程银宝 陈晓怀， 王中宇， 王汉斌， 李红莉， 李亚茹

(1.中国计量大学 计量测试工程学院，浙江 杭州 310018;2.北京航空航天大学 仪器科学与光电工程学院，北京 100191;3.合肥工业大学 仪器科学与光电工程学院，安徽 合肥 230009;4.福建省计量科学研究院，福建 福州 350003)

1 引 言

随着测量不确定度表示指南(Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement,GUM)的颁布实施以及20多年来取得的积极成效，测量不确定度替代测量误差来表征测量结果的精度已成为学术界的广泛共识[1～5]。坐标测量机(coordinate measuring machine,CMM)是现代精密工程中最常用的测量仪器之一，其不仅能完成几何量参数的快速测量，且能够与数控机床、加工中心等设备组成联机集成系统，实现设计、制造和检测的一体化。相比于单一测量任务的比较型仪器，测量功能的多样性使得CMM机械机构异常复杂，实现其测量结果的不确定度评定异常困难。

高端制造过程中的质量控制和产品检验对精密仪器在智能化和精度方面的要求越来越高，而仪器精度体现在执行测量任务时的测量不确定度。科学系统地评估CMM测量结果的不确定度一直都是悬而未决的科学难题，成为CMM应用中的瓶颈[6～10]。2011年，“建立坐标测量机面向任务的测量不确定度模型与传递链函数”入选教育部、科技部、中科院和自然科学基金委联合征集的“10000个科学难题”[11]。本文以精密工程领域应用广泛的CMM为研究对象，研究其形状测量任务的不确定度分析和评定问题，对于提升类似复杂精密仪器的应用价值具有实际意义。

2 不确定度来源分析

CMM测量过程是按照一定的采样策略获取工件表面的测量点坐标信息，测量软件以预先设定的拟合算法，由点的坐标信息计算出被测对象的几何量参数。测量过程中所有相关因素均有可能对测量结果产生影响，可依据产品质量管理中常用的“人、机、物、法、环”的分析方法，将坐标测量系统的不确定度的来源分为5大类，如图1所示。包括测量仪器、测量人员、测量环境、测量方法、被测对象及其误差来源等所有元素的集合称为测量系统。任何一个测量过程实质上都是量值传递的过程，显然该过程也伴随着误差传递，而误差传递的末端也就是对测量结果量值的影响，它是通过一系列量值指标来表征的。测量过程可以看成是一个生成数据的过程，而测量结果是测量系统对输入被测量的响应，是测量过程最终生成的数据，测量系统的量值特性常用测量结果的统计特性来确定。

图1 测量系统的不确定度来源Fig.1 The uncertainty sources of measurement system

由General、Ford和Chrysler等3家汽车制造业巨头联合制定并推行的测量系统分析方法，基于系统的观念提出了测量系统量值统计特性的6个指标：重复性、复现性、分辨力、稳定性、偏移和线性。该方法直接对测量结果的量值进行统计分析，输出量与输入量具有相同单位，测量结果不需要通过与被测量有函数关系的其他量而得到。相较于误差溯源法，不确定度传递关系简单，模型使用方便，更契合于CMM面向任务的测量不确定度评定简单性、快速性、实用性的要求。以上述6项量值统计指标为依据，可解决CMM形状测量任务的不确定度分析与建模问题。

形状误差测量任务主要包含实际要素如何提取、理想要素如何评定这2个核心问题。前者决定检测方法，后者则取决于评定方法。新一代产品几何量技术规范(geometrical product specifications,GPS)不确定度评定理论将评定方法引入的不确定度归纳至“规范不确定度”范畴[12]，因此在进行“测量不确定度”评定时不考虑理想要素评定方法的影响，这对于形状误差的测量不确定度评定尤为重要。由此，对CMM面向任务的不确定度来源分析如下：

偏倚和线性对CMM形状测量的影响体现在测量机示值探测误差引入的不确定度分量uE，安全起见应采用“过量估计”，可利用CMM最大允许探测误差MPEP来量化。探测误差在校准时考虑了测量机测头配置、坐标系建立方法、被测对象的装夹、空间位置和环境等因素的影响，因此用MPEP来量化uE时也包含了上述不确定度来源的影响。

仪器的分辨力与重复性存在一定关联性，对CMM而言只需考虑重复性引入的不确定度分量即可。稳定性指标通常在电子类测量仪器中影响显著，在CMM几何量测量中影响较小，且稳定性等效于时间变化引起的复现性，因此可忽略该不确定度分量。

CMM面向任务的复现性引入的不确定度分量表示改变测量条件的情况下，同一被测量的测量结果之间的一致性，即不同的测量条件如人员变化、测量策略不同等导致同一测量任务测量平均值的变差。在实际的不确定度分量量化中利用复现性实验确定该分量的影响，对于CMM而言，复现性量化实验室由不同测量人员按照测量习惯自行确定测量点的采样策略完成多组测量实验。其中采样策略引入的不确定度分量受采样点数和采样点分布两个要素的影响。采样点分布决定在采样点数相同时提取被测要素误差极值点的概率，采样点均匀分布时测量不确定度最小已成为CMM应用中的共识，在无先验信息时，采样点且尽可能均匀覆盖被测工件的表面。采样点数反映了CMM对被测要素形状信息的提取能力，当采样点数较少时，测量点将有较大概率无法包含形状公差极值点。单从信息提取角度考虑，采样点数越多越好，但类似接触触发式CMM的测量时间会因采样点数的增多而急剧增加，即违背了CMM测量高效性的特点。同时，测量点数的过多增加会导致CMM残余机构误差对测量结果的影响呈成倍放大效应。一般对于接触触发式CMM，采样点数以20～30个为宜，CMM验收检测和复检检测方法对标准球采样25个也反映了CMM采样点数适宜的取值范围。

