曹学鹏,2，曹皓清，曾致豪，包翔宇， 卫昌辰，丁 凯

(1.长安大学 工程机械学院，陕西 西安 710064;2.长安大学 公路养护装备国家工程实验室，陕西 西安 710064)

引言

为探测和开采深海丰富的资源，各种水下装备迅速发展；液压传动作为其主要的传动方式之一，且液压泵作为供能装置，对整个液压系统起着至关重要的作用。近年来就深海液压源及其介质进行了较为深入的探讨，重点研究了油液介质特性在深海环境下的变化规律及其对深海泵工作特性的作用机理，初步获得深海泵在变深工况下的性能变化规律[1-5]。已有研究成果表明，深海泵工作性能的改变是因控制模型随环境参数变化而变化。针对液压控制系统中模型的易变性、非线性等问题，国内外学者已运用自适应控制方法对其进行适应性控制，并取得了一定的研究成果。

陈子银等[6]设计了一种简单自适应控制系统对水压伺服缸进行控制,提高了伺服缸系统鲁棒性和控制精度。徐张宝等[7]提出一种考虑状态约束的自适应控制算法，基于李雅普洛夫函数设计出干扰观测器、自适应控制器对液压伺服使系统进行控制，解决了系统中的速度、加速度约束及不确定问题，降低了系统稳态误差，提高了跟踪精度。刘妍等[8]提出一种基于MRAC的模糊控制方法，对液压系统中PID控制器参数进行自动调节，解决了系统中的非线性问题，提高了系统的快速响应性及稳态精度，使整个控制系统具有较好的自适应性。AHN K K等[9]将自适应控制策略运用到电液伺服系统中，解决了系统中参数不确定的问题，但并没有解决系统的非线性问题。针对液压系统中同时存在的参数不确定及非线性问题，MOHANTY A等[10]提出一种鲁棒自适应控制策略，提高了系统的控制性能，但未提高系统控制精度。SCHKODA R F[11]将自适应控制理论与滑膜控制理论应用于液压系统中，设计出自适应滑膜控制器对系统进行适应性控制，提高了控制精度，补偿系统的非线性特性。

已有研究成果表明自适应控制策略能较好的解决液压系统中被控对象的非线性、时变性、易变性等问题，但并未见运用到海洋环境，尚未见诸变水深工况下泵的控制策略研究。本研究针对深海泵模型本身的高阶非线性及其随水深而不断变化的易变性问题，将模型参考自适应控制(Model Reference Adaptive Control，MRAC)策略用于变水深环境下的液压泵压力控制系统中，结合Lyapunov理论，提出一种基于Lyapunov-MRAC的控制方法，以实现变水深工况下液压泵良好的动态性能，为水下液压源的开发提供一定的理论依据。

1 Lyapunov-MRAC控制基础

1.1 模型参考自适应控制原理

模型参考自适应控制是针对模型参考控制问题或模型跟踪问题提出的一种应用广泛的自适应控制策略。若对被控对象的模型结构及其该满足的性能条件非常了解，则可根据所期望的系统的输出性能，建立一个理想的“参考模型”[12]。MRAC的核心是寻求反馈控制律使被控对象系统的输出值与理想参考模型的输出值一致，其结构如图1所示[13]。

图1 MRAC系统结构图

由图1知，MRAC是从被控对象的控制性能及结构着手，建立参考模型，使其输出能够作为实际期望响应的理想值；各控制周期内，将实际被控模型输出值与参考模型输出值进行做差，得到误差信号e，自适应机构将传来的误差信号进行处理，以调节控制器参数(产生自适应控制律)，使得控制误差e不断逼近于0，即使得被控模型的输出值不断趋近理想值。

1.2 Lyapunov理论基础

任何系统正常工作的前提是保证一定的稳定性，即在外部扰动作用停止后系统具有恢复至平衡状态的能力，稳定性是控制系统中需要解决的首要问题。Lyapunov理论思想是通过能量概念构建Lyapunov函数，寻找一个具有原函数正定、导函数负定特性的能量函数，以此来证明能量是一个不断递减至零而系统逐渐趋于稳定的过程。将Lyapunov理论用于MRAC中，解决控制系统稳定性问题[14]。

