【摘 要】很多学生都知道感应电动势的大小与磁通量的变化率成正比，但却经常认识不到其与线圈电阻的关系，导致对一些电磁感应现象的理解不到位。本文从自感电动势与线圈电阻的关系入手，深入分析自感现象，并辨析自感电动势的三个公式，强调大学电磁学理论知识对高中物理教学的指导意义。

【关键词】电磁感应;自感电动势;磁通量;线圈电阻;自感系数

【中图分类号】G633.7  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2020）28-0091-02

高中物理教材在电磁学方面由于数学知识、篇幅限制等原因编写得比较简洁，所以相当多的师生对这方面的研究不够深入，对电磁感应现象的本质不太了解，导致对一些电磁感应现象及试题的理解不够准确。如下面两个问题。

例1 断电自感现象中（如图1）线圈的自感系数L越大，断电瞬间自感电动势是不是越大？

例2 断电自感现象中线圈的匝数n越大，断电瞬间自感电动势是不是越大？

对于以上问题，不管是学生还是教师都可能出现理解或解答错误。错误的原因是不能正确选择运用自感电动势的三个公式，而不会运用的原因就是对电磁感应的本质认识不够。下面再看一道出错率很高的典型

例题。

例3 当线圈中的磁通量发生变化时，下列结论正确的是（   ）

A.线圈中一定有感应电动势

B.线圈中一定有感应电流

C.线圈中感应电动势的大小跟线圈的电阻有关

D.线圈中感应电流的大小跟线圈回路的电阻有关

答案是A、D，但对于选项C，很多解析认为感应电动势的大小只与磁通量的变化率成正比，而与线圈的电阻无关，这其实并不准确。

1   电磁感应现象中自感电动势的三个公式

自感属于电磁感应现象中的一种，当然也要符合电磁感应的规律，第一个公式就是电磁感应普遍公式eL= n，表明的是感应电动势与线圈匝数成正比，与穿过回路的磁通量的变化率成正比，也适用于自感电动势;第二个公式是专门对于自感现象，即由于线圈自身电流变化引起的电磁感应现象，其自感电动势公式为：eL=-L，

即自感电动势与自感系数成正比，与电流的变化率成正比，其中L跟线圈的长短、粗细以及有无铁芯（插入铁芯会使自感系数大大增加）等有关;第三个公式是根据闭合电路欧姆定律关系得到的自感电动势可表示为：eL=i（R+RL），其中eL为线圈的自感电动势，i为灯泡和线圈回路中的电流，R为灯泡的电阻（本文中R保持不变），RL为线圈的直流电阻。这三个公式高中阶段都有学过[1]。

2   选用公式解释相关困难

先看例1：“断电自感现象中（如图1）线圈的自感系数L越大，断电瞬间自感电动势是不是越大？”（注意本题只问“断电瞬间”）大多数师生认为第一个公式不太方便解释，一般也没想用第三个公式，基本都会用第二个公式eL=-L解释，认为L越大，断电瞬间自感电动势就越大。实际上要具体分析，如只通过在线圈中插入铁芯来增大自感系数L（插入铁芯L将大大增加）时，断电瞬间自感电动势并不像大多数人所想的电动势也大大增加，反而跟没有铁芯时是一样大的。而如果是像例2通过增加匝数n（一般也就增加了线圈的直流电阻RL），则断电瞬间自感电动势就会更大，但是自感电动势会增大不是因为n，而是因为RL，即如果增大n，RL却没有改变时（如改变线圈材质）断电瞬间自感电动势也是不变的[2]。

3   以大学电磁学理论知识为指导深入分析自感现象

联系大学电磁学的一些基本知识，假设电源内阻不计，连接电源稳定时，线圈中的电流I0=，断开电源后线圈产生自感电动势eL=-L，根据闭合电路欧姆定律有eL=i（R+RL），可得微分方程i（R+RL）=-L，求解可得：回路中電流，线圈自感电动势。由上述推导可得：断电瞬间即t=0时，=1，回路中的电流仍为连接电源稳定时的I0（最大），与灯泡的电阻R无关;且t=0时，对应线圈自感电动势为峰值I0（R+RL）（以后回路电流、线圈自感电动势将都以指数函数的规律衰减）。可看出，自感电动势峰值竟然与线圈的L无关，而不管是断电瞬间的自感电动势峰值I0（R+RL），还是以后任意时刻的自感电动势，均与小灯泡R及线圈的电阻RL有关。

