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添加辅助线巧解中学数学试题例析

2020-04-08扬州大学数学科学学院225002张梦颖濮安山

中学数学研究(广东) 2020年6期
关键词:辅助线直角三角形四边形

扬州大学数学科学学院(225002) 张梦颖 濮安山

在中学数学学习中,为了避免繁琐的解题步骤,我们通常会采取一些方法来简化解题的过程,从而提高解决问题的效率,发展思维.其中添加辅助线就是用来巧解问题的方法之一.本文通过对添加辅助线构造三角形、圆形以及平行四边形这三类典型方式进行例题分析,加深学习者对于辅助线的了解与掌握.

1 辅助线

辅助线顾名思义就是起辅助作用的线,具体来说,就是根据题目中所给的条件以及图形,将其中隐藏的辅助条件找出来,以辅助线的形式在图中构造辅助图形,从而解决问题.其本质就是构造相关的辅助图形,例如三角形、圆形、平行四边形、线段等等.添加辅助线解决数学问题是解决中学数学问题的常用方法.通过对辅助线的使用,能够极大提高我们解决有关数学问题的效率,将复杂的运算题目变得简单直观;此外,添加辅助线能够开发学生的动手实践能力,发展学生的空间想象力与创造力,对于学生学习数学,解决数学问题,发展数学思维具有极其重要的作用.

2 实例解析

2.1 构造三角形的辅助线

例1 (南京2018 中考数学第20 题)如图1,在四边形ABCD中,BC=CD,∠C=2∠BAD.O是四边形ABCD内一点,且OA=OB=OD.求证:四边形OBCD是菱形.

分析要解决的问题是证明四边形OBCD是菱形,即:四边形四边相等;平行四边形邻边相等;平行四边形对角线互相垂直平分等;题目中给的条件,有关角的条件只有一个,其余都是有关边的条件,那么优先选择证四边相等,观察图形,要利用题目中给出的条件证明OB=OD=BC=CD,直接证明存在难度,那么思考如何简洁获取答案.

证明连接OC,因为OB=OD,BC=CD,OC=OC,所以△OBC∽=ΔODC.所以∠BOC=∠DOC,∠BCO=∠DCO.因为∠BOD=∠BOC+∠DOC,∠BCD=∠BCO+∠DCO,所以又因为∠BOD=∠BCD,所以∠BOC=∠BCO,所 以BO=BC,又因为OB=OD,BC=CD,所以OB=BC=CD=DO,所以四边形OBCD是菱形.

图1

思考这一题解题关键就在于OC这条辅助线的建立,通过连接OC,利用三角形全等得到我们需要的条件,从而进一步贴近我们最终要证明出来的条件,进而解决问题.

例2(苏州2018 中考数学第17 题)如图2,在RtΔABC中,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到ΔAB′C′,连接B′,C,则sin ∠ACB′的值是多少?

分析要求该角的正弦值,在直角三角形中,才会有正弦值的存在,并且这并不是一个特殊角.

图2

证明(用辅助线构造直角三角形)过点B′作B′D ⊥ AC于点D.在RtΔABC中,因为∠B=90°,所以所以BC:AB:AC=1:2:由条件,得∠BAB′=90°,所以∠BAC+∠CAB′=90°.又因为∠BAC+∠ACB=90°,所以∠CAB′=∠ACB.又因为∠ADB′=∠B=90°,所以△ADB′∽ΔCBA,所以AD:DB′:AB′=CB:BA:CA=1:2:因为所以AD=2,B′D=4,所以CD=AC -AD=3.在RtΔCDB′中,因为∠B′DC=90°,所以所以

思考这道题主要关键就是使用辅助线构造出直角三角形,通过相似三角形的转换求得所需边的长度,从而求得sin ∠ACB′的值.

例3 (无锡2018 中考数学第24题) 如图3,四边形ABCD内接于圆O,AB=17,CD=10,∠A=90°,求AD的长.

分析如何利用给出的∠B的余弦值来求得AD的长度,直角三角形中存在余弦值.

解延长AD,BC交于点E,因为AD⊥AB,∠DAB=90°,∠E+∠EDC=90°,∠E+∠B=90°,所以,∠B=∠EDC,所以AD=EA-ED=

图3

思考这一道题和上面两道题有所不同,上面两题是在图中进行添加辅助线,而这一道题是在图形的外部进行辅助线的添加,相当于“割”与“补”;但相同的都是上述三题都是在原图形中通过添加辅助线构造三角形,利用三角形的知识内容来解决这一问题,将原题条件进行重新的分析与整合,“转个弯”来解决现有题目.

2.2 构造平行四边形的辅助线

例1如图4,已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点,四边形OCDE是平行四边形,求证:OE与AD互相平分.

分析添加合适的辅助线构造平行四边形解决问题.

证明连接AE、OD.因为四边形OCDE是平行四边形,所以OC//DE,OC=DE.又因为点O是AC的中点,AO//ED,AO=ED,所以,四边形AODE是平行四边形.根据平行四边形性质,可得:OE与AD互相平分.

