樊彪

【摘 要】高中数学教材是立足于高中生的学习特点，从知识体系的安排、教材结构的设置等方面综合考虑编写的。既具有完备的知识体系，又具有权威性的教材是教师进行数学教学的主要依据，也是学生学习数学基础知识的重要来源。其中，课本上的例题和習题是经过编者精心设计、反复论证的，既是合理运用知识解题的经典，也是思维训练的模板，还蕴含着基本的解题思想和方法，具有很高的教学价值。对此，本文基于变式教学思想探讨裂项求和的发生、发展，以及形成完整认知的过程，以期使学生不断研究、探索，进而掌握知识的本质属性。

【关键词】变式教学;教学思想;裂项求和

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2020）28-0099-02

例题、习题是教学活动的重要部分，在教学中起到画龙点睛的作用，能否处理好例题在很大程度上关系到知识教学是否落实到位。学生只有吃透课本上的例题、习题，才能全面、系统地掌握数学基础知识和基本方法，以不变应万变。本文尝试从教材中的一个例题出发探讨裂项求和[1]。

1   原题再现

人教版必修五P47B组第4题：

数列的前项和，研究一下，能否找到求的一个公式，你能对这个问题做一些推广吗？

分析：学生之前有类似的经历和认知基础。

引导学生分析通项容易得到

，

所以

经过讨论，学生容易得出通项公式为的前项和的问题。在此基础上，引导学生思考这类求和的特点，以及为什么要裂项，然后举出更多具体的例子。经过交流讨论，学生可以举出一些类似下面的能裂项求和的通项公式。

师：你能总结出上面的通项公式具备怎样的规律吗？能用统一的式子表示出来吗？

生：分母是等差数列的相邻项的乘积，分子是等差数列相邻两项之差的倍数。

师：能用统一的式子表示吗？（注：回答这个问题有些难度，因此要引导学生认真分析相关例子的裂项特征，从而得到统一模型，

这样有利于让学生理解裂项的本质属性，理解裂项的原理和思想，而不是死记硬背，只停留在记住裂项的外在形式。此外，可以进一步给出几个变式练习。

2   变式探究

变式1 已知，求数列的前项和。

目的：此题的分母由一次等差数列模型换成了指数型，且分子不是常数。

裂项方式：

变式2 已知，求数列的前项和。

目的：此题的分子不是两项相乘，而是三项相乘。

裂项方式：

变式3 已知，求数列的前项和。

目的：此题的分母的函数类型为混合型，既有一次型又有指数型，且分子不是常数。

裂项方式：

×

通过以上三个变式，让学生体会到三个变式虽然外在形式上有所不同，但本质上都是通过将分母化为两项相乘，分子化为两项之差的倍数关系，从而实现裂项，进一步通过相消达到求和的目的。其不仅仅是停留在只能解决分母为等差相乘，分子为常数的初级阶段，还能抽象出通项能否写成（其中为常数）的形式，以培养学生数学抽象的核心素养[2]。

在上述变式题的基础上，进一步给出下列变式。

变式4 已知，求数列的前项和。

目的：利用对数的运算性质，把通项写成差的形式，从而实现相消求和。

裂项方式：

变式5 已知，求数列的前项和。

目的：利用平分差公式，把通项写成差的形式，从而实现相消求和。

裂项方式：

变式6 已知，求数列的前项和。

目的：利用分数的运算性质，把通项写成差的形式，从而实现相消求和，此外，本题还涉及奇偶的讨论。

裂项方式：

变式7 已知，求数列的前项和。

目的：利用待定系数法，把通项写成差的形式，从而实现相消求和。本题还可以扩展出求形如的前项和，其中为等差数列，为等比数列。

裂项方式：

总结归纳：引导学生归纳以上变式的共同特征，利用各种办法（如运算性质）看通项公式能否写成一个差的形式（差的形式还不一定能相消求和），然后实现正负相消求和的目的.

新课程标准强调，学生是数学学习的主人，动手体验和实践发现是学生学习数学知识及培养数学能力的最佳途径之一，而变式教学是符合数学课程理念和目标的一种教学方式。它符合学生的认知规律，强调以学生已有的知识经验为基础，层层递进，为学生提供一个思异、求变的平台，让学生能够在这个平台上充分运用所学数学知识，从而提高学生的思维活动品质，有效促进学生对数学知识的理解，提高学生的数学素养。变式教学，就是教师在课堂上通过变式展示知识发生、发展、形成完整认知的过程，以问题为载体，不断改变原来例题、习题的某些条件或结论，改变问题的情境或呈现形式，使之成为一个新题，从而促使学生不断研究、探索，掌握知识的本质属性。变式教学注重知识间的联系与实现方法的渗透，能培养学生的发散思维和灵活运用知识解决数学问题的能力。

【参考文献】

[1]邓汉家.对数裂裂项求和的归纳的思考[J].语数外学习：数学教育，2013（2）.

[2]王志伟.高考热点——裂项求和与错位相减求和评析[J]. 中学生数理化（高二数学），2017（10）.