Lan[48]构建了一个随机需求下带辅助设施的扩展经济生产批量模型。Haoues等[49]研究了由一个制造商、一个零售商和多个外包商构成的两级供应链网络。在对PRP进行优化时考虑外包，能够使企业进一步降低系统成本并提高服务水平。

经典PRP在过去的几十年里虽然引起了广泛关注，但现有的大多数关于PRP的研究都集中在一般的企业供应链问题上，而没有捕获到某些特殊行业的重要特征，特别是装备维修器材供应链，此方面尚未被研究过。

装备维修器材供应链，是指以装备保障系统(器材维修保障部分)为核心，依托信息系统，将装备维修器材供应商和部队用户联接成一个整体的功能网链结构[50]。装备维修器材供应链涉及军队与地方两个领域，关系到部队需求的满足情况、地方物流的经济利益以及军队物流系统的运行效率。国家物流资源总量是一定的，如果对于军事物流投入过多，不仅会影响地方物流的建设，而且容易使军事物流资源闲置，造成严重浪费。但在特殊时期需要大规模动用军事力量时，又需要地方物流系统的大力支持才能完成任务。这就必须实现军地物流各方面的紧密衔接。因此，必须综合考虑各方面情况，从而实现军事效益、经济效益和社会效益的有机统一[51]。

2 问题描述及模型构建

装备维修器材PRP的优化决策涉及到时间性、经济性、可靠性等诸多目标，这种多目标、多约束、多要求、动态性等特点，使得传统生产路径优化方法和模型的应用受到很大限制[52]。因此，充分考虑军事这一特殊背景，本文构建了一种适用于军事要求的生产路径优化模型，该模型包括一个装备维修器材生产工厂和一组部队用户，该工厂负责在规划周期内生产多品种的装备维修器材并配送给各部队用户，以满足其战备需求。

2.1 问题描述和符号说明

带外包的装备维修器材PRP包括对生产计划，库存计划，运输路径和外包问题进行优化决策，在满足各作战单元需求的前提下，最小化生产，库存，运输和外包总成本。每阶段都存在诸多需要优化决策的问题：(1)工厂生产多少；(2)给每个作战单元交付多少；(3)工厂和每个作战单元各需持有多少库存；(4)如何确定最佳运输路径；(5)需外包给第三方配送的器材量。本文中，器材的单位外包成本由第三方公司与军队装备管理部门协商制定。

模型基本假设如下：(1)车辆从工厂出发，完成配送任务后返回工厂；(2)每阶段每辆车至多配送一次；(3)每阶段每个部队用户仅由一辆车服务一次。

2.2 模型构建

根据线性目标规划模型的构造思路，可建立如下的混合整数线性规划模型:

目标函数：

(1)

约束条件：

(2)

(3)

(4)

qpt≤Cwpt,∀p∈P,t∈T

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

qpt≥0,∀p∈P,t∈T

(14)

(15)

(16)

(17)

wpt∈{0,1}, ∀p∈P,t∈T

(18)

(19)

(20)

其中，目标函数(1)表示最小化生产、外包、库存和运输总成本；约束式(2)、(3)确保工厂和部队用户之间的库存守恒；式(4)确保工厂每阶段的生产量不超过工厂最大生产能力；式(5)表示没有生产计划时，生产的器材量为0；式(6)限制了部队用户的最大库存；式(7)确保车辆在配送过程中的实际载货量不超过其最大允许装载量；式(8)表示只有节点被访问时才允许车辆交付器材；式(9)表示不允许分批次向部队用户交付器材；式(10)表示车流量守恒，即车辆到达一个节点完成服务后必须离开这个节点；式(11)表示对于任意部队用户，只有两个部队用户与其相连；式(12)确保每辆车每阶段至多配送一次；式(13)消除了子回环，表示没有任何子回路解产生，图2描述了该约束条件如何消除子回路；式(14)～(20)界定了决策变量的范围。

图2 子回路消除示意图

3 研究展望

尽管诸多学者对PRP的优化模型和算法进行了深入研究，提出了多种有效的方法对其进行求解，但随着问题的深入，装备维修器材PRP研究仍具有进一步的研究空间，主要体现在以下两个方面：

一是现代战争对装备维修器材供应链的时效性要求很高。由于各部队用户需求差异化的不断增加，不是每一个用户都能随时接受服务，一般都会有一个可服务时间间隔。因此可服务的时间窗约束也是一个常见的需求，器材的配送可能会受到更严格的交货时间窗口的影响。

二是在装备维修器材供应链中，决策者不应该只考虑降低成本，部队的满意度也很重要，这直接决定了供应链系统的优劣。因此，在装备维修器材PRP中，决策者需要解决一个双目标优化问题。据本文研究所知，对包括总费用和满意度的双目标装备维修器材PRP的优化决策研究还是空白。

4 结论

本文系统总结与分析了生产路径问题的相关内容，对与其相关的生产直达配送问题和库存路径问题进行了概述。生产路径问题的优化模型结构复杂，大多数学者采用了基于分解的启发式算法和元启发式算法对其进行求解，只有少数采用了精确算法。本文从典型PRP出发，探讨了带外包的装备维修器材PRP优化模型，对其涉及的参数、变量和约束进行了深入分析，并提出了进一步的研究设想，为装备维修器材供应链管理提供参考。