胡敬安 魏冬梅

(山东师范大学物理与电子科学学院，山东 济南 250014)

0 引 言

佩利-维纳准则指出平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数是1对傅立叶变换，一般涉及随机过程的教材或书籍通常都会介绍佩利-维纳准则，有的直接给出结论[1-3]，也有很多教材会同时给出该结论的推导过程以帮助理解[4-8]．但很少有文献介绍非平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数的关系，文献[9-10]也仅仅介绍了一类特殊的非平稳随机过程：循环平稳随机过程的功率谱与自相关的关系．循环平稳随机过程的自相关函数R(t,t+τ)对时间(t)具有周期性，将其在1个周期内对t进行平均即可蜕变为一元函数R(τ)，然后取傅立叶变换即为循环平稳随机过程功率谱，即

(1)

式中F表示求傅立叶变换，Pξ(f)为随机过程的功率谱密度，T0为自相关函数R(t,t+τ)对t的周期．文献[9-10]只是给出了结论，没有导出过程，这可能令初学者感到困惑．鉴于此，本文将对非平稳随机过程的功率谱与自相关函数的关系进行推导．

1 结论的导出

随机过程的功率谱密度定义为所有样本函数的功率谱密度的统计平均．记随机过程为ξ(t)，其功率谱密度为Pξ(f)，则

(2)

其中ΞT(f)为截取过程

的傅立叶变换．式(2)中|(ΞT(f)|2可表示为

将其变为二重积分可得

(3)

式(3)的积分区域Dt1t2如图1所示．

图1 积分区域Dt1t2

记t1=t，令t2-t1=τ，则式(3)积分变为

其中积分区域(Dtτ)如图2所示．于是

将其带入式(2)可以得到

(4)

由式(4)可以看出，随机过程的功率谱为其自相关函数的二重广义积分．

图2 积分区域Dtτ

现将图2中Dtτ以……