■河南省许昌市许昌高级中学 许昌市高中数学名师工作室

逻辑推理是数学思维的主要形式,也是培养数学核心素养的重要途径。从近年高考命题情况来看,以数学文化为背景的逻辑推理的命题层出不穷,不仅可以提升学生对数学文化的认知,加深学生对数学文化的理解,而且能促进学生数学思维及数学核心素养的养成。下面同大家共同赏析几道与数学文化有关的逻辑推理的问题。

一、取材于游戏中的推理问题

例1箱子里有16张扑克牌：红桃A、Q、4,黑桃J、8、7、4、3、2,草花K、Q、6、5、4,方块A、5,老师从这16张牌中挑出一张,并把这张牌的点数告诉学生甲,把这张牌的花色告诉学生乙。老师问学生甲和学生乙：你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗?于是,老师听到了如下的对话：学生甲：“我不知道这张牌”；学生乙：“我知道你不知道这张牌”；学生甲：“现在我知道这张牌了”；学生乙：“我也知道了”。则这张牌是____。

分析：根据甲的第一句判断出点数为A,Q,5,4,再根据乙的第一句判断出花色,最后根据甲的第二句和乙的第二句判断出该牌的点数。

解：因为甲只知道点数而不知道花色,甲第一句说明这个点数在四种花色中有重复,则点数为A,Q,5,4其中的一种；而乙知道花色,还知道甲不知道,说明这种花色的所有点数在其他花色中也有,所以乙第一句表明花色为红桃或方块。甲第二句说明两种花色中只有一个点数不是公共的,所以表明不是A；乙第二句表明只能是方块5。

点评:本例取材于数学游戏,考查学生进行简单的合情推理能力。数学大师陈省身先生说过“数学好玩”。游戏可让数学更加好玩,数学又可赋予游戏以知识,把游戏改编为数学试题,既不失试题的数学性,又能增加其趣味性。

练习1.甲和乙玩一个猜数游戏,规则如下：已知6张纸牌上分别写有N*,1≤n≤6)6个数字。现甲、乙两人分别从中各自随机抽取1张,然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大。甲看了看自己手中的数,想了想说：“我不知道谁手中的数更大”；乙听了甲的判断后,思索了一下说：“我知道谁手中的数更大了”。假设甲、乙所作出的推理都是正确的,那么乙手中可能的数构成的集合是____。

解析：由题意知,6个数字分别为由甲说他不知道谁手中的数更大,可推出甲不是最大与最小的数。若乙取出的数字是则他知道甲的数字比他大还是小；若乙取出的数字是则他知道甲的数字比他大还是小；若乙取出的数字是则他不知道谁的数字更大。故乙手中可能的数构成的集合是

二、取材于生活中的推理问题

例2A4是生活中最常用的纸规格,A系列的纸张规格特色是：①A0、A1、A2、…、A5,所有规格的纸张长宽比都相同,为∶1；②在A系列纸中,前一个序号的纸张以两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后,可以得到两张后面序号大小的纸,比如1张A0纸对折后可以得到2张A1纸,1张A1纸对折可以得到2张A2纸,依此类推。已知A0纸规格为84.1 cm×118.9 cm,118.9÷84.1≈,那么A4纸的长度为( )。

A.14.8 cm B.21.0 cm

C.29.7 cm D.42.0 cm

分析：设A0纸的长为=118.9,宽为a。根据题意可求出A0、A1、A2、A3、A4纸的长宽与a的关系,最后将值代入即可。

解：设A0纸的长为,则宽为a。由题意知,1张A0纸以长边为中点对裁后可以的到2张A1纸,此时A1纸相邻两边长度分别为和a。因为则前一序号纸张的宽变为现纸张的长,按此规律,可得到A2纸的长为；A3纸的长为宽为；A4纸的长为由题意得

故选C。

点评:数学来源于生活,是对生活中现象的抽象。本例结合生活中司空见惯的打印纸,构建问题,体现了推理在生活中的应用。本例解答的关键是对问题进行数学抽象,恰当构造数学模型,探求其规律,从而使问题得解。

练习2.我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解,在实际生活中还有三分法。比如用三分法借助天平鉴别假币：有三枚形状大小完全相同的硬币,其中有一假币(质量较轻),把两枚硬币放在天平的两端,若天平平衡,则剩余一枚为假币,若天平不平衡,较轻的一端放的硬币为假币。现有 27 枚这样的硬币,其中有一枚是假币(质量较轻),如果只有一台天平,则一定能找到这枚假币需要使用天平的最少次数为( )。