由此，基于量值特性统计分析方法得到的CMM形状测量任务的不确定度评定初级模型为

uc=f(uE,ur,uR)

(1)

式(1)中3个输入量即仪器探测误差δE、测量重复性δr、测量复现性δR，各输入量的期望值均为0，且均为测量任务被测量Y的量值特性，因此测量不确定度分析模型为

Y=y+δE+δr+δR

式中：y表示被测量Y的估计值。

基于GUM方差合成定理，则式(1)可写作：

(2)

式中：uc表示测量结果的标准不确定度；uE表示仪器探测误差引入的标准不确定度；ur表示测量重复性引入的标准不确定度；uR表示测量复现性引入的标准不确定度。

基于蒙特卡洛方法(Monte Carlo method,MCM)的不确定度评定[13,14]，则式(1)可写作：

3 不确定度模型

形状误差是被测实际形状要素相对理想形状要素的变动量[15]，形状测量并非CMM测量功能的专长，相较于圆度仪、自准直仪、水平仪等形状公差专用量具或仪器，CMM测量精度稍显逊色，但CMM依赖功能多样性能显著提高测量的综合效率，因此选择CMM进行形状测量时应与测量机的测量能力相适应，即被测要素应是满足正常测量条件时利用CMM“可测”的任务，在选择采样策略时应充分考虑检测效率的要求。

与尺寸测量任务不同，形状测量属于微小量测量，在不确定度评定时对“过量估计”较为敏感。尺寸是绝对量值的测量，而形状是非常小的测试空间内相对变化的考量，示值误差分析时可忽略线性的影响，重点关注测量机残余系统误差引起的形状测量示值的偏倚即可。

CMM形状探测的能力以最大允许探测误差MPEP来表征，在校准时通过标准球的球度来进行标定，其本质上反映测量空间内不同方向、不同位置残余系统误差对形状测量结果的综合影响，采用MPEP评定CMM形状测量示值误差引入的不确定度分量可靠性较强，量化公式为：

(3)

在相同条件下对被测工件进行重复测量，由贝塞尔公式计算单次测量的实验室标准差：

(4)

若以N次测量均值作为测量最佳估计值时，测量重复性引入的不确定度分量ur为：

(5)

(6)

通过分析根据式(2)可得出CMM形状测量任务的不确定度评定的普适性模型。

4 实验分析

实验采用海克斯康Micro-Hite 3D-DCC型CMM对某工件的平面度进行测量，CMM的最大允许探测误差MPEP=3.5 μm。

根据式(3)可计算平面度测量由示值误差引入的不确定度分量为

重复性条件下短时间内对被测平面进行10次连续快速测量，计算重复性实验标准差为Sr=0.618 μm，以3次测量结果的平均值作为平面度测量的最佳估计值，则测量重复性引入的标准不确定度为

由3名测量人员尽可能保持采样策略等因素差异性的条件下完成复现性实验，得平面度测量复现性引入的标准不确定度为uR=0.915 μm。

则平面度测量不确定度分量如表1所示。

表1 不确定度分量概算Tab.1 The uncertainty budget for flatness measurement

按照方差合成定理计算本次平面度测量任务的合成标准不确定度为

(7)

依据GUM取p=95%时k=2，则扩展不确定度为：

U=k·uc=4.5 μm

(8)

示值误差δE为均匀分布，分布区间为[-2.021 μm,2.021 μm]；测量重复性δr为正态分布，期望为0，标准差为0.357 μm；测量复现性δR为正态分布，期望为0，标准差为0.915 μm。

利用MATLAB软件分别对δE、δr、δR进行106次随机模拟抽样，将106个δE、δr、δR的抽样值代数和相加，得到106个平面度测量的误差Δdi样本值，按照贝塞尔公式计算合成标准不确定度为uc=2.25 μm，与GUM法式(7)的计算结果一致。利用MATLAB软件绘制出Δd=δE+δr+δR的分布直方图，如图2所示，可以得到包含概率p=95%时的扩展不确定度U=4.05 μm，包含因子k=U/uc=1.80，同时计算出标准不确定度uc=2.25 μm对应的包含概率约为62.80%，小于按照正态分布估计的68.27%。

图2 利用MATLAB模拟的误差统计直方图Fig.2 The statistical histogram of error by MATLAB

将GUM和MCM两种方法计算的不确定度进行比较，如表2所示。

表2 不确定度评定结果比较Tab.2 Comparison of uncertainty evaluation results

5 结 论

在CMM面向任务的不确定度来源系统分析的基础上，建立了量值统计分析法的CMM形状测量任务的测量不确定度评定模型。该模型从测量结果量值的统计特性指标出发，较为全面地反映了CMM测量系统各不确定度来源对测量结果的影响程度。

研究了CMM形状测量任务的不确定度分量的量化方法，形状误差反映的是微观空间内相对变化的考量，在不确定度分量量化时应忽略线性的影响。给出了GUM和MCM两种不确定度合成方法，实验结果表明：

(1) 由于CMM测量结果的量值统计特性相互独立，因此在依据GUM的方法计算标准不确定度时可忽略相关性造成的影响，2种方法所得合成标准不确定度uc相同；

(2) 依据GUM默认输出量服从正态分布，其合成标准不确定度对应的包含概率为68.27%，但依据MCM计算的标准不确定度uc对应的包含概率为62.80%，显然依据GUM确定的标准不确定度精度意义不可靠，人为假定输出量为正态分布，导致评定的扩展不确定度相对于实际情况扩大了11.1%。