■姜先亮

数学直觉是人脑对数学结构关系的“领悟+洞察”，往往产生于经验、观察、归纳、类比和联想，有时以心理学上的“顿悟”形式出现，是认识过程的一种飞跃形式。“经验→观察”是一种感性概括，“归纳→类比”是一种理性概括，“联想”是一种变式概括。这些直觉思维的选择，是通过“做数学”“说数学”和“想数学”实现的，有助于概念的获得、保持与迁移，感知概念的本源性和存在性，实现直觉思维目标和发展几何直观等关键素养。

本文以“乡村培育站教师‘演课活动’”为载体，以主题“‘菱形’概念起始课”为例，展示“直觉目标”的实现方式，目的是提升乡村教师的教学力和育人力。此次演课活动中，执教者都关注“直觉目标”的培养，化“抽象”为“具体”，发展学生的直观想象素养。

一、感性概括，在“做数学”中实现直觉思维目标

数学概括是直觉思维的表现形式，是“通过对感性材料的分析、综合、比较、抽象、概括等深度加工”来实现的。感性概括是直觉概括的替代概念，是在直观基础上进行的一种思维活动，是“直观的懂”的表现形式。数学课堂教学中的描述、说明、举例都是一种感性概括。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称课标）指出，借助几何直观可以把复杂问题变得简明形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。笔者把直觉思维目标理解为“几何直观”支配的感性概括。这就要求，教师在教学设计层面，基于“几何直观”，让学生在感性概括中，实现“复杂问题→简单问题”“不确定思路→思路的确定性→结果的正确预测”，并在直观“做数学”的基础上，将“抽象”转化为“具体”，将“冰冷思维”转化为“火热思考”。数学课堂教学中的“折纸”“画图”都是感性概括的先行组织行为，是“做数学”的基本思维方式，有助于直觉思维的选择和进入“知识获得”的积极思维状态。

在“菱形概念”发生模块，执教者就是基于“感性概括”，让学生在“做数学”中，感知“事实概念”的本质属性。

具体感性概括过程如下：

师：（多媒体演示）学校大门、三菱汽车以及生活中的“菱形衣架”，都包含同一个图形——菱形，今天我们就来学习菱形。

设计意图：这一设计有助于学生直观感知“菱形的‘长相’”，形成直觉思维产生式，体验数学是对生活的感性概括，提升数学的感性价值。

师：同学们，请思考以下问题，并画出图形，说明你的思考过程。

问题1：我们是怎样通过改变一个平行四边形的内角得到矩形的？如何改变一个平行四边形的边的数量关系，使其成为菱形？

生1：（演示改变“牙膏盒”的截口形状）有一个角是直角的平行四边形是矩形。将平行四边形的一个内角变为90°，就有“平行四边形→矩形”。

师：类比矩形概念的发生过程，那么菱形的原始概念是什么？

学生通过改变“牙膏盒截口”形状，即改变平行四边形的一组“邻边”的数量关系，使得一组邻边呈现“相等”的样态。学生在感性概括的基础上，抽象出菱形概念的本质属性，即有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

设计意图：动态演示，旨在让学生基于观察学习，直观感知菱形的形象，形成感性概括的心理基础；改变“牙膏盒截口形状”是“做数学”行为，有助于学生直觉层面的感性概括，感受产生“邻边相等”是平行四边形转化为菱形的思维条件。

心理学研究表明，人的学习83%通过视觉，11%通过听觉。这就是执教者借助“实物”及其“图片”，在“做数学”直觉参与下，让概念在感性概括中发生的本体意义。

二、理性概括，在“说数学”中实现直觉思维目标

理性概括起于“几何直观”，终于“直觉思维目标”的具体实现。在课标看来，几何直观可以帮助学生“直观地”理解数学，“数学地”认识直观思维，在整个数学学习过程中发挥着不可替代的作用。几何直观之所以重要，是因为它能为数学抽象准备思维经验，能为理性概括提供思维模型。数学课堂教学中的“归纳、概括、总结”都是直观思维支配下的一种理性概括，是通过“说数学”的理性形式展现的，有助于学生将“感性思维”上升到“理性思维”，将“感性概括”上升到“理性概括”，进而发展理性直觉。就这一认识来说，理性概括是一种高级形式的思维概括，它揭示的是一般因素（菱形具备平行四边形的所有性质）和本质因素（菱形的四边相等，对角线垂直），是直觉思维水平的概括。在数学教学中，理性概括表现在三个方面：一是在比较归纳中理性概括，揭示数学对象的本质；二是使用概念规则的正例，传递了理性概括的直觉信息；三是反例的使用，传递了辨别的理性概括信息。