图4

思考这一道题辅助线的添加并不是多难,关键在于对于题目中给出的平行四边形以及对角线互相平分性质的理解.通过对条件与问题的竖立,明确对角线平分的性质,从而添加辅助线构造平行四边形.

例2如图5,在△ABC中,E、F为AB上两点,AE=BF,ED//AC,FG//AC交BC分别为D、G.求证:ED+FG=AC.

图5

分析第一,明确问题:ED+FG=AC;第二,弄清所给条件,边平行、边相等(平行相等在很多图形中都有,根据题目中的已知条件,选择合适的图形进行问题解决); 第三,要证ED+FG=AC,则AC是可以划分成两部分,依据图形,我们选择添加辅助线构造平行四边形.

证明过点E作EH//BC,交AC于点H,因为DE//AC,EH//BC,根据两对边平行,可得:四边形CDEH是平行四边形,ED=HC,又FG//AC,EH//BC,所以∠AEH=∠B,∠A=∠BFG.又AE=BF,所以ΔAEH∽=ΔFBG.AH=FG,FG+ED=AH+HC=AC.

思考由于该题条件中涉及到边的平行,而且是两对边的平行,则自然会想到与平行四边形的联系,根据所求判断边与边之间的关系.

例3如图6,已知AD是△ABC的中线,BE交AC于点E,交AD于点F,且AE=EF.求证:BF=AC.

图6

证明延长AD 到G,使得DG=AD,连接BG,CG,因为BD=CD,四边形ABGC是平行四边形,AC=BG,AC//BG,所以∠CAD=∠BGD.因为AE=EF,所以∠CAD=∠BFD,又∠AFE=∠BFD,所以∠CAD=∠BGD,BF=BG=AC.

2.3 构造圆的辅助线

例1如图7,在△ABC中,AB=AC=2,点D在BC的延长线上,AD=4,求BD·CD.

分析联想到割线定理.关键就在于圆辅助线的添加.

解如图7,以点A为圆心,AB为半径作圆A,交AD于点F,延长DA交圆A于点E因为点B、C、E、F都是圆上的点,所以AE=AF=AB=2,DF=AD-AF=2,DE=AD+AE=6.根据圆的割线定理,可得:BD·CD=DE·DF=12.

图7

思考解决几何问题绝大部分情况都需要添加辅助线,而辅助线的好坏直接关系到解题的质量与效率,好的辅助线往往能起到事半功倍的效果,能大大提升学习者的学习兴趣和积极性,使人能时常感到满满的成就感.

例2如 图 8,四 边 形ABCD中,∠ABC=∠CDA=90°,AD=CD=5,AB=7,BC=1,求BD的值.

分析思考如何利用已有的条件解决该题的问题(可将题目中给的条件的赋值标在图形中);根据托勒密定理:圆的内接凸四边形两对角线的积等于两对边的积的和.

图8

解连接AC,则AC为圆的直径,点A、B、C、D在圆上,因为∠CDA=90°,所以AC2=AD2+CD2=50,因为∠ABC+∠CDA=180°,所以四边形ABCD是圆的内接四边形,根据托勒密定理,得:AC·BD=AD·BC+AB·CD,

思考这一道题辅助线的添加是一个极具技巧性的方法,主要是关于A、B、C、D在同一个圆上的这一条件需要从题目中给的条件当中获取,不仅要把辅助线画出,还需要证明A、B、C、D共圆.所以这一道关于圆的题的辅助线的添加还是比较难想的,具有很大的特殊性.

例3.(扬州树人中学周练题)如图9,有A、B、C三点,∠ACB=45°,点B的坐标为(-6,0),点A的坐标为(4,0),点C的坐标为(0,c),求C点的纵坐标.

图9

分析首先,根据题目中的信息条件画出如图9的坐标系以及三角形,然后明确我们要解决的问题:点C的坐标,最后根据画出的图形以及题目中给的坐标值,添加适合的辅助线解决问题.

解作AB的垂直平分线,点A、B、C在同一个圆上,由题目中条件可知:B(-6,0),A(4,0),所以AB的垂直平分线与x轴的坐标为(-1,0),圆心在这条垂直平分线上,因为在垂直平分线上能够找到一点S使得A、B、C共圆,由图以及圆心角性质可知,SA=SB=SC,∠ASB=90°,在△ABS中,SB=SA,SB=SA=SC=∠ASB=90°.S点的纵坐标为5,再根据直角三角形勾股定理,可得:c=5+7=12.所以C点的坐标为(0,12).

思考这是一道需要巧妙思考的几何体,关键就在于圆的辅助线的添加,并能够根据给出的45°的角度联系到圆的圆周角与圆心角的性质,从而利用题目中的条件画出圆,并根据圆的性质与直角三角形中的勾股定理得出答案.

3 总结

添加辅助线构造三角形、圆形、平行四边形以及线段等等是中学数学中常用的解决问题的手段,是中学数学的需要掌握的构造法之一.在添加这一类辅助线的过程中,重要的是对于题目中条件的了解与分析,弄清楚条件之间的联系,条件与问题之间的联系,从而有理有据的添加合适的辅助线来巧妙地解决问题.

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