2 基于Lyapunov-MRAC的压力控制系统建模

2.1 深海泵压力控制系统建模

建模时，假设泵处于理想工作状态，忽略压力脉动和流量脉动的影响，且不考虑溢流阀开启，其工作原理简图及基本参数表分别如图2、表1所示。

1.泵本体 2.角度传感器 3.控制柱塞 4.比例控制阀5.差动压力检测装置 6.放大器 7.耐压容腔8.压力补偿阀 9.负载 10.油箱 11.柱塞泵

表1 电液比例柱塞泵的基本参数表

由图2所示，可分别对放大器、压力传感器、比例控制阀、控制柱塞等元件所组部分建立相应的转换模型。建模过程基于以下假设：

(1) 比例控制阀具有理想的响应性能；

(2) 流量系数恒定不变；

(3) 电机在额定状态下运行，转速不变。

各部分具体数学模型如下:

1) 电气元件建模

建立压力传感器与放大器之间的信号转换方程：

(1)

式中，po,ps,pp分别为液压泵出口压力、环境压力、相对工作压力；is为输入电流；Kpamp为电压-电流系数；uip为输入压力信号；Kpsen为压力传感器比例系数。

2) 比例控制阀-柱塞模型

以阀控缸建模方法建立比例阀-柱塞方程：

(2)

式中，Ki为比例电磁铁电流-力增益；xe为阀芯位移量；Kst为稳态液动力；Ktr为瞬态液动力；Ke为复位弹簧刚度；Bve为阀芯运动黏性阻尼系数；de为阀芯直径；lfe为阀芯摩擦副配合长度；Δre为阀芯摩擦副间隙；Cde为阀口流量系数；We为阀的面积梯度；pe为阀出油口压力；ρo为液压介质密度。

(3)

式中，rp为泵轴到控制柱塞与斜盘弹簧的距离；Ac为控制柱塞面积；xc为控制柱塞位移量；Bvc为控制柱塞的黏性阻尼系数；Ab为斜盘柱塞面积；Kb为斜盘弹簧刚度；KP为斜盘扭矩系数；dc为控制柱塞摩擦副直径；lfc为控制柱塞摩擦副长度；rc为控制柱塞摩擦副间隙；KQ为泵流量系数；V为泵的出油口、负载进油口及比例阀入口间的容腔体积;qL为负载流量；λp为泵的泄漏系数。

由式(1)～式(3)得深海泵压力控制系统框图如图3所示。

由图3可得：

(4)

图3 深海柱塞泵压力控制系统框图

表2 压力控制模型计算参数表

式中，fc=KzKpampKpsen，Bez=Bve+Ktr，Kez=Ke+Kst，Kz=rpAcKQKθKQeKi。

2.2 Lyapunov-MRAC的压力控制模型

1) 参考模型与被控模型

深海泵压力控制模型的参数取值如表2所示。

将水深0处的黏度值及刚度值us=81.8 N·s·m-1，Ke=550 MPa，和表2中的相关参数代入式(4)，得理想参考模型传递函数如下：

(5)

为进一步验证该模型作为理想参考模型所具有的良好的动态性能指标，现对其进行稳定性及动态性能分析。借助MATLAB工具，获得系统Bode图及阶跃响应分别如图4、图5所示。

图4 压力控制系统的参考模型Bode图

由图4知，参考模型的幅值裕度和相位裕度均为正值，表明该系统具有较强的稳定性。由图5知系统的上升时间为0.412 s，即动态响应速度快；超调量为9.4%，在工程容许范围[5%，20%]内，表明系统具有良好的动态性能。综上，可见系统兼顾稳定性和良好的动态响应性能，故可作为理想参考模型。以0～7000 m水深下的压力控制模型为实际被控模型，将表2中有关参数代入式(4)，计算后可知高阶次项前系数较小，简化得实际被控模型的二阶传递函数如下：

图5 压力控制系统的参考模型阶跃响应曲线

(6)

式中，kpp为变量。

2) 控制器结构及其自适应律

(1) Lyapunov-MRAC控制器设计

据2.2小节所得泵压力控制系统的理想模型和被控模型，结合Lyapunov稳定性理论，获得控制器的结构如图6所示。

图6 Lyapunov-MRAC系统结构图

图6知，yr为输入压力信号；ym,yp分别为参考模型、实际模型下泵的输出压力；kpp为自适应增益；kc(t) 为控制器增益；e为控制误差。通过调节控制器增益kc(t)，使系统的输出不断趋近参考模型的输出，从而使控制误差e趋于0。

(2) 自适应律计算

据图2可得输出误差：

e(t)=ym(t)-yp(t)

(7)

将式(7)转化为状态空间方程：

(8)

式中，k=9.48-kppkc(t)，状态向量x=(x1,x2,x3,…，xn)T，取状态变量：

x1=e

……

xn=e(n-1)-β1yr-β2yr-…-βn-1yr

(9)

