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浅析反例在数学教学中的功效

2020-04-12陈柯

理科爱好者(教育教学版) 2020年5期
关键词:反例数学教学

【摘 要】所谓反例,是指符合命題的题设,但不符合命题结论的例子,举反例是说明一个命题为假命题的常用方法。反例具有简明、直观、说服力强等特点,在数学定理(公理)、概念的教学中具有重要作用。

【关键词】反例;反面思考;数学教学

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437(2020)28-0166-03

要证明一个命题是真命题,必须经过严密的推理、论证,而要说明一个命题为假命题,并不一定要严密地推理、论证,只需设法举出一个与结论矛盾,但符合题设的例子即可,这个例子即为反例,在数学教学中经常使用。

适当地运用反例,引导学生突破思维惯性,从反面思考问题、研究问题,有助于学生数学素养的提高,也能使数学定理(公理)、概念的教学收获奇效,帮助学生更好地辨别、理解一些看上去差不多,但实质上内容却大相径庭的定理(公理)、概念。

1   直接给出反例,让学生判断

1.1  通过反例巩固概念

在讲解某些概念时,为了让学生进一步理解,教师可以举出一些反例,让学生判断是否符合所学概念。

一元二次方程必须同时满足以下三个条件:①整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2。为了让学生正确理解这个概念,教师可给出一些方程,让学生判断它们是否为一元二次方程。若不是,则说明理由。

对比一元二次方程的概念,方程(2)(4)(5)显然不是一元二次方程,因为方程(2)(5)的左边都是分式,而非整式,方程(4)含有两个未知数,这些都与一元二次方程的概念不符。可能有不少学生认为方程(1)(3)是一元二次方程,这时可提示学生将方程(3)去括号、整理,让学生发现整理后方程(3)实质上为一元一次方程,从而使学生认识到判断一个方程不仅要看表面形式,更要看深层次的本质(化简后的形式)。这样,当教师结合这5个方程的判断,特别是其中的反例,再次具体分析一元二次方程的3个条件时,学生就会更深刻地理解一元二次方程的概念。

1.2  通过反例预防学生犯错

学生在做作业或练习时,或多或少都会因为各种原因出错。对此,教师在课前应该有所预见,在讲解时,把学生错误的解法作为反例呈现出来,让学生自己找出反例中的错误,从而加深学生的印象。

如解一元一次不等式时,学生易犯的错误有去分母时漏乘常数项;去分母时,对于分数线上的项漏添括号;系数化为1时,当两边除以的是负系数时,不等号的方向没有改变等。基于这些常见错误,教师在讲授新课时,可举如下反例,让学生找出解法中的错误。

解:将原式去分母得,

去括号得,

移项得,

合并同类项得,

系数化为1得。

学生经过仔细观察,可以发现其中的各种错误:去分母时,常数项“2”未乘“6”;去分母时,忘记将分数线上的“4x-1”视为一个整体,添上括号;系数化为1时,不等式两边同除以“-6”,不等号的方向没有改变。

这个反例几乎集中了学生解一元一次不等式时常犯的所有错误。让学生找出这个反例中的错误,可以有效加深学生对不等式性质的理解。然后再让学生练习,效果可能会更好。教材中的例题往往都是正例,用来告诉学生怎样规范解题,但必要的反例也是需要的。正确利用反例,有助于学生预防解题错误,更深层次地认识错误,巩固正确的解题思路。

2   直接提出问题,让学生寻找反例

2.1  通过反例加强学生对概念的理解

在数学学习中,学生常常会碰到一些不易理解和掌握的数学概念,往往容易混淆或记不住。对此,教师既需要让学生记住引入概念的正例,也需要让学生记住引入概念的反例,从不同的角度加深学生对概念的理解。

学习单项式的概念时,教师可通过列出的代数式,引出单项式的概念“只含数或字母的积的式子叫做单项式,单独一个数或字母也是单项式”。单项式的概念相对抽象,不少学生在学习后还难以理解。教师可以适时引出正例和反例来对概念加以诠释。

如提问:“是单项式吗?”“是单项式吗?”

