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精雕细琢 精益求精

2020-04-14王国俊

初中生世界·七年级 2020年2期
关键词:平行线多边形内角

王国俊

在“平面图形的认识(一)”中,我们已經学习了平行和垂直这两种位置关系,会进行简单的推理。本章是“平面图形的认识(一)”的延续和提高。直线平行的条件和性质,图形的平移,三角形三边关系,多边形的内角和、外角和是初中几何的重要内容,有条理地表达和思考是规范证明的关键。在学习本章的过程中,希望同学们能注意以下几点。

一、提炼基本图形。提高解题效率

我们在进行有关几何图形的证明与计算时,往往会遇到形状类似、能得出某个固定结论、出现频率较高的图形。对于这些图形,我们要注意归纳、提炼,并能熟练运用。本章中与三角形内角和有关的基本图形有:

1.“8字”型。

如图1,线段AD、BC相交于点O,我们把类似图1的图形称为“8字”型。根据三角形的内角和是180°,且∠AOB=∠COD,不难得出∠A+∠B=∠C+∠D。

2.“飞镖”型。

如图2-①,我们把它称为“飞镖”型。通过作射线AO,如图2-②,可得∠1=∠3+∠B,∠2=∠4+∠C,所以∠1+∠2=∠3+∠B+∠4+∠C,即∠BOC=∠BAC+∠B+∠C。

例1 图3-①是我们非常熟悉的五角星图案。你知道五角星的五个角的度数之和是多少吗?

【分析】本题的解题方法较多,我们可以借助上面的基本图形解决。连接CD,如图3-②,借助“8字”型基本图形,∠B+∠E=∠1+∠2,则五角星五个角的和就等于∠A+∠ADF+∠ACF+∠1+∠2,即转化成△ACD的内角和。

本题其实也可以借助“飞镖”型基本图形解决。如图3-③,则∠CFD=∠A+∠C+∠D。由∠CFD=∠BFE,可得∠BFE=∠A+∠C+∠D。那么五个角的和即为∠B+∠E+∠BFE,转化成了ABFE的内角和。

例2 如图4-①是一个六角星的图案,AD、BE相交于点O,其中∠BOD=75°,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。

【分析】本题看似复杂,但仔细观察,图4-①其实可以看成是由图4-②和图4-③两个“飞镖”型基本图形组合而成,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOD+∠AOE。而∠BOD和∠AOE是一组对顶角,结合已知条件∠BOD=75°,则要求的六个角的和为75°+75°=150°,问题得以轻松解决。

本章虽然涉及的图形较多,但较多复杂的图形往往都是由一些基本图形组合而成的。因此提炼基本图形,把不同背景下的问题化归到同一模型中,则能化难为易,化繁为简,提高解题效率。

二、归纳解题策略。触类旁通

例3 如图5-①,直线AB∥直线CD,EFGHI为其中一条折线,求∠AEF+∠EFG+∠FGH+∠GHI+∠HIC的度数。

【分析】本题涉及的角较多,而条件只有一组平行线,结合平行线的性质,可以考虑过其中的点F、G、H分别作AB的平行线。如图5-②,将∠EFG、∠FGH、∠GHI分成∠EFF′、∠F′FG、∠FGG′、∠G′GH、∠GHH′、∠H′HI六个角。那么∠AEF+∠EFG+∠FGH+∠GHI+∠HIC可以看成是四组同旁内角的和。

平行线间的拐点问题,可以通过过拐点作平行线,转化成平行线间的角问题,利用平行线的性质解决。同学们在平时的学习过程中,要注重对一些解题技巧的归纳,通过解决一道题,学会解一类题。

三、注重一题多解训练,提高思维灵活性

例4 如图6-①,AB∥CD,AO与CO相交于点O。试猜想∠1、∠2、∠AOC之间的关系,并说明理由。

【分析】根据例3的解题方法,本题可以考虑过点O作AB的平行线,如图6-②,把∠AOC分成∠3和∠4,通过两组内错角解决三个角之间的关系;也可以考虑连接AC,得到一组同旁内角∠BAC、∠ACD,如图6-③,则(∠1+∠3)+(∠2+∠4)=180°,又∠3+∠4+∠AOC=180°,可得∠AOC=∠1+∠2;或者延长AO交DC于E,如图6-④,通过△COE的外角AAOC=∠2+∠3和一组内错角∠1=∠3,可得∠AOC=∠1+∠2。

同学们还可尝试过点O向右侧作AB的平行线,或延长CO与AB相交,亦可解决问题。

通过不同的解题方法体会平行的作用,可开拓思路,提高思维的灵活性,有利于创新意识的培养和数学能力的提升。因此,同学们在学习过程中切不可满足于掌握一种解题方法,应尝试多种方法,学会比较各方法的优劣,提升数学思维的敏捷性。

四、掌握数学思想,提升数学素养

本章内容涉及较多的数学思想方法,同学们需认真体会,内化于心。

如探究直线平行的条件时,通过角度(数)的变化观察两直线位置关系(形)的变化,这是数与形的结合;在探究多边形的内角和的过程中,我们尝试了不同的方法,如在多边形内取一点,或在多边形的边上取一点,或过其中的一个顶点分别连接其他顶点(如图7),把多边形的内角和问题转化成若干三角形的内角和的问题,这是化未知为已知。

在解决问题的过程中,当已知条件不确定时,我们还需要分类讨论。如当一个角的两边平行于另一个角的两边时,这两个角的关系是相等或互补。又如一个正方形剪去一个角后,求剩余部分的多边形的内角和,剩余部分既可能是三角形,也可能是四边形或五边形(如图8)。再如平面内有六条直线,其中任何三条直线都不共点,要求画出图形说明交点的个数问题,可以从平行线的角度考虑,先考虑六条直线都平行,再考虑五条、四条、三条、两条直线平行,最后考虑都不平行的情况。从特殊到一般,这是解决问题的常用方法,其中也渗透了分类讨论的思想。此外,同学们还要注意归纳。

数学思想方法是数学最本质、最具价值的内容,是数学知识的“灵魂”。因此,同学们在学习数学的过程中,既要掌握数学知识,又要重视数学思想方法的学习,从而有效地提升自身的数学素养。

本章既是规范证明的开端,也体现出数学思维能力的一个飞跃。在学习本章的过程中,我们不能忽视基础知识的学习,要抓住重点,精雕细琢,注重数学思维能力的提升;要注重归纳,精益求精,灵活运用所学知识解决问题。

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