B=(β1β2…βn)T

C=(1 0 … 0)

其中：

β1=bn-1,β2=bn-2-an-1β1,…,

βn=b0-an-1βn-1-an-2βn-2-…-a1β1

ATP+PA=-Q

(10)

取Lyapunov函数为：

V=γxTPx+k2，γ>0

(11)

则：

(12)

由式(8)和式(10)得：

(13)

(14)

由于控制器的执行周期较短，kpp慢时性变化，故可视为常数，则：

(15)

3 仿真分析

3.1 优化前模型结果分析

给定泵80%额定压力信号，将表2中的参数代入式(4)，获得变水深下系统的动态响应曲线见图7。

由图7知，随着水深的增加，系统由欠阻尼状态逐渐变化为过阻尼系统。系统的上升时间随水深增加而增加，超调量随水深增加而不断降低，表明系统的快速响应性能不断减弱，平稳性不断增强。柱塞泵在水深为0时有较为理想的动态性能。

图7 变水深下系统动态响应曲线

3.2 基于Lyapunov-MRAC模型结果分析

通过采用MATLAB工具箱实现深海泵压力控制系统的自适应控制，具体实施步骤如图8所示。

图8 MRAC模型仿真步骤

1) 方波信号下的实验分析

以方波信号为输入信号，设置仿真时间t=5 s，进行仿真实验，共进行三组。给定压力控制系统幅值r=3方波信号，取自适应增益γ=0.1，进行第一组实验；保持自适应增益γ=0.1不变，输入幅值r=6的方波信号，进行第二组实验；保持r=3的方波信号输入信号不变，设定自适应增益γ=0.4，进行第三组实验。获得相应的实验结果分别如图9～图11所示。

由图9～图11可知，在控制的初始阶段，因参数初值跟期望值间存一定偏差，使得系统实际输出较大地偏离参考模型输出，跟踪效果差。随着时间的推移，通过自适应律的调整，偏差值e逐渐减小趋近于0，使系统稳定。比较图9、图10知，增大输入信号幅值，被控系统的最大输出偏差由1.2升至1.5，表明控制系统初期控制精度降低，稳定时间由0.8 s缩短至0.5 s，即提高了稳定速度。比较图9和图11知，增大自适应增益初值，可提高控制系统的初始控制精度，同时提高其稳定速度。

图9 r=3，γ=0.1时系统响应、控制增益及偏差变化曲线

图10 r=6，γ=0.1时系统响应、控制增益及偏差变化曲线

图11 r=3，γ=0.4时系统响应、控制增益及偏差变化曲线

2) 阶跃信号下的实验分析

给定单位阶跃信号，增益值γ=0.4，获得系统的动态响应曲线、误差曲线及动态性能指标参数值分别如图12、图13和表3所示。

图12 单位阶跃信号下压力控制系统的响应曲线

图13 参考模型与被控模型间的误差曲线

表3 压力控制系统的动态性能参数

由图12及表3知，曲线1，2，3分别为理想参考模型输出、实际被控模型输出及未经控制的模型输出。对比曲线1，2可知，实际被控模型的超调量大于参考模型的超调量，但两者的上升时间基本接近；由曲线2、曲线3可知，上升时间已由未控前的0.923 s降至控制后的0.426 s，接近理想值0.412 s，表明运用自适应控制方法提高了动态响应性能。

由图13知，系统误差随时间的增大而不断减小，在初始0～2 s时间段内，系统误差变化幅度较大，且在t≈0.4 s时，具有最大值，约为13.5%；表明在该时间段内，被控模型输出值与参考值具有较大偏差，但最大误差13.5%在[-15%，15%]的允许范围内。此后，误差随时间增加而不断趋近于0，即被控对象的输出值不断逼近理想值。

4 结论

(1) 建立深海泵压力控制模型，分析获得泵的快速响应性能随水深增加而呈不断降低，而在海平面处动态性能较好；

(2) 基于Lyapunov-MRAC策略对深海泵压力控制系统进行优化，方波信号仿真结果表明，被控模型能够很好的跟随参考模型的输出变化，且控制器参数对系统的影响为输入幅值增大时，系统初始控制精度降低，但稳定速度加快；而增大增益值，则能同时提高系统的初期控制精度及稳定速度；

(3) 阶跃信号仿真结果表明，随时间的增加，系统控制误差不断减小，控制精度逐渐增大，被控模型能够很好的跟随参考模型的输出变化；与未经控制的模型相比，Lyapunov-MRAC下的系统具有更好的动态响应性能。