王昌林 李涛 罗萍双

[摘要]将知识与实际应用有机结合，最后达到学以致用，培养学生的应用意识，是研究性学习的最终目的。文章以2019年全国卷I文科第16题为例对数学研究性学习进行说明。

[关键词]研究性学习;2019年全国卷I;高考;文科

[中图分类号]G633.6 [文献标识码]A [文章编号]1674-6058（2020）08-0001-03

数学研究性学习是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。这个过程包括：观察、分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明。研究性学习是高中数学课程中引入的一种新的学习方式，有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，初步理解直观和严谨的关系，体验创造的激情，树立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神;有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出和解决数学问题的能力;有助于发展学生的创新意识和实践能力。研究性学习的一般步骤是：提出问题（起点）;解决问题（重点）;推广问题（难点）;应用结论（升华点）。笔者将以2019年全国卷I文科第16题为例对数学研究性学习进行说明。

一、提出问题

数学家波利亚指出，问题是数学的心脏。对于数学学科而言，在研究性学习时提出问题主要是指对某些数学问题的深入探讨。所提问题不能过偏过难，要是学生通过努力可以解决的。研究性学习问题要满足以下五个课题选取的原则：

1.问题题材选取的典型性;

2.问题开展研究的可行性;

3.问题解决路径的多样性;

4.问题拓展方向的多向性;

5.问题研究成果的应用性。

二、解决问题

评注：在立体几何问题中，运用投影、等体积，建立空间直角坐标系等方法是解决问题的常用方法。找准问题的本质以及所要求的量，利用已知条件建立等量关系可以有效地解决问题。解法1通过已知边的长度以及各线段所处的位置，运用“勾股定理”“三角函数”以及“正弦定理”等将其之间的关系等式化，求出P到平面ABC的距离就相对轻松。

三、推广问题

评注：解法2涉及最小角定理，最小角定理也称三余弦定理，在解决立体几何二面角问题中有着重要的作用。

推广2：三正弦定理

评注：观察图1发现，将点E与点F放在同一条直线上，将其与点0连线的夹角改变度数，自然就看到了三正弦定理的影子，将三余弦定理与三正弦定理联立求解立体几何中与角有关的部分试题，在不用作辅助线的情况下就可以对问题进行求解，十分的方便快捷。

推广3：等和线

推广4：外接球（墙角模型）

评注：在解法3中，利用外接球知识将P到平面

ABC的距离求解出来，本质就是外接球的“墙角模型”申对角线的求解，在3条不相等的棱与体对角线（球直径）构建等式，知三求一，可以快速解决求解外接球体积和表面积一类的高考题。

四、应用结论

在研究性学习的过程中，发现与之相关联的知识或者方式方法，对其进行知识和方式方法上的迁移，做到研究一个知识就會运用这个知识，研究出一种方法就会运用这种方法去解决同类的数学问题或实际问题。在研究性学习过程中，将知识与实际应用有机结合，最后达到学以致用，培养学生的应用意识是《普通高中数学课程标准（2017年版）》所提倡的，也是研究性学习的最终目的。