在“菱形性质”形成模块，执教者就是基于“理性概括”，让学生在“说数学”中体验直觉思维目标的运动过程，感知菱形性质的特殊与一般，以及合情合理的微言大义。

具体理性概括过程如下：

师：请同学们在画图、度量的基础上，填写思维关系量表（关于平行四边形和菱形的对称性，边、角、对角线的性质及对比，表略）。

学生在操作的基础上，进行了理性概括，达成思维共识：菱形的四条边相等、菱形的对角线互相垂直平分等特殊性质。

设计意图：填表旨在让学生基于平行四边形的一般性，认识菱形的特殊性，有助于理性概括信息的传递与辨别。另外，填表本身具有几何直观的功能，是一种直觉思维的运动形式，有助于学生在“比较+归纳”中获得菱形性质的纯粹性和合理性。

师：请以“组”为单位，讨论以下问题。

问题2：菱形有哪些性质？为什么？菱形的面积如何求？在矩形、菱形和平行四边中，哪些性质是菱形特有的？

在交流的基础上，学生达成了思维共识，即“个体经验→事实经验→客观经验”。因为菱形是平行四边形，所以具有平行四边形的一切性质；证明给出了“菱形的四条边相等”“菱形的对角线垂直”的理性结论；因为垂直平分是轴对称性，所以菱形的对称轴是对角线所在的直线；菱形中的四个三角形全等，所以菱形的面积可以是四个三角形面积的和，可以是两个三角形面积的和，可以是底×高；在矩形、菱形和平行四边形中，“四条边相等”“对角线垂直”是菱形特有的性质。

设计意图：“说数学”是教师上好数学课的有效形式，是学生学会合作的思维反映，能让学生在思维互助中获得“不可能”的“可能”发展。对菱形一般性质和特殊性质的猜想、归纳、比较、概括，有助于学生形成思维的理性概括，形成概念以及直觉思维目标的领悟。

在认知心理学看来，人一般可记住自己阅读的10%，听到的20%，看到的30%，交谈时自己说到的70%。这就是“说数学”开展的本质依据，能让学生在“无序说→有序说”中获得理性概括的经验，能让学生在理性概括中“捕捉”直觉思维的“从天而降”。

三、变式概括，在“想数学”中实现直觉思维目标

变式概括是心智发展的思维“触发器”，是“想数学”的思维前提，是提出问题的思维“发动机”，是直觉思维目标实现的心理基础。在发展核心素养背景下，变式概括就是利用不同形式的直观材料或事例说明事物的本质属性，即变换同类事物的非本质特征，以便突出事物的本质特征。数学教学中的“平移、旋转、翻折”变换都是变式概括的思维通道，有助于学生在联想中把握概念对象的本质。当然，变式概括离不开几何直观，“数学地联想”是以几何直观为思维动力，能让学生基于“直观印象”，在“想数学”的帮助下，获得变式概括的经验。教师将教材中的基本图形“正放”，变为“斜放”或“倒放”，就是变式概括的常见方法，是几何直观的思维升级。换句话说，几何直观是指借助于见到的或想象出来的几何图形的形象关系，对数学研究对象（即空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力。这种能力来自变式概括，来自“数学地联想”，是通过“想数学”实现的。

在“菱形”概念使用模块，执教者就是基于“变式概括”，让学生在“想数学”中直接把握直觉思维目标。

具体的变式概括思维训练如下——

基本问题：已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积。

数学变式1：如果菱形的面积为24cm2，其中一条对角线是6cm，则另一条对角线是多少？如果菱形的一个内角是60度，边长为5cm，则菱形的面积是多少？

设计意图：基本问题的设置是让学生在问题中领悟菱形的“特有性质”以及落实面积求法的思想体系；数学变式1是变式概括的一般形式，能让学生在概括运算中，把握直觉思维的认知目标，体验“想数学”的本质就是变式概括，是思维内控的运动形式。

数学变式2：利用数字和图形，探索图形的基本性质。如图1，木制活动衣帽架由3个全等的菱形构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在BM处固定。已知菱形ABCD的边长为13cm，要使两排挂钩间的距离AC为24cm，求B、M之间的距离。

设计意图：设置本题的目的指向“数学服务于生活目标”，以提升数学学习的实用价值。就问题本质来说，一方面能让学生在问题解决中体验将复杂转化为简单，将抽象转化为具体的变式思想，落实“学”为“用”让步。另一方面，“衣架问题”本身就是一种几何直观支配下的变式概括，能让学生在“数学地想数学”中，获得对概念的正迁移和认知智慧的形成。