显然,表示两个字母的商,违背了单项式的概念中“积”的要求,当然不是单项式;而虽然与形式上类似,也表示两个字母的商,但是中的为圆周率,是常量字母,所以可理解为常数与的积,因此,是单项式。

通过以上单项式概念的一正一反两例的列举,教师可以使学生从正反两方面理解单项式的概念,化抽象为具体,加深学生对单项式概念的理解,从而使学生在后面学习分式时不会与单项式混淆。

2.2  通过反例加强学生对定理(公理)的理解

在数学学习中,对于一些不易理解和掌握的定理(公理),尽管教师反复强调,部分学生还是会混淆或用错。如果教师在讲解过程中能适当地举一些反例,加强学生对这一定理(公理)的理解、记忆,也许会得到较好的教学效果。

在讲解全等三角形的判定方法时,其中一种方法是“有两边及其它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)”,这里必须强调这个角为这两条边的夹角。因此,教师可以提问学生:“有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形一定全等吗?”由于和教材中的定理不一致,大部分学生肯定会回答“不一定”,这时教师可继续追问:“能举出一个反例来说明吗?”看到不少学生在冥思苦想,教师继续提示:“可以画图来加以说明。”课堂上不少学生都表现出浓厚的学习兴趣,都在画图尝试。最后,师生一起总结、归纳出相应的反例。

列举如下。

如下(1)如图1,画一钝角三角形,以点为圆心,以长为半径画弧,交的延长线于点,连

接。则在与中,满足两边和其中一

边的对角对应相等(,,),但与显然不全等。

(2)如图2,在等腰梯形中,,连接。则在与中,满足两边和其中一边的对角对应相等(,,),但与显然不全等。

通过上述反例,学生能清楚地认识到在运用“SAS”这一判定方法时,必须是“两边夹一角对应等”,而不能是“SSA”,并知道上述反例可以说明“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”是假命题。这样的反例加深了学生对知识的印象,有利于其牢固掌握“SAS”,使其在后面学习相似三角形的判定方法之一“两边及其夹角法”时不会混淆。

3   通过反例说明一个命题为假命题

要说明一个命题为假命题,可以从正面直接证明,也可以举一个反例来推翻它。在初中数学中,更多的是让学生用举反例的方法来解决一些判断题。

在讲解圆的“垂径定理”时,教师在讲完“垂直于弦的直径平分弦,且平分这条弦所对的两条弧”后,可引出一个判断题“平分弦的直径垂直于弦,且平分弦所对的两条弧”,让学生判断该判断题的正误。在不少学生都面露难色,找不出反例,或無法证明,只能猜测说“对的吧”时,教师可适时提示:“假如平分的弦为直径,这句话还正确吗?”有的学生在尝试画图后,画出了反例图形“圆中的两条直径相交于圆心”,由此说明之前的判断题是错的。接着,教师再追问:“刚才那个判断题怎么修改,使之成为真命题?”基础稍好的学生会在得出结论的基础上,回答出垂径定理的推论“平分不是直径的弦的直径垂直于弦,且平分弦所对的两条弧”。

有了刚才的反例教学,学生能更透彻地认知垂径定理的推论,理解推论中所强调的“非直径的弦”。所以,在平时的教学中,应鼓励学生突破思维惯性,引导学生从反面去思考问题、研究问题,寻找合适的反例,从而加深其对一些较难理解的概念、定理(公理)的理解、记忆。

综上所述,反例教学在数学教学中有重要的作用,已成为数学课堂教学中的亮点之一,举反例有利于纠正错误结论,澄清模糊概念,培养学生缜密思考的能力。教师在平时的教学中,应注意将正、反例有机结合,适当地构造反例,合理地运用反例,有意识地引导学生思考反例。只有这样才能使反例教学成为课堂教学的“催化剂”,增强学生对错误的“免疫力”,让学生在“误中悟”;增强学生对定理(公理)内容及概念的理解,使学生不断地完善自己的数学知识体系,提高分析、解决问题的能力。笔者相信,如果反例能被教师熟练并恰当地应用于课堂教学,那么数学课堂将不再枯燥无味,将会更加精彩。

【参考文献】

[1]张桢霞.浅谈反例在中学数学教学中的作用[J].新课程研究(基础教育),2010(12).

[2]李强.浅谈反例在初中数学教学中的功能[J].数学学习与研究,2015(3).

[3]宗翠花.利用反例提升数学学习效果[J].中学生数理化,2020(Z1).

【作者简介】

陈柯(1980~),男,江苏南通人,本科,中学二级教师。研究方向:初中数学教学。

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