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：第一步,将27枚硬币分为三组,每组9枚,取两组分别放于天平左右两端测量,若天平平衡,则假币在第三组中,若天平不平衡,假币在较轻的那一组中；第二步,把较轻的9枚硬币再分成3组,每组3枚,任取2组,分别放于天平左右两端测量,若天平平衡,则假币在第三组,若天平不平衡则假币在较轻的一组；第三步,再将假币所在的一组分成三组,每组1枚,取其中两组放于天平左右两端测量,若天平平衡,则假币是剩下的一个,若天平不平衡,则较轻的盘中所放的为假币。因此,一定能找到假币最少需使用3次天平,故选B。

三、取材于图形的推理问题

例3图1是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到。图2是第1代“勾股树”,重复图二的作法,得到图3为第2代“勾股树”,依此类推,已知最大的正方形面积为1,则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为( )。

图1

图2

图3

A.2n+1-1；n+1 B.2n-1；n+1

C.2n-1；nD.2n+1-1；n

分析：本题是考查正方形的性质及归纳推理的应用。可通过研究第1代、第2代“勾股树”中正方形的个数及所有正方形的面积之和,探究其中的规律,从而归纳出第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和。

解：第1代“勾股树”中,小正方形的个数3=21+1-1,如图4,设直角三角形的三条边长分别为a,b,c,根据勾股定理得a2+b2=c2,即正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1,所有正方形的面积之和为2=(1+1)×1。第2代“勾股树”中,小正方形的个数7=22+1-1,如图5,正方形E的面积+正方形F的面积=正方形A的面积,正方形M的面积+正方形N的面积=正方形B的面积,正方形E的面积+正方形F的面积+正方形M的面积+正方形N的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1,所有的正方形的面积之和为3=(2+1)×1。…,依此类推,第n代“勾股树”所有正方形的个数为2n+1-1,第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为(n+1)×1=n+1。故选A。

图4

图5

点评:数学大师华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休。”一图胜千言,图形不仅包含大量信息,且形象直观,还能展示数学之美。故数学图形也是高考命题中的热点之一,常选取体现数学文化且富有诗意的数学图形作为命题素材。

练习3.分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。谢尔宾斯基三角形(Sierpinskitriangle)就是一种典型的分形,是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出。在一个正三角形中,挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形),然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”,我们用白色三角形代表挖去的部分,黑色三角形为剩下的部分,我们称此三角形为谢尔宾斯基三角形。若在图6内随机取一点,则此点取自谢尔宾斯基三角形的概率是( )。

解析：由题设知,对于图6,假设最大的三角形的面积为1,易得中间被挖去的最大的三角形的面积为,三个比较小的被挖去的三角形的面积为故图6中谢尔宾斯基三角形的面积为若在图6内随机取一点,则此点取自谢尔宾斯基三角形的概率是故选C。

图6

四、源于数学名题或定理的推理问题

例4我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中,用图7所示的三角形,解释了二项和的乘方规律。在欧洲直到1655年,法国数学家布莱士·帕斯卡在其著作中才介绍了这个三角形。近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国,所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)。现图8中数表的构造思路即来源于杨辉三角。

图7

图8

图8的数表中,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数a,则a的值为( )。

A.2 018×21008B.2 018×21009

C.2 020×21008D.2 020×21009

分析：杨辉三角是一个经典且常考常新的知识点。本题可根据数表的结构特征,通过观察数表中每一行第一个数的规律,归纳出对应的通项公式,从而求得结果。

解：观察每一行第一个数的规律：

第一行的第一个数为1=1×20；第二行的第一个数为4=2×21；第三行的第一个数为12=3×22；第四行的第一个数为32=4×23；…。故n行的第一个数为an=n×2n-1。

分析可知,共有1 010行,所以第1 010行的第一个数,即a=1 010×21009=2 020×21008,选C。

点评:本例考查了归纳推理及其应用。以古代数学知识为背景命制的问题常与现代数学知识相关,解题的关键是将数学史背景下的条件转化为现代数学知识。此类问题不仅考查学生的阅读理解、抽象概括及转化与化归等方面的能力,又能通过问题情境,展现我国数学文化的源远流长,从而增强同学们的民族自豪感,以达“立德树人”之目标。

练习4.中国古代近似计算方法源远流长,早在八世纪,我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数y=f(x)在x=x1,x=x2,x=x3(x1＜x2＜x3)处的函数值分别为y1=f(x1),y2=f(x2),y3=f(x3),则在区间[x1,x3]上f(x)可以用二次函数来近似代替：f(x)=y1+k1(x-x1)+k2(x-x1)(x-x2),其中请依据上述算法,估算的值是( )。

解析：设y=f(x)=sinx,x1=0,x2=,则y1=0,y2=1,y3=0。

答案为C。