4   得出结论

结合三个公式，可以发现解释例1实际上直接用第三个公式eL=I0（R+RL）就可以了。那么是不是和另两个公式矛盾呢？非也，自感现象也是电磁感应的一种，自感电动势当然跟磁通量的变化率有关。从上面的推导可知，断电以后就是因为这个指数项限制了电流的变化快慢，线圈中的磁场是由电流产生的，因此也就限制了磁通量变化的快慢，导致自感电动势以指数函数的规律减小。而t=0时，=1，指数项中的无论大小，与等于0的t相乘结果为0，或者说R、RL、L还没起作用而已，也就是由于线圈的作用，电流的变化受到阻碍，必须从原值开始变化，即电流不能突变，断电瞬间电流仍为原值I0，与第一个公式并没有矛盾。上述分析同时也解释了第二个公式的运用问题，在公式eL=-L中，改变L的同时，也影响了，L增大电流变化就慢，相应就小，即不能只考虑L的影响。综上所述，本文一开始提出的问题例1和例2，都必须进行讨论分析：如果只在线圈中插入铁芯增大自感系数L，由于RL不变，由eL=I0（R+RL）可知断电瞬间自感电动势与没有铁芯时一样大;如果是通过增大匝数n增大L，由eL=I0（R+RL）可知断电瞬间自感电动势与n并没有直接关系，只跟线圈直流电阻RL有关，正常情况下匝数增大RL也会增大，断电瞬间自感电动势的值就会增大，除非更换材料恰好n增加而RL不变，那么断电瞬间自感电动势也不变。

5   进一步思考

通电自感或者其它自感也是类似的规律，对大部分学生来说只需要抓住两点即可：①电流都是从原值开始变化;②自感电动势满足闭合电路欧姆定律。另外，明白了电流从原值开始变化也就能进一步理解断电自感实验中的小灯泡会闪亮一下再逐渐熄灭的原因。电磁感应现象中还有很多需要深入思考的方面，如匝数n不影响断电瞬间的自感电动势的大小，那n影响什么？其实通过前面的分析，已知n会影响自感现象持续的时间，就像断电自感实验中观察到小灯泡逐渐熄灭的过程能维持更久些。

再如例3中选项C的解释，要通过比较磁通量改变快慢和RL电路的时间常数τ（τ=）对电路的影响才能得出结论。在前面的分析中，我们得出了自感电流;当t=0时，i=I0;当t=∞时，i=0;当t==τ时，i=0.37I0，τ为RL电路的时间常数（即电流从I0减小为0.37I0所需要的时间），它的大小决定了电流衰减的快慢，τ越小，电流衰减越快。

自感电动势当然取决于磁通量的变化率，但是磁通量的变化率有时与线圈的电阻无关（如缓慢调节滑动变阻器时），有时与线圈的电阻有关（如断开开关或快速调节滑动变阻器时）。前一种情况自感电动势与线圈的电阻无关，而后一种情况自感电动势就与线圈的电阻有关了。因此，例3也隐含着需要讨论的内容。

前面的推导过程对一般高中学生是不做要求的，碰到类似问题教师可以指导他们直接选用相应知识、公式解题，对于学有余力的学生，则可以尝试适当渗透这方面的电磁知识。但教师还是要注意多以大学电磁学理论知识为指导，这样无论是在试题讲解，还是在分析其它电磁感应现象，才能做到心中有数，不犯科学性错误。

【参考文献】

[1]司南中学物理教材编写组.普通高中课程标准实验教科书物理（选修3-2）（第三版）[M].济南：山东科技出版社（鲁科版），2011.

[2]王文福.论自感电动势定量测量的科学性[J].新课程，2013（6）.